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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
几何综合题．
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
（3）解：∵=，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．
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（聊城中考）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，且，则AD的长为（ ）A．B．2C．1D．
主讲：王娟
【思路分析】
作DE⊥AB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
【解析过程】
解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA＝，∴BE＝5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴AE＝DE．∴BE＝5AE，又∵AC＝6，∴AB＝6．∴AE＋BE＝5AE＋AE＝6，∴AE＝，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD＝AE＝2．
此题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解．
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京ICP备号 京公网安备①∠B=90°-∠A&&&&&&∵ sinA=& ∴a=csinA&& cosA=& ∴b=ccosA② ∠B=90°-∠A&&&&&&& sinA=&& ∴& ∵tanA=&∴b=③ b=&sinA=& ∠B=90°-∠A
菁优解析考点：．分析：（1）由角的关系可得∠B，再利用正，余弦可求出a，b．（2）由角的关系可得∠B，再利用正弦，正切可求出c，b．（3）由勾股定理可求出b，再由正弦可得∠A的值，再利用角的关系可得∠B．解答：解：如图：（1）∠B=90°-∠A，∵sinA=，∴a=csinA，∵cosA=，∴b=ccosA（2）∠B=90°-∠A&∵sinA=，∴c=，∵tanA=，∴b=．（3）b=2-a2，&sinA=，∠B=90°-∠A．点评：本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟记直角三角形角，边的关系．答题：wkd老师　
其它回答（1条）
利用三角函数a=c*sinAb=c*cosAa=b*tanAc=b/cosAb=s/tanAc=a/sinA这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~已知在Rt三角形ABC中,角A,角B,角C对应的边分别为a,b,c,角C=90°,c=34,且a:b=8:15.试求Rt三角形ABC的周长？ - 同桌100学习网
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已知在Rt三角形ABC中,角A,角B,角C对应的边分别为a,b,c,角C=90°,c=34,且a:b=8:15.试求Rt三角形ABC的周长？
提问者：yyyhhh6810602
追问：写一下如何得到a,b
补充：∵角C=90°
∴a?＋b?=c?
∵c=34,且a:b=8:15
a?=64/225b?
﹙1＋64/225﹚b?=34?
289/225 b?=34?
b?=34?×15?／17?
a=8/15×30=16
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64b?=225a?
64(a?+b?)=34?*64
289a?=34?*64
回答者：teacher086
64b?=225a?
64(a?+b?)=34?*64
289a?=34?*64
回答者：teacher051
∵角C=90°
∴a?＋b?=c?
∵c=34,且a:b=8:15
a?=64/225b?
﹙1＋64/225﹚b?=34?
289/225 b?=34?
b?=34?×15?／17?
回答者：teacher084
∴a?＋b?=c?
∵c=34,且a:b=8:15
a?=64/225b?
﹙1＋64/225﹚b?=34?
289/225 b?=34?
b?=34?×15?／17?
a=8/15×30=16
回答者：teacher077}