【答案】分析：（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60&得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．解答：解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60&得到△A′BC，∴∠A′BA=60&，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60&得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60&（由旋转可知），∴∠1=30&．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．点评：本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．
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科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．
科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为13；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为7．
科目：初中数学
题型：阅读理解
（2012?延庆县二模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是2+26（或不化简为）（或不化简为）．（结果可以不化简）
科目：初中数学
题型：阅读理解
（2012?门头沟区一模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：在图2中，∠GAF的度数是45°．参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE=．（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（-3，2），连接AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y=x+1．
科目：初中数学
题型：阅读理解
（2011?北京）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_____．科目：初中数学
如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A，B，C为圆心，1为半径作圆，那么这三个圆所覆盖的图形面积为．
科目：初中数学
来源：2008年浙江省湖州市德清县初三数学通讯赛试卷（二）（解析版）
题型：填空题
如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A，B，C为圆心，1为半径作圆，那么这三个圆所覆盖的图形面积为&&& ．
科目：初中数学
题型：单选题
如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A、B、C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为A.B.C.D.
科目：初中数学
题型：填空题
如图，边长为1的正△ABC，分别以顶点A，B，C为圆心，1为半径作圆，那么这三个圆所覆盖的图形面积为________．
科目：初中数学
来源：广东省竞赛题
题型：单选题
如图，边长为1的正ΔABC，分别以顶点A、B、C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为
[&&&& ]A.B.C.D.
科目：初中数学
如图，以边长为6的正△ABC的顶点A为圆心，作弧DE与BC相切，分别交AB，AC于点D，E，则弧DE的长为：．
科目：初中数学
如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（　　）
A、0.5，2.5B、0.5，5C、1，2.5D、1，5
科目：初中数学
如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点△ABC，已知A、B、C三点的坐标分别是A（1，0）、B（2，-1）、C（3，1）．（1）请在网格图形中画出平面直角坐标系；（2）以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A′B′C′；（3）写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′，B′，C′；（4）写出△A′B′C′的重心坐标：；（5）求点A′到直线B′C′的距离．
科目：初中数学
如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）
科目：初中数学
23、如图，在边长均为l的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A（-1，0）在x轴上．（1）以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧；（2）分别写出B1、C1的坐标．利用题目总结的正弦定理,将有关数据代入求解即可;在中,分别求得的长和三个内角的度数,利用题目中总结的正弦定理求的长即可.
,;如图,依题意:(海里),,.,,在中,,解之得:,答:货轮距灯塔的距离海里.
本题考查了方向角的知识,更重要的是考查了同学们的阅读理解能力,通过材料总结出学生们没有接触的知识,并根据此知识点解决相关的问题,是近几年中考的高频考点.
4013@@3@@@@解直角三角形的应用-方向角问题@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第六大题，第1小题
第三大题，第3小题
第三大题，第7小题
第三大题，第9小题
第三大题，第7小题
第三大题，第9小题
第三大题，第6小题
第三大题，第9小题
第三大题，第6小题
第三大题，第2小题
第三大题，第5小题
第六大题，第1小题
第七大题，第1小题
求解答 学习搜索引擎 | 观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角\Delta ABC中,角A,角B,角C的对边分别是a,b,c,过A作AD垂直于BC于D(如图1),则sinB=\frac{AD}{c},sinC=\frac{AD}{b},即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}.同理有:\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA},\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB},所以\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.(1)如图2,\Delta ABC中,角B={{45}^{\circ }},角C={{75}^{\circ }},BC=60,则角A=___;AC=___;(2)如图3,一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西{{30}^{\circ }}的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东{{30}^{\circ }}的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西{{75}^{\circ }}的方向上(如图3),求此时货轮距灯塔A的距离AB.如图下中分别以ΔABC三边a,b,c为边向外作正方形,正三角形.为直径作半圆,若S1+S2=S3成立则ΔABC是直角三角形._百度作业帮
如图下中分别以ΔABC三边a,b,c为边向外作正方形,正三角形.为直径作半圆,若S1+S2=S3成立则ΔABC是直角三角形.
则ΔABC是直角三角形.
向外作正方形,正三角形,为直径作半圆.这是三个题目,证明的方法是一样的,作最后一个吧：S1＝πa²/4 S2＝πb²/4,S3＝πc²/4,从S1+S2＝S3 .得到πa²/4 +πb²/4＝πc²/4,即a²+b²＝c² ∠C＝90ºΔABC是直角三角形.
设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3证明如下：显然，S1=&34c2，S2=&34a2，S3=&34b2∴S2+S3=&34(a2+b2)=34c2=S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴&S2S1=a2c2，S3S1=b2c2∴&S2+S3S1=a2+b2c2=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．
设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3证明如下：显然，S1= 34c2，S2= 34a2，S3= 34b2∴S2+S3= 34(a2+b2)=34c2=S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴ ...&&评论 & 纠错 &&}