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（2015福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A
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（2015福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A
作者：佚名
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更新时间： 7:05:08
（2015福州）如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M． （1）求证：DM=DA； （2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF； （3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长
（1）证明：如图1所示， ∵DM∥EF， ∴∠AMD=∠AFE， ∵∠AFE=∠A， ∴∠AMD=∠A， ∴DM=DA； （2）证明：如图2所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC， ∴∠BDE=∠A，∠=∠B， ∴△BDG∽△BED， ∴BDBE＝BGBD， ∴BD2=BG•BE， ∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=EFH， 又∵∠FEH=∠CEF， ∴△EFH∽△E∠DEG=∠C， ∵∠AFE=∠A， ∴∠BDE=∠AFE， ∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， ∵∠BDG=∠C， ∴∠DGE=∠FEC， ∴△DEG∽△ECF； （3）解：如图3所示， ∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B∴EHEF＝EFEC， ∴EF2=EH•EC， ∵DE∥AC，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形， ∴EF=DM=DA=BD， ∴BG•BE=EH•EC， ∵BE=EC， ∴EH=BG=1．
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