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函数方程思想
上传: 黄良生 &&&&更新时间： 14:37:06
例1已知函数f(x)=logm
(1)若f(x)的定义域为［&，&］，（&＞&＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(&&1)］，logm［m(&&1)］］的定义域区间为［&,&］(&＞&＞0)是否存在？请说明理由 命题意图& 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用 知识依托& 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组 错解分析& 第(1)问中考生易忽视&&＞3&这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根 技巧与方法& 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题 解& （1） x＜&3或x＞3 ∵f(x)定义域为［&,&］,&there4;&＞3 设&&x1＞x2&&，有
当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数 （2）若f(x)在［&,&］上的值域为［logmm(&&1),logmm(&&1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数 &there4;
即&,&为方程mx2+(2m&1)x&3(m&1)=0的大于3的两个根 &there4; && &there4;0＜m＜
故当0＜m＜ 时，满足题意条件的m存在 例2已知函数f(x)=x2&(m+1)x+m(m&R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角& 求证& m&5; (2)对任意实数&,恒有f(2+cos&)&0，证明m&3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sin&)的最大值是8，求m 命题意图& 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围 知识依托& 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式 错解分析& 第(1)问中易漏掉&D&0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键 技巧与方法& 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列& 列式要周到，不遗漏 （1）证明& f(x)+4=0即x2&(m+1)x+m+4=0& 依题意
又A、B锐角为三角形内两内角 &there4; ＜A+B＜& &there4;tan(A+B)＜0，即
&there4; &there4;m&5 (2)证明& ∵f(x)=(x&1)(x&m) 又&1&cos&&1，&there4;1&2+cos&&3，恒有f(2+cos&)&0 即1&x&3时，恒有f(x)&0即(x&1)(x&m)&0 &there4;m&x但xmax=3，&there4;m&xmax=3 (3)解 ∵f(sin&)=sin2&&(m+1)sin&+m=
且 &2, &there4;当sin&=&1时，f(sin&)有最大值8 即1+(m+1)+m=8，&there4;m=3 例3关于x的不等式2&32x&3x+a2&a&3＞0，当0&x&1时恒成立，则实数a的取值范围为&&&&&& && 解析& 设t=3x，则t&［1,3］， 原不等式可化为a2&a&3＞&2t2+t,t&［1,3］ 等价于a2&a&3大于f(t)=&2t2+t在［1,3］上的最大值 答案& (&&,&1)&(2,+&) 例4对于函数f(x)，若存在x0&R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点& 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b&1)(a&0) （1）若a=1,b=&2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值 解& （1）当a=1,b=&2时，f(x)=x2&x&3， 由题意可知x=x2&x&3，得x1=&1,x2=3 故当a=1,b=&2时，f(x)的两个不动点为&1,3 （2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b&1)(a&0)恒有两个不动点， &there4;x=ax2+(b+1)x+(b&1)， 即ax2+bx+(b&1)=0恒有两相异实根 &there4;&D=b2&4ab+4a＞0(b&R)恒成立 于是&D&=(4a)2&16a＜0解得0＜a＜1 故当b&R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1 （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2) 又∵A、B关于y=kx+ 对称 &there4;k=&1& 设AB的中点为M(x&,y&) ∵x1,x2是方程ax2+bx+(b&1)=0的两个根 &there4;x&=y&= ， 又点M在直线 上有 ， 即
∵a＞0，&there4;2a+ &2 当且仅当2a= 即a= &(0,1)时取等号， 故b&& ，得b的最小值&
学生巩固练习 1& 已知函数f(x)=loga［ &(2a)2］对任意x&［ ,+&］都有意义，则实数a的取值范围是(&&& ) A& (0, &&&& B& (0, )&&&& C& ［ ,1 && &&D& ( , ） 2& 函数f(x)的定义域为R，且x&1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2&x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是(&&& ) A& ［ ，+& && B& (1, &&& &C& ［ ,+& && D& (1, ］ 3关于x的方程lg(ax&1)&lg(x&3)=1有解，则a的取值范围是&&& & 4如果y=1&sin2x&mcosx的最小值为&4，则m的值为&&&&&& &&& 5& 设集合A={x｜4x&2x+2+a=0,x&R} （1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B； （2）若对于任意a&B，不等式x2&6x＜a(x&2)恒成立，求x的取值范围 6& 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a&0)满足条件:f(x&1)=f(3&x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由 7& 已知函数f(x)=6x&6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］,&gn(x)=f［gn&1(x)］,& （1）求证& 如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n&N，gn(x0)=x0都成立； （2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点； （3）设区间A=（&&,0）,对于任意x&A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0， 且n&2时，gn(x)＜0& 试问是否存在区间B（A&B& ），对于区间内任意实数x，只要n&2，都有gn(x)＜0 8& 已知函数f(x)= &(a＞0,x＞0) （1）求证:f(x)在(0,+&)上是增函数； （2）若f(x)&2x在(0,+&)上恒成立，求a的取值范围； （3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m&n)，求a的取值范围 & 参考答案 1& 解析& 考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1 由题意 得a= ，再结合指数函数图象性质可得答案 答案& A 2& 解析& 由题意可得f(&x+1)=&f(x+1)& 令t=&x+1，则x=1&t， 故f(t)=&f(2&t)，即f(x)=&f(2&x) 当x＞1,2&x＜1， 于是有f(x)=&f(2&x)=&2(x& )2& ，其递减区间为［ ，+&) 答案& C 3& 解析& 显然有x＞3，原方程可化为
故有(10&a)&x=29,必有10&a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞
答案& ＜a＜10 4& 解析& 原式化为
当 ＜&1,ymin=1+m=&4 m=&5 当&1& &1,ymin= =&4 m=&4不符 当 ＞1，ymin=1&m=&4 m=5 答案& &5 5& 解& (1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2&4t+a 由f(t)=0在(0,+&)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，&D=0 16&4a=0 a=4 验证& t2&4t+4=0 t=2&(0,+&)，这时x=1 ②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，则a=0，此时4x&4&2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,&there4;x=2，即A中只有一个元素 综上所述，a&0或a=4，即B={a｜a&0或a=4} （2）要使原不等式对任意a&(&&,0］&｛4｝恒成立& 即g(a)=(x&2)a&(x2&6x)＞0恒成立& 只须 ＜x&2 6& 解& （1）∵方程ax2+bx=2x有等根，&there4;&D=(b&2)2=0,得b=2 由f(x&1)=f(3&x)知此函数图像的对称轴方程为x=& =1得a=&1，故f(x)=&x2+2x （2）f(x)=&(x&1)2+1&1，&there4;4n&1，即n&
而抛物线y=&x2+2x的对称轴为x=1 &there4;n& 时，f(x)在［m,n］上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则
又m＜n& ,&there4;m=&2,n=0，这时定义域为［&2,0］，值域为［&8,0］ 由以上知满足条件的m、n存在，m=&2,n=0 7& (1)证明& 当n=1时，g1(x0)=x0显然成立； 设n=k时，有gk(x0)=x0(k&N)成立， 则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立 &there4;对一切n&N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0 （2）解& 由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0&6x02=x0,&there4;x0=0或x0=
&there4;稳定不动点为0和
(3)解& ∵f(x)＜0，得6x&6x2＜0 x＜0或x＞1 &there4;gn(x)＜0 f［gn&1(x)］＜0 gn&1(x)＜0或gn&1(x)＞1 要使一切n&N,n&2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1 由g1(x)＜0 6x&6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x&6x2＞1
故对于区间( )和(1,+&)内的任意实数x, 只要n&2,n&N，都有gn(x)＜0 8& (1)证明& 任取x1＞x2＞0, f(x1)&f(x2)=
∵x1＞x2＞0,&there4;x1x2＞0，x1&x2＞0, &there4;f(x1)&f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+&)上是增函数 （2）解& ∵ &2x在(0,+&)上恒成立，且a＞0, &there4;a& 在（0，+&）上恒成立， 令
（当且仅当2x= 即x= 时取等号）， 要使a& 在(0,+&)上恒成立，则a&
故a的取值范围是［ ,+&) (3)解& 由（1）f(x)在定义域上是增函数 &there4;m=f(m),n=f(n)，即m2& m+1=0，n2& n+1=0 故方程x2& x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m&n=1， 故只需要&D=( )2&4＞0,由于a＞0，则0＜a＜
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三角函数试题赏析及解题策略
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高一第二学期三角函数试卷
上传: 黄双高 &&&&更新时间： 23:27:42
高一第二学期三角函数试卷 本试卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷共页，满分为100分．考试时间120分钟．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 第ⅰ卷（选择题共60分） &
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填下表中.
1.sin600&的值是（&& ） a.0.5&& & &&b.－0.5 &&&&c. & && &d.－
2.已知sina&sinb，那么下列命题成立的是（&& ） a.若a,b是第一象限角，则cosa&cosb&& &&b.若a,b是第二象限角，则tana&tanb c.若a,b是第三象限角，则cosa&cosb&&&& d.若a,b是第四象限角，则tana&tanb 3.函数y=sin(2x+ )的图象一条对称轴方程是（&& ） & &
a.x= &&&&& b.x= &&&&&& c. x= &&&&&&&& d. x=
& 4.如图是周期为2&的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可写成（&& ） a.sin(1-x)&&&&&&&&&&& b.sin(-x-1) c.sin(x-1)&&&&&&&&&&& d.sin(x+1) & 5.如果f(x+&)=f(-x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)可以是（& ） a．sin|x|&&&&&&& b．|sinx|&&&&&&&& c．sin2x&&&&&& d．cosx 6.在下列给出的函数中，既(0, )是上增函数，又是以&为周期的偶函数的是（& ） a．y=x2&&&&&&&& b．y=cos2x& &&&&&c．y=esinx&&&&& d．y=|tanx| 7.tanx＝1是x＝ 的（&& ） a.必要条件&&&&&&& b.充分条件&&&&&&&& c.充要条件&&&& d.既不充分也不必要条件 8.函数y＝ 的值域是（&& ） a.{－2，4}& & b.{－2，0，4} & c.{－2，0，2，4}& &&&& d.{－4，－2，0，4} 9.函数 与函数 的周期之和为 ，则正实数 的值为(& ) a. &&& &&& b. &&& &&&&&&&&& c. & &&&&&&&&&& d.
10.如果函数y＝sin(&x)cos(&x)(&＞0)的最小正周期是4&，那么常数&为（&& ） a.4 &&&& b.2&&& &&&& c. && &&&&&&&&&& d.
11.若f(x)sinx是周期为&的奇函数，则f(x)可以是（&& ） a.sinx& &&& &&b.cosx&&& &&&& c.sin2x&&& &&&& d.cos2x 12.函数f(x)＝msin(&x＋&)(&＞0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－m，f(b)＝m，则函数 g(x)＝mcos(&x＋&)区间[a，b]上(&&& ) a.是增函数& b.是减函数& c.可以取得最大值m&& d.可以取得最小值－m 第ⅰ卷答案卡 &
第ⅱ卷（非选择题共60分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． 13.要得到函数y＝sin(2x－ )的图象，只须将函数y＝sin2x的图象向&&&& 平移&&&&&&&&&& 。 14.已知sin&＋cos&＝ ，&&(0，&)，则ctg&的值是_______. 15.函数y=sin4x+cos4x的最大值是___________。 16. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 。 三、解答题：(本大题共6小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分）求值 ①
& & & 18.(本题满分12分) , . & & & & & 19.(本题满分12分)已知
& & & & & & & 20. （本题满分12分） &
& & & & & & 21.（本题满分12分）已知a&0，且y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并写出使y取得最小值与最大值时的x的集合。 & & & & & & 22.（本题满分12分）已知函数y＝ cos&2x＋ sinxcosx＋1，x r ①当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； ②该函数的图象可由y＝sinx(x r)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ & & & & & & & 参考答案： ddaab& dabad& bc 13．& 右、30&；14& -3/4；& 15&& &&；& 16&
17&& ①1/8 ；& ② 223&&&&& .18&& &&&&&
19&&& 1 ;&& 20&& &;& 21&& a=2.& b=-2& ; 22.&& &;
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