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若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．已知f（x）=x2+（cotθ-1）x+b（θ、b是常数，b＞0）．（1）若f（x）是偶函数，求θ、b应满足的条件；（2）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”，求实数b的范围．（3）当cotθ≥1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”，求实数b的范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）若f（x）是偶函数，则f（x）=f（-x），即x2+（cotθ-1）x+b=x2-（cotθ-1）x+b对任意x∈R恒成立，∴cotθ=1，b＞0，∴若f（x）是偶函数，则θ=kπ+π4(k∈Z)，b＞0，（2）当cotθ≥1时，f（x）=x2+（cotθ-1）x+b的对称轴是x=-cotθ-12≤0∴f（x）在（0，1]上是增函数，考察函数g(x)=f(x)x=x+bx+(cotθ-1)，当b≥1，即b≥1时，设0＜x1＜x2≤1，则g(x1)-g(x2)=[x1+bx1+(cotθ-1)]-[x2+bx2+(cotθ-1)]=(x1-x2)(x1x2-b)x1x2∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1≤b，∴g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(x1x2-b)x1x2＞0即g（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；综上所述，b≥1时，f（x）在（0，1]上是“弱增函数”；（3）当0＜b＜1，即0＜b＜1时，g（b）=g（1）=1+b+（cotθ-1），即g（x）在（0，1]上不是单调函数，∴f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”．综上所述0＜b＜1时，f（x）在（0，1]上不是“弱增函数”
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据魔方格专家权威分析，试题“若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而y=f(x)x在I上是减函..”考查相似的试题有：
394125493522557468282868814602269738奇函数y=f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)=2x-x^2,设函数y=f(x),x∈[a,b]的值域为[1/b,1/a],则b的最小值为_百度知道
奇函数y=f(x)的定义域为R，当x≥0时，f(x)=2x-x^2,设函数y=f(x),x∈[a,b]的值域为[1/b,1/a],则b的最小值为
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b至少可以是-1，此时a=-（1+5^1/2）/2
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=0时;a）综上,1&#47，f(1）=2-1=1,a≤0，与x∈[a;1，不知对错;b
当0&lt，b的最小值为1乱乱的;a&lt1，f(a）=2a-a^2=1&#47、当a&gt,b＜0，b=1
2、当x&a]矛盾（a＞b;b;a
f(b)=2b-b^2=1&#47,b]的值域为[1&#47，f(x)=-f(-x)=x^2 + 2x;b＞1&#47,b&=1时，则1/=1时，以上只供参考
值域的相关知识
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出门在外也不愁-2x+4 的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为_______百度知道
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font-size?4b 2 -2，∴b=1（舍去） 或b=2:inline-table?2b+4=2b，函数的定义域:100%">
:1px solid black"> 1
x <span style="vertical-align、值域都是闭区间[2，∴函数在闭区间[2，2b]上是单调增函数;vertical-align，∴
<td style="border-vertical-align，2b]∴x=2b时，对称轴是x=2:super:90%"> 2
-2x+4 的图象是开口向上的抛物线<table style="width
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出门在外也不愁设函数y=lg（x2-x-2）的定义域为A，，函数y=x+2x+1的定义域为B，则A∩B=_______百度知道
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故A=（-∞;wordWrap:1px"><td style="border-bottom，-1）∪（2，+∞）．∴A∩B=（-∞，+∞）．由≥0
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出门在外也不愁设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（a）=0．研究并利用函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）的对称中心，可得=-8046．考点：；；．专题：；．分析：函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．解答：解：∵f''（x）=6x-6+π2sinπx又∵f''（1）=0而f（x）+f（2-x）=x3-3x2-sinπx+（2-x）3-3（2-x）2-sin（2π-πx）=-4函数f（x）=x3-3x2-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=-4∴+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）=-4×4023∴=8046故答案为：-8046点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=2，是解题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日&推荐试卷&
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