函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）与f（-1）的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）若x＞1时，f（x）＞0，求证f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；（4）在（3）的条件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．考点：．专题：；．分析：（1）利用该抽象函数满足的函数值关系的性质，赋两个自变量相应的值，可以求解出f（1）与f（-1）的值；（2）根据函数的奇偶性的定义结合已知条件得出f（-x）与f（x）的关系是解决本题的关键，注意对自变量赋合适的函数值；（3）根据单调性的定义，任取定义区间的两个自变量，比较其函数值得出f（x）在区间（0，+∞）上的递增性质；（4）利用（3）中函数的单调性，将函数值的关系转化为相应自变量的关系列出关于x的不等式是解决本题的关键．解答：解：（1）令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．（2）令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定义域关于原点对称可得f（x）是偶函数．（3）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则2x1＞1，2x1)＞0，则2)=f(x2x1ox1)=f(x2x1)+f(x1)＞f(x1)，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，由f（3x+1）≤2变形为f（3x+1）≤f（16）．∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的条件下有f[|3x+1|]≤f（16）∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈．点评：本题考查抽象函数问题的解决方法，考查赋值法求给定自变量处函数值，赋值法确定函数奇偶性、单调性的方法，充分发挥定义的引领作用．考查函数单调性在转化求解自变量时的应用作用．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
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已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条： ①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．解答下列问题： (Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)函数g(x)=2x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？(Ⅲ)假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]且f[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0。
题型：解答题难度：中档来源：专项题
解：(Ⅰ)令x1=x2=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，又x∈[0，1]时，f(0)≥0，∴f(0)=0． (Ⅱ)当x∈[0，1]时，2x∈[1，2]，∴2x-1∈[0，1]， ∴满足条件①；又g(1)=21-1=1，∴满足条件②；设x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则，，，∵x1≥0，x2≥0， ∴，∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)，∴满足条件③，∴同时满足①②③． (Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，假设若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾；同理若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾； ∴假设不成立，∴f(x0)=x0。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的定义域、值域&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数的定义域、值域
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
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828042477576871370844170451857885088函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，f（3x+4）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．考点：；．专题：．分析：（1）赋值法：令x1=x2=1，可求f（1），令x1=x2=-1，可求f（-1）；（2）令x1=-1，根据函数奇偶性的定义即可判断；（3）由f（4）=1，得f（16）=f（4）+f（4）=2，从而不等式可化为f（3x+4）＜f（16），借助函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，解不等式组即可．解答：解：（1）令x1=x2=1，有f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0．令x1=x2=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，所以f（-1）=0．（2）f（x）为偶函数，证明如下：令x1=-1，有f（-x2）=f（-1）+f（x2），∴f（-x2）=f（x2），又定义域关于原点对称，所以f（x）为偶函数．（3）因为f（4）=1，所以f（16）=f（4）+f（4）=2，所以f（3x+4）＜f（16），又函数为偶函数，所以f（|3x+4|）＜f（16），所以，解得x的取值范围是：-＜x＜4且x≠-．点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义、性质是解决抽象函数问题的基本方法．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1ox2）=f（x1）+f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．考点：．专题：；；．分析：（1）赋值，令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值；（2）方法同（1）赋值求出f（-1）=0，再令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系．得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明；（3）由题设条件f（4）=1与函数的恒等式，将f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再由f（x）在（0，+∞）上是增函数与f（x）是偶函数的性质将此抽象不等式转化为一元二次不等式，求解x的范围．解答：（1）解：令x1=x2=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：令x1=x2=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）．解得f（-1）=0．令x1=-1，x2=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），∴f（-x）=f（x）．∴f（x）为偶函数．（3）解：f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）．（*）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组或或或解得3＜x≤5或-≤x＜-或-＜x＜3．∴x的取值范围为{x|-≤x＜-或-＜x＜3且x≠0或3＜x≤5}．点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f”．解决办法：利用函数的单调性．（2）无法得到另一个不等式．解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：★★★★★推荐试卷
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