已知函数f(x)的定义域为R且对任意实数x1,x2.,总有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)成立,求证:f(x)是偶函shu_百度知道
已知函数f(x)的定义域为R且对任意实数x1,x2.,总有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2)成立,求证:f(x)是偶函shu
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有f(x1)+f(x1)=2f(x1)f(0)
解得f(0)=1 或f(x1)=0(1)若f(0)≠1，由x1的任意性知
f(x)恒为0，对任意x有f(-x)=f(x)=0，则f(x1)=0
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太感谢了，真心有用
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＞＞＞已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）..
已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）-13y2（2x-y+3），（1）求函数f（x）的表达式；（2）若方程f（x）=a有三个实数解，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）因为f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f(x-y)=f(x)-13y2(2x-y+3)，∴令y=x，代入可得f(0)=f(x)-13x2(2x-x+3)，即f(x)=13x3+x2+1，（2）因为方程f（x）=a有三个实数解，所以函数y=f（x）与y=a图象有三个交点又因为f′（x）=x2+2x=x（x+2），当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=-2时f（x）取极大值，f(x)极大值=73，当x=0时，f（x）取极小值，f（x）极小值=1，∴1＜a＜73
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）定义域为R，且f（0）=1，对任意x，y∈R恒有f（x-y）=f（x）..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系，函数解析式的求解及其常用方法，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的零点与方程根的联系函数解析式的求解及其常用方法函数的极值与导数的关系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点 函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的定义域为R，最小正周期为π，且对任意实数x，恒有成立．（1）求实数a和b的值；（2）作出函数f（x）在区间（0，π）上的大致图象；（3）若两相异实数x1、x2∈（0，π），且满足f（x1）=f（x2），求f（x1+x2）的值．
5秒后显示答案···
解（1）∵f（x）=asinωx+bcosωx=&sin（ωx+φ）（ω＞0），又f（x）≤f（&）=4恒成立， ∴&=4，即a2+b2=16．…①∵f（x）的最小正周期为π， ∴ω=&=2，即f（x）=asin2x+bcos2x（ω＞0）．又f（x）max=f（&）=4， ∴asin&+bcos&=4，即a+&b=8．…②由①、②解得a=2，b=2&．（2）由（1）知f（x）=2sin2x+2&cos2x=4sin（2x+&）．∵0＜x＜π， ∴&＜2x+&＜&，列表如下：∴函数f（x）的图象如图所示：&（3）∵f（x1）=f（x2），由（2）知，当0＜x1＜x2＜&时，x1+x2=2×&=&，∴f（x1+x2）=f（&）=4&=2&；当&＜x1＜x2＜π时，x1+x2=2×&=&，∴f（x1+x2）=f（&）=4sin&=2&；综上，f（x1+x2）=2&．
Powered by @（2011o广州一模）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对于任意x1，x2∈R，存在正实数L，使得|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|都成立．（1）若2，求L的取值范围；（2）当0＜L＜1时，数列{an}满足an+1=f（an），n=1，2，…．①证明：k-ak+1|≤11-L|a1-a2|；②令k=a1+a2+…akk(k=1，2，3，…)，证明：k-Ak+1|≤11-L|a1-a2|．考点：．专题：．分析：（1）由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，可得1-x2|o|x1+x2|1+x21+1+x22≤L|x1-x2|，从而当x1≠x2时，得L≥1+x2|1+x21+1+x22，进而有L≥1，当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立，故问题得解；（2）①由于an+1=f（an），n=1，2，…，所以当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|，从而k-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|=n1-L|a1-a2|．所以问题可证②由Ak=1+a2+…akk，表达出k-Ak+1|=|a1+a2+…+akk-a1+a2+…+ak+1k+1|=1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|，再利用①的结论可解．解答：解：（1）证明：对任意x1，x2∈R，有1)-f(x2)|=|1+x21-1+x22|=|=1-x2|o|x1+x2|1+x21+1+x22．…2分由|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|，即1-x2|o|x1+x2|1+x21+1+x22≤L|x1-x2|．当x1≠x2时，得L≥1+x2|1+x21+1+x22．∵1|，1+x22＞|x2|，且|x1|+|x2|≥|x1+x2|，∴1+x2|1+x21+1+x22＜|x1+x2||x1|+|x2|≤1．…4分∴要使|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|对任意x1，x2∈R都成立，只要L≥1．当x1=x2时，|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|恒成立．∴L的取值范围是[1，+∞）．…5分（2）证明：①∵an+1=f（an），n=1，2，…，故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|∴k-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|…7分=n1-L|a1-a2|．∵0＜L＜1，∴k-ak+1|≤11-L|a1-a2|（当n=1时，不等式也成立）．…9分②∵Ak=1+a2+…akk，∴k-Ak+1|=|a1+a2+…+akk-a1+a2+…+ak+1k+1|=1+a2+…+ak-kak+1)|=1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|≤1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)． …11分∴k-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|1-a2|(11×2+12×3+…+1n(n+1))+2|a2-a3|(12×3+13×4+…+1n(n+1))3-a4|(13×4+14×5+…+1n(n+1))+…+n|an-an+1|×1n(n+1)=1-a2|(1-1n+1)+|a2-a3|(1-2n+1)+…+|an-an+1|(1-nn+1)≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤1-a2|．…14分点评：本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷&
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