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如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，
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如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
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1.定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。2.性质：
(1)的对角线没有以上特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(2)对角线也没有上面的特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(3)的对角线相等,故其中点四边形为菱形.
【中位线的定理】三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC...”，相似的试题还有：
点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH，若AC⊥BD，则四边形EFGH是_____．
如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连结这四个中点得到四边形EFGH．(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若AC=15，BD=10，求四边形EFGH的周长．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；②结合图（2）求BF/PE的值；（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出BF/PE的值．（用含α的式子表示）-乐乐题库
& 旋转的性质知识点 & “在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于...”习题详情
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在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=12∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；②结合图（2）求BFPE的值；（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出BFPE的值．（用含α的式子表示）
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图...”的分析与解答如下所示：
（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到，求出△BOG≌△POE即可；（2）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF≌△MPF，推出BF=FM，即可求出答案；（3）作PM∥AC交BG于M，交BO于N，求出证△BMN≌△PEN，推出BM=PE，证△BPF∽△MPF，得出比例式，根据锐角三角形函数的定义即可求出答案．
（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°-∠BGO，∠EPO=90°-∠BGO，∴∠GBO=∠EPO，在△BOG和△POE中{∠GBO=∠OCEOB=OC∠BOG=∠COE∴△BOG≌△POE．∴OE=OG，又∵∠EOG=90°，∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．又∵OB=OP，∠POB=90°，∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．（2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，∴NB=NP．∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，∴∠MBN=∠NPE，在△BMN和△PEN中{∠MBN=∠NPENB=NP∠MNB=∠ENP∴△BMN≌△PEN，∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．又∵在△BPF和△MPF中{∠BPF=∠MPFPF=PF∠BFP=∠MFP∴△BPF≌△MPF，∴BF=MF，即BF=12BM，∴BF=12PE，即BFPE=12．（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，∴∠BPN=∠BCA，∵∠BPE=12∠BCA，∴∠BPF=∠MPF，∵PF⊥BG，∴∠BFP=∠MFP，在△BFP和△MFP中{∠BFP=∠MFPPF=PF∠BPF=∠MPF∴△BFP≌△MFP（ASA），∴BF=FM，即BF=12BM，∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵PM∥AC，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，∴∠BNM=90°∵∠PFM=90°，∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，∴∠MBN=∠NPE，∵∠BNM=∠ENP，∴△BMN∽△PEN．∴BMPE=BNPN，∵tanα=BNPN=BMPE=2BFPE，∴BFPE=12tanα．
本题考查了正方形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，锐角三角函数的定义等知识点的应用，题目综合性比较强，难度偏大．
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在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
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习题类型错误
错误详情：
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经过分析，习题“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图...”主要考察你对“旋转的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
旋转的性质
（1）旋转的性质：　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
与“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图...”相似的题目：
有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．
如图，三角板ABC中，∠ACB=90&，∠B=30&，BC=6．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为&&&&（结果保留π）．
如图所示，△A′B′C′是△ABC绕点O逆时针旋转80°得到的图形，那么旋转角为&&&&，BO&&&&，∠COC′=&&&&°．
“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于...”的最新评论
该知识点好题
1如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，下列说法：①将△ADC绕C点顺时针旋转60°可得△CBE②将△ADC逆时针旋转60°可得△ABE③将△ADC绕点A逆时针旋转60°可得△ABE④将△ABE绕点A顺时针旋转60°可得△ADC，其中正确的有（　　）
2如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC+∠ABC=180°，下列结论：①CD=CB；②AD+AB=2AE；③∠ACD=∠BCE；④AB-AD=2BE．其中正确的是（　　）
3（2013o晋江市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是（　　）
该知识点易错题
1一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（　　）
2下列说法正确的是（　　）
3（2012o犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF=12S△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；②结合图（2）求BF/PE的值；（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出BF/PE的值．（用含α的式子表示）”的答案、考点梳理，并查找与习题“在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=1/2∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；②结合图（2）求BF/PE的值；（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出BF/PE的值．（用含α的式子表示）”相似的习题。如图,梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点M,且AC⊥AB,BD⊥CD过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F.求证： （1）AB²=BF×BD
（2）若BE=1 AB=根号5,求线段EF的长._百度作业帮
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如图,梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点M,且AC⊥AB,BD⊥CD过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F.求证： （1）AB²=BF×BD
（2）若BE=1 AB=根号5,求线段EF的长.
如图,梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点M,且AC⊥AB,BD⊥CD过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F.求证：&（1）AB²=BF×BD& & & & & &（2）若BE=1&AB=根号5,求线段EF的长.
证明：(1)由AE⊥BC,AB⊥AC∴(AB^2)=BE•BC又∠FEC=∠FDC=90°∴CDFE四点共圆(不用四点共圆证△BEF∼△BDC)∴BE•BC=BF•BD∴(AB^2)=BF•BD(2)由(AB^2)=BE•BC⇒BC=((√(5))^2)/1=5∴CE=5-1=4(AE^2)=BE•EC=1×4⇒AE=2因为(AB^2)=BF•BD⇒AB/BF=BD/AB∠ABD=∠FBA△BAD∼△BFA∴∠BAF=∠BDA=∠EBF∴RT△BEF∼RT△AEB∴EF/BE=BE/AE⇒EF=(BE^2)/AE=(1^2)/2=1/2【其实根据描述,用四点共圆容易证明四边形ABCD是等腰梯形】&教师讲解错误
错误详细描述：
在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，则四边形EGFH的形状是________；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
【思路分析】
（1）根据题意容易得EO=FO，GO=HO，从而判断四边形EGFH为平行四边形；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案；（3）从图形观察可知AC与BD的数量关系并不影响四边形EGFH的形状；（4）当AC=BD，AC⊥BD时，□ABCD为正方形，结合已知条件容易得△BOG≌△COF，所以有OG=OF，即EF=GH，结合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．
【解析过程】
解：（1）四边形EGFH是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是□ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）菱形．（3）菱形．（4）四边形EGFH是正方形．证明：∵AC=BD，∴□ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形．∴□ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH．∴四边形EGFH是正方形．
（1）四边形EGFH是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是□ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）菱形．（3）菱形．（4）四边形EGFH是正方形．证明：∵AC=BD，∴□ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴□ABCD是菱形．∴□ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH．∴四边形EGFH是正方形．
本题是课本习题的引申，体现了中考题与课本的紧密联系，但又不拘泥于课本原题，做了一定的提炼，重点考查了特殊四边形的判定.
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（莱芜中考）在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，G，F，H四点，连接EG，GF，FH，HE．
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________．（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________．（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
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