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已知函数f(x)=ax2+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，(Ⅰ)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设m·n＜0，m+n＞0，a＞0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？
题型：解答题难度：中档来源：专项题
解：(Ⅰ)∵f(-1)=0，∴a-2b+1=0，又x∈R，f(x)≥0恒成立，∴，∴b2-(2b-1)≤0，b=1，a=1， ∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2，∴。(Ⅱ)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1，当或，即k≥6或k≤-2时，g(x)是单调函数． (Ⅲ)∵f(x)是偶函数，∴f(x)=ax2+1，，∵m·n＜0，设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，m＞-n＞0，∴|m|＞|-n|，F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)＞0，∴F(m)+F(n)能大于零．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=ax2+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，(Ⅰ)若f(-1)=0..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数，函数的奇偶性、周期性，二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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分段函数与抽象函数函数的奇偶性、周期性二次函数的性质及应用
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
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（1）由，知，由此能求出x1-x2的值．
（2）设x1＜x2，f（x）+2x=ax2-（a（x1+x2）-2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存在最小值，由此能求出a的取值范围．
（3）由，，知．由此能求出b的取值范围．
∴x1-x2=±2．（4分）
（2）不妨设x1＜x2；f（x）+2x=ax2-（a（x1+x2）-2）x+ax1x2，在（x1，x2）不存...
考点分析：
考点1：二次函数的性质
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已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数），x∈R，F（x)={f(x)(x＞0）或-f(x)（x＜0）},
x∈R已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a，F（x)={f(x)(x＞0）或-f(x)（x＜0）};4的解集为{x｜x&1}，若不等式f(x)&-3或x&gt,b为实数）
由韦达定理，b的值即可写出F（x）的表达式，1.解得a=1，得a＞0，b=2．因此；解,-b&#47,-3&#47，故a＞0先由已知不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}：（1）由已知不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1};a=-2，且方程ax2+bx-3=0的两根为-3，且方程ax2+bx-3=0的两根结合韦达定理，得a;a=3，故a＞0
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2≥2或(2-k)&#47.由题意
（-1.g(x)=-x^2+(2-k)x+1(2-k)&#47,0）为函数顶点f（x）=x^2+2x+1F(x)=
x＜021;2≤-2k≤-2或k≥63
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