（2010o北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E．延长PE到点D．使得ED=PE．以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；k若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F．延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点，N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
（1）由抛物线y=-x2+x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O，令x=0，y=0，解得m的值，点B（2，n）在这条抛物线上，把该点代入抛物线方程，解得n．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为y=2x，由A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标，设P点的坐标为（a，0），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1．可求得点C的坐标，进而求出OP的值，依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，求出直线AB的解析式，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况，解出各种情况下的时间t．
解：（1）∵抛物线y=-x2+x+m2-3m+2经过原点，
∴m2-3m+2=0，
解得m1=1，m2=2，
由题意知m≠1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x，
∵点B（2，n）在抛物线y=-x2+x上，
∴B点的坐标为（2，4）．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，
求得直线OB的解析式为y=2x，
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），
则E点的坐标为（a，2a），
根据题意作等腰直角三角形PCD，
如图1，可求得点C的坐标为（3a，2a），
由C点在抛物线上，
得：2a=-?（3a）2+?3a，
即a2-a=0，
解得a1=，a2=0（舍去），
依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，
由点A（10，0），点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=-x+5，
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上．
如图2所示．可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
第二种情况：PC与MN在同一条直线上．如图3所示．可证△PQM为等腰直角三
角形．此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴OQ=10-2t，
∵F点在直线AB上，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示．此时OP、
AQ的长可依次表示为t、2t个单位．
∴t+2t=10，
综上，符合题意的t值分别为，2，如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0=>A=>B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运
动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；
（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：
①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OPosin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；
②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BPosin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．
（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．
（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；
根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．
解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；
P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；
因此t的取值范围为：0≤t≤5；
①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；
OP=2t，OQ=OB-BQ=6-t；
∴S=×2t××（6-t）=-t2+t；
②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；
OP=2t，BP=10-2t，OQ=6-t；
∴S=×（10-2t）××（6-t）=t2-t+24；
综上可知：S=2+
t(0≤t≤2.5)
t+24(2.5≤t≤5)
（2）∵∠BCB′=∠CAB，
∴∠DCB′=∠ABC=90°-∠CAB=90°-∠BCB′，
由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；
∴∠A′=∠A′CD=90°-∠DCB′=90°-∠B′，
∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．
（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；
设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；
∴AE2=（x-3）2+（x-4）2，CE2=（x-3）2+（x）2，AC=4；
①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：
（x-3）2+（x-4）2=（x-3）2+（x）2，解得x=，
∴E1（，2）；
②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：
（x-3）2+（x-4）2=16，整理得：25x2-150x+81=0，
解得：x=，x=；
∴E2（，），E3（，）；
③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：
（x-3）2+（x）2=16，整理得：25x2-54x-63=0，
解得：x=-，x=3（舍去）；
∴E4（-，-）；
综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（-，-）知识点梳理
【的性质】①&对应点到旋转中心的距离相等；②&对应点与旋转中心所连的夹角等于旋转角；③&旋转前、后的图形．
判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。
【的性质】①&等腰的两个底角相等；②&等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．【等腰三角形的判定】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“将两个全等的直角三角形ABC和DEC，按如图1方式放置．其中...”，相似的试题还有：
将两个全等的直角三角形ABC和DEC，按如图1方式放置．其中，∠ABC=∠DEC=90°，AB与DE交于点O．(1)通过观察和测量，猜想AE、BD的数量关系为______；CO与AD的位置关系是______；(2)将三角形DEC绕点C逆时针旋转至图2所示的位置，(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明；不成立，请说明理由．(3)将三角形DEC绕点C继续旋转至图3所示的位置，(1)中的猜想是否还成立(直接写出结论，不需证明)．
两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90&，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(2)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90&，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(2)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】分析：（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时A、G、C坐标均可求出，可利用待定系数法进行求解．（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，具体分两种，与x轴相切和与y轴相切，当与y轴相切时可能在y轴左边也可能在y轴右边，因此又有两种情况，与x轴相切时一种情况．解答：解：（1）A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．（2分）（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，DO=6-2x，DH=6-x，∴y=2S梯形IOHG=2（S△GHD-S△IOD）=2[（6-x）2-（6-2x）2]=2（x2+6x）=-3x2+12x（3分）当3≤x≤6时，位置如图B所示．可知：DB=12-2x∴y=S△DGB==（12-2x）]2=x2-12x+36（4分）（求梯形IOHG的面积及△DGB的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分）∴y与x的函数关系式为：；（5分）（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，当x=4时，OE=2x=8，DB=12-2x=4，∴GH=DH=DB=2，OH=6-HB=6-，DB=6-2=4∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），6分∴经过A，G，C三点的抛物线的解析式为：y=（x-4）2+2=-2x+6；（7分）（4）当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况，设P点坐标为（x，y）当⊙P与y轴相切时，有|x|=2，x=&2，由x=-2，得：y=11，∴P1（-2，11）由x=2，得y=3，∴P2（2，3）当⊙P与x轴相切时，有|y|=2y=（x-4）2+2＞0∴y=2，得：x=4，∴P3（4，2）综上所述，符合条件的圆心P有三个，其坐标分别是：P1（-2，11），P2（2，3），P3（4，2）．10分（每求出一个点坐标得1分）点评：此题主要是把运动问题和二次函数紧密联系，考虑问题要全面．
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科目：初中数学
来源：2007年全国中考数学试题汇编《圆》（12）（解析版）
题型：解答题
（2007?怀化）如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求⊙M的直径；（2）求直线ON的解析式；（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2007年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》（05）（解析版）
题型：解答题
（2007?怀化）如图，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．（1）求⊙M的直径；（2）求直线ON的解析式；（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2010年中考数学模拟试卷5 （解析版）
题型：解答题
（2007?怀化）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2007年湖南省怀化市中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
（2007?怀化）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置，A与C重合，O与C重合．（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式；（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P在运动过程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况？若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由．}