很经典的一个数学题.十二个乒乓球,其中十一个重量一样,只有一个超重.用一台精密天平,最少称几次能找出超重的球?
初見专属8bKs
首先,把12个小球分成三等份,每份四只.拿出其中两份放到天平两侧称（第一次） 情况一：天平是平衡的.那么那八个拿上去称的小球都是正常的,特殊的在四个里面.把剩下四个小球拿出三个放到一边,另一边放三个正常的小球（第二次） 如天平平衡,特殊的是剩下那个.如果不平衡,在天平上面的那三个里.而且知道是重了还是轻了.剩下三个中拿两个来称,因为已经知道重轻,所以就可以知道特殊的了.（第三次） 情况二：天平倾斜.特殊的小球在天平的那八个里面.把重的一侧四个球记为A1A2A3A4,轻的记为B1B2B3B4.剩下的确定为四个正常的记为C.把A1B2B3B4放到一边,B1和三个正常的C小球放一边.（第二次） 情况一：天平平衡了.特殊小球在A2A3A4里面,而且知道特殊小球比较重.把A2A3称一下,就知道三个里面哪个是特殊的了.（第三次） 情况二：天平依然是A1的那边比较重.特殊的小球在A1和B1之间.随便拿一个和正常的称,就知道哪个特殊了.（第三次） 情况三：天平反过来,B1那边比较重了.特殊小球在B2B3B4中间,而且知道特殊小球比较轻.把B2B3称一下,就知道哪个是特殊的了.（第三次）
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　　下面3道题贴近生活，富有趣味。它们看似简单，可是做起来还是要费脑子，小学题这么难，是要闹哪样？你能全对吗？
　　第一题：
　　有6只老鼠发现一堆花生米，商量好第二天来平分，第二天，第一只老鼠最早来到，它发现花生米无法平分，就吃了一粒，余下的恰好可以分成6份，它拿了自己的一份走了。
　　第二只、第三只、第四只、第五只、第六只老鼠随后依次来到，遇到同样的问题，也采取了同样地方式，都是吃掉一粒后，把花生分成6份，拿走其中的一份。那么花生至少有多少粒？
　　第二题：
　　天天、Cindy、Kimi、石头、Angela五人按顺序依次取出21个小球，
　　Kimi：“我取了剩下的小球的个数的三分之二”；
　　Cindy：“我取了剩下的小球的个数的一半”；
　　天天：“我取了剩下的小球的个数的一半”；
　　石头：“我取了剩下的全部小球”；
　　Angela：“大家取小球的个数都不同哎！”
　　请问：Kim是第几个取小球的，取了多少个？
　　第三题：
　　小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有多少页？
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北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
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美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授N 个乒乓球中有一个和其他的质量不同，用天平最少几次一定能称出来？
注：原题描述中n为999很有趣的一道题？！知友们，问的是“最少”啊！
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答案是七次。 给的文献是靠谱的，只是没有给出具体操作，具体操作在文献的参考里。The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234我现在把具体操作写出来：最重要的一步是给球编码。我们取所有 7 位三进制数，共有个编码，去掉所有位数都一样的情况，共有个编码。其中有一半，首次出现邻位不同的情况是 01, 12 或 20，这样的编码叫「正序」的，否则是「逆序」的。正序码共个。把一个正序码中的 1 换成 2，2 换成 0，0 换成 1，结果仍然是正序的。我们把可以通过这种方式相互转换的三个码作为一组。现在把正序码一组一组的分配给乒乓球。因为此题中是 999 个球，正好分完 333 组，没有不完整的组。否则还要调整。对每一个球，将其正序码中的 0 和 2 对换，得到相应的逆序码。因此每个球有两套编码。接下来称球。在第 k 次称球中，将正序码第 k 位为 0 的 333 个球放在天平左边，正序码第 k 位为 2 的 333 个放在右边，其他球放在旁边。如果左边重，记 0。如果右边重，记 2。如果平衡，记 1。这样我们得到一个 7 位三进制码。这个三进制码编号的球就是与众不同的球，如果该码是正序的，该球较重；如果逆序，该球较轻。下面以 6 个球举例。取 3 位三进制正序码，共 12 个。取其中两组 (010, 121, 202) 和 (012, 201, 120)，依次分配给六个球。第一次称 010, 012 - 202, 201第二次称 202, 201 - 121, 120第三次称 010, 120 - 202, 012结果举例：012 说明第四个球比较重，021 说明第五个球比较轻。加一个 12 球的例子，见这个网页（英语）补充：几个新答案做出 2 次最多称 4 个，3 次最多称 13 个这样的归纳。如果需要知道次品的轻重，n 次最多称 (3^n-3)/2 个球。4 个球必须称 3 次才能确定找出坏球，并知道轻重。我开头引用的文献严格证明了这是最优的，多于 (3^n-3)/2 无解。如果不关心轻重，n 次最多的确可以称 (3^n-1)/2 个球，将多出的那个编号为 111...11 即可。下载文献可能不方便，我把证明截图贴在下面。
楼上给的具体实现方法基本已经很清楚了。这里从信息量角度解释一下原因以及称量次数的一般计算方法。为什么999个球是7次？12个球是3次？为什么6个球还是3次？？？每一次称量，带来的结果有3种，左边重，右边重，一样重，给我们带来的信息量是 大约是1.58 bit 的样子。999个球有一个球重量不一样，那么总共可能有 999*2 种结果（1号球轻，1号球重，2号球轻，2号球重......999号球轻，999号球重）。判断出结果需要的信息量是 大约是10.96 bit。所以需要的次数就是10.96/1.58 大约是6.94，向上取整需要7次。12个球需要的次数就是 大约是2.89，向上取整为3次。6个球还是3次，为毛？因为 大约是2.26，所以取整了还是3次。这个东西除了估算需要的次数有什么用呢？答案是没有什么用，而且有时候可能还会因为一些问题引起误差。比如说按这种方法计算的次数，4个球两次就能称出来。先试着想一下，你会发现想破脑袋也想不出来。怎么称呢？1.33个球放左边，1.33个放右边，剩下1.33个不称。1.33个球要怎么放在天平上？？？这怎么玩儿？所以4个球称两次称出来，这是没有可操作性的。“哥只告诉你们这种方法一定存在，你们慢慢去找，找得到是哥的水平高，找不到是你们太蠢。”
——克劳德·艾尔伍德·香农开始成为坚定的信息论黑香农黑了吧？所以说没有学过信息论的人和学过信息论的人怎么可能在一起？————————————————这里是日的分割线首先说一下什么叫香农定理是存在性定理，就是香农定理会指出最理想化的编码算法能达到的位数底线，就是这样的理想算法理论上存在，但是这种理想的算法不一定能在现实中被发现或实现。我写这个答案的初衷是单纯从信息论的角度上来看待一下这个问题，换句话就是给出可能的理想情况编码位数下限，而前面 的答案则是一种现成的算法。这个算法美不美？很美，三进制的思路可能是借鉴前人的，但是利用正向序列映射，通过天平的结果记录直观得出哪个球轻了还是重了，非常巧妙。（P.S.可以去看下那个给1000只老鼠喝毒药的问题，就是这个映射的二进制版本，因为天平有三种情况，“左偏”“右偏”“平”，老鼠只有“死”“活”）这可能是人类可以找出的最完美的算法了，但是这是理想的算法吗？不是。为什么？理想情况下的三次称量结果带来的信息量是,而这里呢？。因为三次称量“全是大于”，“全是小于”，“全是等于”的情况在这种算法里是不可能出现的。这就是不完美的地方，单从天平而言，这三种情况本来可以带给我们信息量，但是由于算法设计不可能出现，就降低了天平能传达的信息量。一句题外话，这也就是为什么12个球3次的情况在这里显得这么完美。因为12个球的每个可能有轻重，这个信息量是多少？！刚好是这种算法称三次的理想情况。讨论一下完美的情况有什么要求。信源熵是应该没疑问了，N代表球数。次数 m=/ 的条件是，每次称量的信息量都为，也就是每次称量的结果都要是独立且出现概率均为1/3。这也就是为什么4个球两次不能出轻重，具体计算难度不高篇幅太大打公式太麻烦，但是是无法在每次称量中得到的信息量。怎么样才能做到每次称量得到？整数个的球是没办法做到的。但是如果你允许我放0.5个球，或者0.33个球在天平上呢？每个球切两半，4个记为AA BB CC DD。先称AB CC，AB=CC，必为D异常，随便拿个ABC跟D称一下好了。AB&CC，D一定正常，A或B轻，或C重，称AA BD： AA&BD A-
AA&BD B-AB&CC, D一定正常，A或B重，或C轻，称AA BD：AA&BD B+
AA&BD A+这里其实已经有偷换概念在里面了，这个问题的信息量计算起来麻烦一些（粗看了下结果好像没错，不过要是错了就掉大了！！！）但是我想体现的是，这种看起来很完美的算法，也是受到了整数的局限。最后是吐槽部分：你们都以为我是信息论吹么？我是信息论黑啊！问题可以讨论不出来立场必须摆正啊！这也就是说的信息论各大定理的存在性，完美的算法不一定等于理想的情况，理想的情况不一定取得到，就是这样。至于怎么搞完美算法？别找我，我只负责算理想情况。所以说信息论有啥用呢？过去听过一个笑话，养鸡场的鸡蛋老是被压碎，找了一群物理学家研究，他们得出了一个完美的解决方案，但是只对真空中的球形鸡蛋有效。以上。
的文献和 的解析太赞了，集精巧和严谨于一身，可以说小球称重问题已经得到了圆满的解决。为了更直观、更易懂、让PDF恐惧症患者都能弄明白，我做了个小程序来演示：。支持3~999个球；用户自行选择哪个球是特殊球，是轻还是重，然后由电脑自动分组称量；用绿色代表轻，红色代表重；演示界面大致是这么个效果：希望能帮助大家更好地理解。PS：知乎要是能嵌入代码我就不至于把它放到单独的网站上了，不过这大概不太可能……
7次（感谢洪涛的提醒，我算错了两次....)虽然我赞同了
的答案，但是我依然想要占据一个答案位为什么这么做，因为洪涛答案中推荐的文章非常的值得一读，因为那个文章普及了信息论的基础知识所以我这个答案出现的原因是想要再推荐一下洪涛答案中的文章但是还是很多人有pdf恐惧症，那么如果有pdf恐惧症的话，那么就看这两个文章吧PS: 所有讲快排的时候不讲解空间的都是耍流氓.......
楼上说的很多的解法，看着挺绕的。发现一个用矩阵的方式求解的一个解法。貌似容易懂很多。看到那个矩阵的时候，瞬间就可以明白了。
7次用文章末最後的結論（第八節）update＝＝＝＝＝＝＝這篇文章出自數學傳播這本雜誌，只給出了理論上的下界，沒有給出具體的方法，雜誌由台灣主辦在網上可以免費閱讀。一個更具體的例子是12個球，大部分人的方法要稱4次，這篇文章中通過編碼的方法，只用了三次更一般的方法見陳浩的答案。用這個方法理論上的下界總是可以達到的，應投稿給，我想他會很喜歎。
如果再补充条件：并确定次品是轻还是重。需要多少次？
7次是正确的，
说的非常清楚了，这里给PDF恐惧症患者做一下补充说明，不太严谨，不过比较直观。题目中999个球中含有一个特殊的球，一共有（999 * 2 =）1998种不同的情况（每个球都可能特殊*轻或重两种可能），而天平每次称量存在左边轻、右边轻、两边一样三种可能。我们唯一能做的，就是通过称量可以排除称量结果矛盾的情况（比方说左边放球0~332,右边放333~665，666~998不放，左边轻可以排除0~332中有个球重、333~665有个球轻，666~998存在特殊球共（333 + 333 + 666 =）1332种情况，还剩余（1998 - 1332 = ）666种情况待确定），一直排除到仅剩1个（某个球轻/重）或2个（某个球特殊，轻重未定，如果题目作进一步要求，那么极端情况还要多称量一次），既然要保证一定有解，我们假定每次称量的结果都是对我们最坏的，也就是排除情况最少的，那么我们就要尽可能的平均分配天平每个结果蕴含的情况，基本上每次可以排除掉原来的2/3，如果能够找到这样的分配方法，我们就可以断定n次称量最多在约3^n个球中找到一个特殊球（由于存在剩余情况总数并非3的倍数的时刻，有时剩余的可能性略多于原来的1/3）。至于具体的操作实现，需要利用一个很妙的事实：第一次均分之后至少有1/3的球可确认做标准球，用于辅助以后的称量（如果每次称量之后就把没问题的球扔在一边，次数是无法保障的呦~），从可能的情况而非球的个数考虑，才能得到正确的解。————————————————————————————————这个问题不是开放性问题，也已经有了几个优秀的解答，为什么还是不断重复出现错误答案？
根据信息论来解
有一种解法是用信息熵来解答的
999个球，其共有W=1998种可能，其信息熵为
S=log W /log 2
称重有三种结果，大于，小于，等于，每次可获得的最大信息熵为
S=1.58 bit
然后假定每次操作均可获得最大信息熵 则需要操作
10.97/1.58=6.9=7次
——在物理书上剽窃来的
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录文科数学 济南市2010年高三试卷
17548人已学
1．设集合则（&& ）
2． 若复数满足，则复数在复平面上的对应点在（&& ）
A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限
3．若样本的平均数是5，方差为2，则对于样本&，下列结论中正确的是（&&& ）
A平均数是5，方差是2 B平均数是10，方差是2 C平均数是10，方差是8 D平均数是13，方差是8
4．若x∈（0，2π]，则使成立的x取值范围是（&&& ）
A（） B（） C（） D（）
5．函数的图象的大致形状是 （&&&& ）
6．设、&为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥。那么（&&&& ）
A①是真命题，②是假命题 B①是假命题，②是真命题 C①②都是真命题 D①②都是假命题
7．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为X，Y，则满足的概率是（& ）
8．直线过双曲线的左焦点F1和一个虚顶点B，该双曲线的离心率为（&& ）
A B&& C D2
9．过的重心任作一直线分别交于点．若，，，则的值为（&& &）
A4 B3 C2 D1
10．函数y＝的最小值是（&&&& ）
A－1 B＋1 C1－ D－1－
11．半径为4cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（&&& ）
A B C2cm D4cm
12．已知满足约束条件，则的最小值是（&&& ）
13．已知数列的前项和为，若为等比数列，则实数的值为_______。
14．设f（x）定义在R上的奇函数，且，则________。
15．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则=______。
16．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4，6，12，则这个几何体的体积为________。
17．已知向量，， 。（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）如果对三角形ABC，有，求角A的值。
分值: 12分
18． 袋中装有15个球，每个球上都标有1到15的一个号码，设号码为n的球重克，这些球等可能的从袋中被取出。（I）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；（II）如果任意取出2球，试求他们重量相等的概率。
分值: 12分
19．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=。（I）证明：FO∥平面CDE；（II）设BC=是否存在实数，使EO⊥平面CDF，若不存在请说明理由；若存在，试求出的值。
分值: 12分
20．已知。（I）当时， 求证f（x）在（-1，1）内是减函数；（II）若在（-1，1）内有且只有一个极值点， 求a的取值范围。
分值: 12分
21．已知数列中，，且。（1）求数列的通项公式；（2）若函数求函数的最小值。
分值: 12分
22．已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的离心率，直线交于两点，是线段的中点，射线交于点。（I）试求椭圆的标准方程；（II）试证在（I）的条件下，椭圆在点处的切线与平行。
分值: 14分一道好玩的数学题有12个球,有一个坏了,或轻或重.现在有一个天平,怎样可以只称三次而找出坏掉的球.
将十二个球编号为1-12.第一次,先将1-4号放在左边,5-8号放在右边.1.如果右重则坏球在1-8号.第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,则它比标准球轻；如果是5号,则它比标准球重.第三次将1号放在左边,2号放在右边.1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重.2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球轻.第三次将2号放在左边,3号放在右边.1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻.3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球重.第三次将6号放在左边,7号放在右边.1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重.2.如果天平平衡,则坏球在9-12号.第二次将1-3号放在左边,9-11号放在右边.1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重.第三次将9号放在左边,10号放在右边.1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；3.如果左重则9号是坏球且比标准球重.2.如果平衡则坏球为12号.第三次将1号放在左边,12号放在右边.1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；2.这次不可能平衡；3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻.3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻.第三次将9号放在左边,10号放在右边.1.如果右重则9号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则11号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则10号是坏球且比标准球轻.3.如果左重则坏球在1-8号.第二次将2-4号拿掉,将6-8号从右边移到左边,把9-11号放在右边.就是说,把1,6,7,8放在左边,5,9,10,11放在右边.1.如果右重则坏球在拿到左边的6-8号,且比标准球轻.第三次将6号放在左边,7号放在右边.1.如果右重则6号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则7号是坏球且比标准球轻.2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号,且比标准球重.第三次将2号放在左边,3号放在右边.1.如果右重则3号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球重；3.如果左重则2号是坏球且比标准球重.3.如果左重则坏球在没有被触动的1,5号.如果是1号,则它比标准球重；如果是5号,则它比标准球轻.第三次将1号放在左边,2号放在右边.1.这次不可能右重.2.如果平衡则5号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则1号是坏球且比标准球重；够麻烦的吧.其实里面有许多情况是对称的,比如第一次称时的右重和右轻,只需考虑一种就可以了,另一种完全可以比照执行.我把整个过程写下来,只是想吓唬吓唬大家.稍微试一下,就可以知道只称两次是不可能保证找到坏球的.如果给的是十三个球,以上的解法也基本有效,只是要有个小小的改动,就是在这种情况下,在第一第二次都平衡的时候,第三次还是有可能平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我们可以肯定坏球是13号球,可是我们没法知道它到底是比标准球轻,还是比标准球重.如果给的是十四个球,我们会发现无论如何也不可能只称三次,就保证找出坏球.一个自然而然的问题就是：对于给定的自然数N,我们怎么来解有N个球的称球问题?在下面的讨论中,给定任一自然数N,我们要解决以下问题：⑴找出N球称球问题所需的最小次数,并证明以上所给的最小次数的确是最小的；⑵给出最小次数称球的具体方法；⑶如果只要求找出坏球而不要求知道坏球的轻重,对N球称球问题解决以上两个问题；还有一个我们并不是那么感兴趣,但是作为副产品的问题是：⑷如果除了所给的N个球外,另外还给一标准球,解决以上三个问题.
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看的我头好昏
好玩你个鸟啊！！ 有毛病～～ 每个星期都有人把这道题翻出来发个帖问一次，弄得比月经还频繁了。 拜托以后发帖出来之前先在网上好好自己找找答案吧～～
这种题还要问阿？
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