△ABC中,a=7,b=3,c=5求最大角及cosC；△ABC中,cos^2A/2=b+c/2c判断三角形形状，请帮帮忙_百度知道
△ABC中,a=7,b=3,c=5求最大角及cosC；△ABC中,cos^2A/2=b+c/2c判断三角形形状，请帮帮忙
提问者采纳
第一题：∵a＝7、b＝3、c＝5，∴A最大。由余弦定理，有：cosA＝（b^2＋c^2－a^2）/（2bc）＝（9＋25－49）/（2×3×5）＝－1/2，在△ABC中，显然有：0°＜A＜180°，∴A＝120°。再由余弦定理，有：cosC＝（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）＝（49＋9－25）/（2×7×3）＝23/42。∴△ABC的最大角为120°，cosC的值为23&#憨怠封干莩妨凤施脯渐47;42。第二题：∵［cos（A/2）］^2＝（b＋c）/（2c），∴2［cos（A/2）］^2＝（b＋c）/c＝b/c＋1，∴2［cos（A/2）］^2－1＝b/c，∴cosA＝b/c，∴b＝ccosA。结合正弦定理，容易得到：sinB＝sinCcosA，∴sin（180°－A－C）＝sinCcosA，∴sin（A＋C）＝cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝cosAsinC，∴sinAcosC＝0。在△ABC中，显然有：sinA＞0，∴cosC＝0，而0°＜C＜180°，∴C＝90°。∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形。
提问者评价
其他类似问题
三角形的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁在 ABC中A、B、C所对的边分别为a,b,c, cosA/2=五分之二倍根号五，b=5c （1）求C的正切值 （2）若三角形的_百度知道
在 ABC中A、B、C所对的边分别为a,b,c, cosA/2=五分之二倍根号五，b=5c （1）求C的正切值 （2）若三角形的
25 因为b=5c所以∠C为锐角;cosC=2/2的平方=3/25
所以tanC=sinC/2=五分之根号五 所以cosA=cosA&#47，所以cosC=根号105/5
a^2=b^2+c^2-2bccosA=25c^2+c^2-6c^2=20c^2
所以a=2c倍根号5
由正弦定理知 sinA=2sinC⑤
（⑤代表根号5）所以sinC=2⑤/2的平方-sinA&#47sinA&#47
a^2是什么意思
a^2是a的平方
其他类似问题
正切值的相关知识
其他3条回答
据勾股定理和余弦定理;2ab=11*根5&#47：a/2bc，你可以再计算一遍;22，正切C=sinC&#47，cosC=(a^2+b^2-c^2)&#47；cosA=2cos(A&#47；将b=5c和a=2*根5*c代入下式;5;cosC=根10/a=根2/2)^2-1=3/sinA=c&#47，但是方法是正确的;sinC，sinC=c*sinA&#47：sinA^2=1-cosA^2=1-[2cos(A/10;5)^2-1]=2&#47；根据正弦定理.计算不知道是否正确，可解得a=2*根5*c;5=(b^2+c^2-a^2)&#47，所以sinA=根10/5;2)^2-1]=1-[2(2根5/25
在△ABC中作AC上的高BH，在直角△ABH中cosA=2cos²(A/2）-1=2(2√5/5）²-1=3/5，可见A是锐角，则H点在边AC上且AH/AB=3/5，不妨设AH=3m，AB=5m，由勾股定理得BH=√（5²-3²）·m=4m。 由已知AC=5AB，有AC=5·5m=25m，所以HC=25m-3m=22m。在直角△BHC中tanC=BH/HC=4m/22m=2/11。
cosA=2(cosA/2)²-1=3/5，cosA=(b²+c²-a²)/2bc=3/5 且b=5c
所以a= 根号下（20）c
sinA=根号下（1-9/25）=4/5,由正弦定理 a/sina=c/sinc
→sinc=2倍的根号（5）/25
后面应该会了吧，最后tanC=2/11
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁&&您的位置： >
1.在三角形ABC中,sinA/a=cosB/b=cosC
复制本文地址
科目：高中数学
身份：会员
所在城市：
积&&&&分：
提&&&&问：
回&&&&答：
注册时间：
发短信息加为好友当前离线
1.在三角形ABC中,sinA/a=cosB/b=cosC/c,则三角形ABC是()2.已知等差数列{an}的公差d不等于0,若a5,a9,a15成等比数列,那么公比为()3.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5&a6=9,则log3a1+log3a2+log3a3+&+log3a10=()4.在三角形ABC中,B=60&,若此三角形最大边与最小边的比为(根号3+1):2,则最大角为()5.在等差数列{an}中,S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20=()6.已知三角形ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C的对边,关于X的不等式X²cosc+4Xsinc+6&0的解集是空集（１）求＜Ｃ的最大值（２）若c＝７／２，三角形ＡＢＣ的面积Ｓ＝３倍根号３／２，求当＜Ｃ最大值时a＋b的值
回复/点击(1/3943)&&[&&
最佳答案（未确认）：
[&&引用答案]
最佳答案：
高中数学贾老师()
1.有正弦定理得sinA/a=sinB/b，因此sinB=cosB，即tanB=1>0.又0<B<180°，在这个范围内的只有45°满足。所以B=45°。同理得C＝45°，所以是等腰直角三角形。2.a5＝a9－4d,a15=a9+6d,又a5,a9,a15成等比数列，所以a9＝12，又（12＋6d)/12=12/12-4d,d=1,可得q=3/2.3.log3a1+log3a2+…+log3a10=10log3+(loga1+loga2+...+loga10)=10log3+log(a1a2...a10)=10log3+log[(a5a6)^5]=10log3+log(9^5)=20log3
153人评分 ，其中138人认为有帮助。
| 举报&&&&标签：
身份：会员
所在城市：
积&&&&分：
提&&&&问：
回&&&&答：
注册时间：
发短信息加为好友当前离线
1.有正弦定理得sinA/a=sinB/b，因此sinB=cosB，即tanB=1>0.又0<B<180°，在这个范围内的只有45°满足。所以B=45°。同理得C＝45°，所以是等腰直角三角形。2.a5＝a9－4d,a15=a9+6d,又a5,a9,a15成等比数列，所以a9＝12，又（12＋6d)/12=12/12-4d,d=1,可得q=3/2.3.log3a1+log3a2+…+log3a10=10log3+(loga1+loga2+...+loga10)=10log3+log(a1a2...a10)=10log3+log[(a5a6)^5]=10log3+log(9^5)=20log3
最佳答案（未确认）：
[&&引用答案]
最佳答案：
高中数学贾老师()
1.有正弦定理得sinA/a=sinB/b，因此sinB=cosB，即tanB=1>0.又0<B<180°，在这个范围内的只有45°满足。所以B=45°。同理得C＝45°，所以是等腰直角三角形。2.a5＝a9－4d,a15=a9+6d,又a5,a9,a15成等比数列，所以a9＝12，又（12＋6d)/12=12/12-4d,d=1,可得q=3/2.3.log3a1+log3a2+…+log3a10=10log3+(loga1+loga2+...+loga10)=10log3+log(a1a2...a10)=10log3+log[(a5a6)^5]=10log3+log(9^5)=20log3
153人评分 ，其中138人认为有帮助。
| 举报&&&&
&&&&&&&&&内 容：
[ALT+S提交]字数检查：你还可以输入2000个字符 |
清空内容 | &&&
论坛跳转..③竞赛中的三角形问题-海文库
全站搜索：
您现在的位置：&>&&>&学科竞赛
③竞赛中的三角形问题
Y.P.M数学竞赛讲座
1竞赛中的三角形问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解?cosA+cosB&0.证明:△ABC有解?C有解?A+B有解?0&A+B&π?0&A&π-B?cosA&cos(π-B)?cosA&-cosB?cosA+cosB&0.
解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解?sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解?sinA+cosB&1.证明:△ABC有解?角C有解?sinC&0?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+(??sin2A22)(?cos2B)= sinAcosB??(sin2A?cos2B)?sin2Acos2B&0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B&1时,有两解.
等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解?函数f(x)=x2- 2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).证明:在△ABC中,b=a+c-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解?关于c的方程:b=a+c-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)?函数f(x)=x-2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 数列命题:在△ABC中,(i)如果a、b、c成等比数列,则B∈(0,证明:(i)a、b、c成等比数列?ac=b?cosB=a2?c2?(2??];(ii)如果a、b、c成等差数列,则B∈(0,]; 332ac?ac1?a2?c2?b2a2?c2?ac=≥=?B∈(0,];(ii)a、b、c成2ac322ac2ac等差数列?a+c=2b?cosB=a?c?b=2ac222a?c2)6ac?2ac1?3(a2?c2)?2ac=≥=?B∈(0,]. 8ac322ac8acStewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×
证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB=PA+PB-2PA×PBcosα,在△APC中,AC=PA+PC-2PA.PCcos(π-α)?AC=PA+PC+2PA×PCcosα?PC×AB+PB×AC=BC×PAPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线. 二、典型问题1.正弦定理[例1]:(2006年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为
[类题]:1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.2.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA-sinB-sinC=0,且sinA=2sinBsinC则△ABC是(
)(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)等边三角形
(D)等腰直角三角形3.⑴(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,若tanA=于
. 11,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等 232222
Y.P.M数学竞赛讲座⑵(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=的边为1,则△ABC最短边的长为
.4.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=40,∠BAD=30若AB=CD,则∠ACD的大小为
(度5.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.6.(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin充要条件是(
)(A)a+b=2c
13,cosB=.若最长210A2B2C2B+sin+sin=cos成立的22222.余弦定理[例2]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种. [解析]:
1.(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)设在△ABC中,AB=+,∠ACB=30.则AC+BC的最大值是
.2.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个三角形的三边长恰为m+m+1,2m+1,m-1,则这个三角形的最大角为
. 3.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式边所对应的角B的大小是
.4.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD的最小值为
. 5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若11?的最小值是
. tanAtanB222c2a2?=b,则长为b的a?bb?cba+=4cosC,则ab6.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=3,则△ABC的面积为_____. 43.面积公式[例3]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)凸四边形ABCD中,AB=的面积,则S+T的最大值是
.22,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD[解析]:[类题]:1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB?AC的最小值是
. 2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=45.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为. 3.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,已知∠A=30,∠B=105,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=60,且DE将△ABC的面积两等分,则(
. ACY.P.M数学竞赛讲座
34.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=面积为
.5.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量OP=(2cos(??+x),-1),OQ=(-sin(-x),cos2x),f(x)=OP?OQ. 2232,则△ABC的2若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=,则△ABC的面积S=
.6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于t=111??,则s与t的大小关系是 abc1,而外接圆半径为1,若s=a??, 4(A)s&t
(D)不确定4.边角互换[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2?19c2=0,则[解析]:
cotC=_______. cotA?cotB[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,如果a+b=6c,则(cotA+cotB)tanC的值等于
.2.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a+b=tc,且cotC= 2004(cotA+cotB),则常数t=_____.3.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则a2?b2c2222222=
.4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sinC?A=______. 2C?A 2
⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c?a等于AC边上的高h,则sin+cosC?A的值是
. 2CsinB,都是方程logAsinA5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b?1),且logb(4x?4)的根,则△ABC(
) bx=(A)是等腰三角形,但不是直角三角形
(B)是直角三角形,但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形
(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形6.(2006年全国高中数学联赛北京初赛试题)△ABC中,a?bsinBa?c?,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______. asinB?sinAb5.内角变换[例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-2a?b=0,则的值是
. cosB?sinBc[解析]:
Y.P.M数学竞赛讲座[类题]:1.⑴(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A=
.⑵(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则cosA=
. cos(B?C)132.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形
(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形
(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形3.(2004年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA&sinB,当且仅当A&B;乙:cotA+cotB+ cotC恒取正值.(
)(A)甲对乙错
(B)乙对甲错
(C)甲乙都对
(D)甲乙都错4.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+3=tanAtanB,sinAcosA=(
)(A)等边三角形
(B)钝角三角形
(C)直角三角形
(D)等边三角形或直角三角形5.⑴(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为⑵(2011年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tanACtan=
. 22,则该三角形是46.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为
.6.特例问题[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于(
)(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限[解析]:
[类题]:1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有(
)(A)cosA&sinB
(B)cosA&sinB
(C)tanA&sinB
(D)cosA与sinB的大小关系不确定
⑵(2011年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB -cosA)位于(
)(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限2.⑴(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=21,sinB=,则sinC的取值有(
) 75(A)1个
⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=,cosB=那么cosC的值等于
. 5133.(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=60,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是(
(B)0&k≤12
(D)0&k≤12或k=834.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=22,AC=36,则ΔABC的面积为
. 305.(2006年安徽高考试题)(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(
)Y.P.M数学竞赛讲座
5(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形6.(1982年全国高中数学联赛上海初赛试题)如果△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC&sinB'+sinC',那么(
)(A)B?C&B'?C'
(B)|B?C|&|B'?C'|
(C)B?C&|B'?C'|
(D)|B?C|&|B'?C'|7.等比性质[例7]:(2008年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则sinAcotC?cosA的取 sinBcotC?cosB值范围是(
)(A)(0,+∞)
(C)(2?1,2?1)
(D)(2?1,+∞) 2[解析]:
[类题]:1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是
.2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是
.3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.如果a、b、c成等比数列, 那么,三角方程sin7B=sinB的解集是
.4.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b-a=ac,则角B的孤度数等于______.5.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为
.6.(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:AB1??.则T=cosA+cosB+cosC的值为 . BC3228.三角形高[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则[解析]:[类题]:1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于
.2.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)若△ABC中,BC＝12,BC边上的高ha＝8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积 hbhc的最大值为____________.3.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=45,∠C=60,则000DE=_______. BCDE=
. DF4.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=30,BC=3,则AH=
.5.(1981年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB&2h.9.内切圆[例9]:(2005年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则AA1cosABC?BB1cos?CC1cos的值为(
) sinA?sinB?sinC6
Y.P.M数学竞赛讲座(A)2
(D)8[解析]:
[类题]:1.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)设在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于
.2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=3,则满足条件的点D有两个,分别设D1,D2,则D1,D2之间的距离为_______. 53.(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于(
(A)sinABCABCABCABC:sin:sin
(B)cos:cos:cos
(C)tan:tan:tan
(D)cot:cot:cot 4.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在不等边三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,则(xCy) cotCBA+(yCz)cot+(zCx)cot=
. 22205.(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=60.若△ABC的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为
.10.构三角形[例10]:(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=?. 2[解析]:
[类题]:1.⑴(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设凸四边形ABCD满足:AB=AD=1,∠A=160,∠C=100,则对角线AC的长度的取值范围是
.⑵(1987年全国高中数学联赛试题)边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是(
(D)122.(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a=b(b+c)是A=2B的(
)(A)充分必要条件
(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件
(D)即不充分也不必要条件3.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)cos10+cos50-sin40sin80=
.⑵(1995年全国高考试题)sin20+cos50+sin20cos50的值=
.4.(1991年三南高考试题)求tan20+4sin20的值. 002005.⑴(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)&1.⑵(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cA&k. 2?2y2?25?x?xy?3??y26.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组?,求xy+2yz+3zx的值. ?z2?93?22?z?zx?x?16??
Y.P.M数学竞赛讲座
1竞赛中的三角形问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向量本质特征--“数形二重性”的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.一、知识结构存在性定理:在△ABC中,己知cosA、cosB,则△ABC有解?cosA+cosB&0.证明:△ABC有解?C有解?A+B有解?0&A+B&π?0&A&π-B?cosA&cos(π-B)?cosA&-cosB?cosA+cosB&0.
解的个数定理:在△ABC中,己知sinA、cosB,其中sinA,cosB∈(0,1),则:(i)△ABC有一解?sin2A+cos2B≤1;(ii)△ABC有二解?sinA+cosB&1.证明:△ABC有解?角C有解?sinC&0?sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+(??sin2A22)(?cos2B)= sinAcosB??(sin2A?cos2B)?sin2Acos2B&0.所以当sin2A+cos2B≤1时,只有一解;当sin2A+cos2B&1时,有两解.
等价命题:在△ABC中,己知二边a,b(b≤a)及其中一边b的对角B,则△ABC有两解、一解或无解?函数f(x)=x2- 2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根).证明:在△ABC中,b=a+c-2accosB,所以,△ABC有两解、一解或无解?关于c的方程:b=a+c-2accosB有两正根、一正根或无正根(含无实根)?函数f(x)=x-2acosBx+a-b分别有两正的零点、一正的零点或无正的零点(含无实根). 数列命题:在△ABC中,(i)如果a、b、c成等比数列,则B∈(0,证明:(i)a、b、c成等比数列?ac=b?cosB=a2?c2?(2??];(ii)如果a、b、c成等差数列,则B∈(0,]; 332ac?ac1?a2?c2?b2a2?c2?ac=≥=?B∈(0,];(ii)a、b、c成2ac322ac2ac等差数列?a+c=2b?cosB=a?c?b=2ac222a?c2)6ac?2ac1?3(a2?c2)?2ac=≥=?B∈(0,]. 8ac322ac8acStewart定理:若点P是△ABC的边BC上一点,则PC×AB2+PB×AC2=BC×PA2+PB×PC×
证明:设∠APB=α,则∠APC=π-α,则在△ABP中,AB=PA+PB-2PA×PBcosα,在△APC中,AC=PA+PC-2PA.PCcos(π-α)?AC=PA+PC+2PA×PCcosα?PC×AB+PB×AC=BC×PAPB×PC×BC.由此可求三角形的中线和角平分线.二、典型问题1.正弦定理[例1]:(2006年第十七届希望杯高二数学竞赛试题)△ABC的三个内角为A,B,C,且2C-B=1800,又△ABC的周长与最长边的比值为m,那么m的最大值为
.a?b?c= c[解析]:由2C-B=1800,且A+B+C=1800?B=2C-1800,A=3600-3C,且900&C&1350,c为最长边,又由正弦定理得:m=sinA?sinB?sinCsin(3600?3C)?sin(2C?1800)?sinC?sin3C?sin2C?sinC(4sin3C?3sinC)?2sinCcosC?sinC22???=4sinC-2cosC-2=-4cosC sinCsinCsinCsinC-2cosC+2=-4(cosC+12919)+;所以当cosC=-时,m取得最大值. 4444[类题]:1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6,则sinA:sinB:sinC=___.[解析]:(CA+AB):(AB+BC):(BC+CA)=4:5:6?(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6?a:b:c=7:5:3?sinA:sinB:sinC=7:5:3.2.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA-sinB-sinC=0,且sinA=2sinBsinC则△222ABC是(
)(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)等边三角形
(D)等腰直角三角形[解析]:sinA-sinB-sinC=0?a=b+c?A=90,sinA=2sinBsinC?2sinBsin(90-B)=1?sin2B=1?B=45.3.⑴(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,若tanA=于
.⑵(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanA=的边为1,则△ABC最短边的长为
.[解析]:cosB=tanA?tanBcsinB13=-1?c=1,b最短?b==. ?tanB=?tanC=-tan(A+B)=-1?tanAtanBsinC31051,tanB=,且最长的边的长为1,则最短边的长等2313,cosB=.若最长年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=40,∠BAD=30若AB=CD,则∠ACD的大小为
(度[解析]:设BD=a,∠ACD=α,则AB=2asin70,AD=2asin40,∠DAC=110-α,由?α=40. 0000ADCDsin400sin700 ???sin?sin(110??)sin?sin(1100??)5.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设△ABC内接于半径为R的⊙O,且AB=AC,AD为底边BC上的高,则AD+BC的最大值为_____.[解析]:设∠BOD=2α,则BC=2BD=2Rsin2α,AD=ABcosα=2RsinCcosα=2Rsin(90-α)cosα=2Rcosα,则AD+BC=2Rcosα+2Rsin2α=R(1+cos2α)+2Rsin2α=5Rsin(2α+φ)+R,其中tanφ=??1,取α=-时,AD+BC≤R+R. 4222年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则使等式sin充要条件是(
) A2B2C2B+sin+sin=cos成立的2222(A)a+b=2c
(D)ac=b[解析]:sin4sin222A?CA?CA2B2C2B+sin+sin=coscos= ?1-cosA+1-cosB+1-cosC=1+cosB?cosA+cosC=2(1-cosB)?2cos222222A?CA?CA?CA?CBBBBBBB=2sin?coscos=2sincos?cossin=2sincos?sinA+sinC=2sin?cosB?a+c=2b.2.余弦定理[例2]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有____种.[解析]:设△ABC三边长a,b,c为整数,a+b+c=60,a≥b≥c,a,b,c成等差数列?b=20,a+c=40;∠A为钝角?b2+c2&a2?b2 &(a+c)(a-c)?a-c&10?a-(40-a)&10?a&25,又因b+c&a,由a+b+c=60?a&30?a=26,27,28,29.共有4种.[类题]:01.(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)设在△ABC中,AB=+2,∠ACB=30.则AC+BC的最大值是
.222222[解析]:c=a+b-2abcosC?a+b-ab=(+)?(ab≤(a?b222(a?b)2(a?b)2a?b2),a+b≥)-()≤(+ 22222)?a+b≤4(2+). 22.(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一个三角形的三边长恰为m+m+1,2m+1,m-1,则这个三角形的最大角为
.[解析]:由(m-1)+(2m+1)&m+m+1?m&1?(m+m+1)-(2m+1)=m(m-1)&0,(m+m+1)-(m-1)=m+2&0?边长m+m+1最大,由cosα=(2m?1)2?(m2?1)2?(m2?m?1)22(2m?1)(m2?1)?1. ?最大角为323.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三边之长a,b,c满足等式边所对应的角B的大小是
. c2a2?=b,则长为b的a?bb?cc2a223[解析]:=b?(b+c)c+(a+b)a=b(a+b)(b+c)?a+c+ab+bc=b+ab+abc+bc?(a+c)(a+c-ac)+b(a+c)=b?a?bb?c+ab+abc+bc,设a+c=b+xac,则(a+c)[b+(x-1)ac]+b(b+xac)=b+ab+abc+bc?ab+(x-1)ac+bc+(x-1)ac+b+xabc=b+ab+abc+bc?(x-1)ac+(x-1)ac+(x-1)abc=0?(x-1)(a+c+b)=0?x=1?a+c=b+ac?B=22222222233?. 34.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:4x+5y=20与x轴、y轴分别交于点A、B,直线l2与线段AB、OA分别交于点C、D,且平分三角形AOB的面积,则CD的最小值为
. [解析]:由条件知,OA=5,OB=4,AB=41,设∠BAO=α,则sinα=42,cosα=541,AC×ADcosα=1OA×OB?AC×AD= 25412222,由余弦定理得:CD=AD+AC-2AD×ACcosα≥2AD×AC-2AD×ACcosα=541-25,当AD=AC时等号成立.所以,CD的最2小值为=541-25.5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若11?的最小值是
. tanAtanBba+=4cosC,则ab[解析]:4cosC==11ba1a2?b2a2?b2?c2222?+≥2?cosC≥?sinC≤;由题设及余弦定理:=4 ?a+b=2c;于tanAtanBab22ab2absinAcosB?cosAsinBsin(A?B)sinC2ab1sin2Cc2a2?b22====≥=≥.而上式等号成立当且sinAsinBsinAsinBsinCsinAsinBsinCabsinC2absinC2absinCsinC3仅当A=B=C.6.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)△ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(A?B)=223,则△ABC的面积为_____. 4[解析]:在BC上取点D,使得AD=BD=x?CD=4-x,在△ACD中,(4-x)=9+x-6xcos(A?B)?x=2?cosC=△ABC的面积=37. 23?sinC=? 443.面积公式[例3]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)凸四边形ABCD中,AB=的面积,则S+T的最大值是
.22,BC=CD=DA=1.设S和T分别为△ABD和△BCD[解析]:设∠BAD=α?S=1BD2222sinα,BD=4-2cosα?T=BD?()2?T=(2-3cosα)cosα?S+T=22422sinα+cosα-cosα=-cosα+cosα+?cosα=时,S+T的最大值是. [类题]:1.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则AB?AC的最小值是
. [解析]:AB?ACsinA=24?AB?AC=是25.2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=45.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为. [解析]:由tanB=tanB?tanCADAD210,tanC==-1?tanB=2(-舍去)? ?tanC=tanB,∠BAC=45?tan(B+C)=-1?1?tanBtanC2333
242434.又因sinA≤sin2α=2sinαcosα=,其中sinα=,cosα=?AB?AC的最小值sinA2555AD=4?△ABC的面积为12.3.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,已知∠A=30,∠B=105,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或者BC相交于点E,使得∠CDE=60,且DE将△ABC的面积两等分,则([解析]:在△ABC中,已知A,B,c,则S△ABC=000CD2)=
. AC0011csinB1c2sinAsinB12sin30sin45bcsinA=csinA=.若点E在BC上,则S△ABC=AC 22sin(A?B)2sin(A?B)2sin750001CD23 2sin60sin45S△CDE=CD)=.?(02AC6sin1054.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=面积为
.[解析]:cosC=7. 1632,则△ABC的2BsinB,cos=,sinC==?△ABC的面积?cosB=?sinB=?sinA=?AC=22sinA=5.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知向量OP=(2cos(??+x),-1),OQ=(-sin(-x),cos2x),f(x)=OP?OQ. 22若a,b,c分别是锐角△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=1,b+c=5+32,a=,则△ABC的面积S=
.[解析]:f(x)=OP?OQ=-2cos(?2A-????2+x)sin(-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=2sin(2x-),f(A)=1?sin(2A-)= 22442???????2222=2kπ+,或2A-=2kπ+π-?A=kπ+,或A=kπ+?A=.由a=b+c-2bccosA=(b+c)-2(1+cosA)bc 444442415. 21,而外接圆半径为1,若s=a??, 4?13=43+302-(2+2)bc?bc=15?S=6.(1986年全国高中数学联赛试题)边长为a,b,c的三角形,其面积等于t=111??,则s与t的大小关系是 abc(A)s&t
(D)不确定[解析]:c=2RsinC=2sinC,a?b?cabc11absinC=?abc=1,t=??=(?)+(?)+(?)≥abc2ab242bc2ac1+ab1+bc1= ac=s,且其中等号成立,则a=b=c=R=1,这不成立.4.边角互换[例4]:(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2?19c2=0,则[解析]:cotCcosCsinAsinBsinAsinBaba2?b2?c25??==cosC==. cotA?cotBsinCsinAcosB?cosAsinB92absin2CccotC=_______. cotA?cotB[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,如果a+b=6c,则(cotA+cotB)tanC的值等于
.sin(A?B)sinC2c22absin2C1??[解析]:(cotA+cotB)tanC===?222=. sinAsinBcosCsinAsinBcosCaba?b?c52222.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a+b=tc,且cotC= 2004(cotA+cotB),则常数t=_____. 222cosCsin(A?B)sin2Ca2?b2?c2c2[解析]:cotC=2004(cotA+cotB)?=?cosC=2004??t=4009. sinCsinAsinBsinAsinB2abab3.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则[解析]:tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB?a2?b2c2=
. sinAsinBsinCsin(A?B)a2?b2sin2Ca2?b2?c2c2===3. ?cosC=??cosAcosBcosCcosAcosBsinAsinBab2abc24.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,已知三个角A,B,C成等差数列,假设他们对的边分别为a,b,c并且c-a等于AC边上的高h,则sinC?A=______. 200[解析]:三个角A,B,C成等差数列?A=60-α,C=60+α,c-a=h?c-a=csinA?sinC-sinA=sinCsinA?sinα=-11C?A12sinα?sinα=?sin=. 422232cosα4⑵(1993年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若c?a等于AC边上的高h,则sin+cosC?A的值是
. 2C?AC?A11+cos=+=1. 2222CsinB,都是方程logAsinAC?A 2[解析]:sin5.(1992年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b?1),且logb(4x?4)的根,则△ABC(
) bx=(A)是等腰三角形,但不是直角三角形
(B)是直角三角形,但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形
(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形2[解析]:方程logbx=logb(4x-4)?x=4x-4?x=2?CsinB0=2,=2?C=2A,且sinB=2sinA?sin(180-3A)=2sinA? AsinAsin3A=2sinA?3sinA-4sinA=2sinA?sinA=31000?A=30,C=60,B=90,故选(B). 2a?bsinBa?c?,cos(A-B)+cosC=1-cos2C,则=______. asinB?sinAb6.(2006年全国高中数学联赛北京初赛试题)△ABC中,[解析]:2a?bsinBa22??b-a=ab?=asinB?sinAb25?12,cos(A-B)+cosC=1-cos2C?cos(A-B)-cos(A+B)=2sinC?sinAsinB 2=sinC?ab=c?c=ba?c5?1?1=+?b22?1. 25.内角变换[例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-2a?b=0,则的值是
. cosB?sinBc[解析]:cosA+sinA-??)=1?A=B= 442???=0?(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2?sin(A+)sin(B+)=1?sin(A+)=1,sin(B+ cosB?sinB444[类题]:1.⑴(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)在ΔABC中,若sinA+cosA=-,则cos2A=
. 13[解析]:sinA+cosA=-cos2A=1-2sinA=21?122?cosA&0,sinA-cosA&0,(sinA+cosA)+(sinA-cosA)=2?sinA-cosA=?sinA=? 336. 9cosA=
. cos(B?C)
⑵(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,若5tanBtanC=1,则[解析]:cosBcosC?sinBsinC1?tanBtanC2cosAcos(B?C)=-=-=-=-. cosBcosC?sinBsinC1?tanBtanC3cos(B?C)cos(B?C)2.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC是等腰三角形但不一定是直角三角形
(B)ΔABC是直角三角形但不一定是等腰三角形(C)ΔABC既不是等腰三角形也不是直角三角形
(D)ΔABC既是等腰三角形也是直角三角形[解析]:(sinA+sinB)(cosA+cosB)＝2sinC?2sin?A=B. A?BA?BA?BA?B2A?Bcos×2coscos＝2sin(A+B)?cos=1 222223.(2004年江西高中女子数学竞赛试题)下面是关于△ABC的两个命题:甲:sinA&sinB,当且仅当A&B;乙:cotA+cotB+ cotC恒取正值.(
)(A)甲对乙错
(B)乙对甲错
(C)甲乙都对
(D)甲乙都错[解析]:甲:sinA&sinB?a&b?A&B;乙:cotA+cotB=sin(A?B)&0?cotA+cotB+cotC&0. sinAsinB4.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+3=tanAtanB,sinAcosA=(
) ,则该三角形是4(A)等边三角形
(B)钝角三角形
(C)直角三角形
(D)等边三角形或直角三角形[解析]:在△ABC中,tanA+tanB+=3tanAtanB?tanA?tanB0=-3?tan(A+B)=-?tanC=3?C=60;sinA 1?tanAtanBcosA=0000?sin2A=?2A=60,或120?A=30,或60?等边三角形或直角三角形. 425.(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为[解析]:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角,所以tanB≠0,所1?x1?x99cos2C2以tanAtanC=3,令cos2C=x,则cosC=,所以tanA=2==9,所以f(x)cos(B+C-A)=cos(π-2A)=- 221?xtanC1?cosC4?5x12cos2A=1-2cosA=1-2=. 2tanA?15?4x2
⑵(2011年全国高中数学联赛试题)若△ABC的角A、C满足5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0,那么tan[解析]:令tanACtan=
. 22AC1?m21?n222=m,tan=n?cosA=,cosC=,由5(cosA+cosC)+4(cosAcosC+1)=0?5[(1-m)(1+n)+(1+ 22221?m1?nm)(1-n)]+4[(1-m)(1-n)+(1+m)(1+n)]=0?5(2-2mn)+4(2+2mn)=0?mn=3.6.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为
.[解析]:该三角形不是直角三角形.不妨设A≤B≤C则tanA≤,又tanA∈Z,所以tanA=1;非直角三角形中,有恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,即tanB,tanC是方程1+x+y=xy,即y=1+35. 52的一组正整数解,所以tanB=2,tanC=3.易解x?1得最长边为6.特例问题[例7]:(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于(
)(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限[解析]:A,B是锐角△ABC的两个内角?A+B[类题]:1.⑴(1998年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在锐角三角形ABC中,一定有(
)(A)cosA&sinB
(B)cosA&sinB
(C)tanA&sinB
(D)cosA与sinB的大小关系不确定
⑵(2011年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB -cosA)位于(
)(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限2.⑴(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)在△ABC中,若sinA=21,sinB=,则sinC的取值有(
) 75(A)1个
(D)4个[解析]:sinB=.当cosB=时,由sinA+cosB&1?有两解;当cosB=-时,只有一解. ?cosB=?555535
⑵(1983年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,sinA=,cosB=那么cosC的值等于
. 5133.(2001年全国高中数学联赛试题)如果满足∠ABC=60,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范围是(
(B)0&k≤12
(D)0&k≤12或k=834.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ΔABC中,已知tanB=,sinC=22,AC=3,则ΔABC的面积为
. 305.(2006年安徽高考试题)(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(
)(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形[解析]:因三角形任一内角的正弦值为正,由题知△A1B1C1的三个内角的余弦值为正,故△A1B1C1是锐角三角形;假如△A2B2C2也是锐角三角形,由cosA1=sinA2?A1+A2=所以△A2B2C2是钝角三角形,故选(D).6.(1982年全国高中数学联赛上海初赛试题)如果△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',且sinB+sinC&sinB'+sinC',那么(
)(A)B?C&B'?C'
(B)|B?C|&|B'?C'|
(C)B?C&|B'?C'|
(D)|B?C|&|B'?C'|[解析]:∠A=∠A'?B+C=B'+C',sinB+sinC&sinB'+sinC'?2sincosB??C?B??C?B?C|&cos||?|B?C|&|B'?C'|. ?cos|222B??C?B??C?B?CB?CB?Ccos&2sincos& ?cos22222???3?3?,同理可得B1+B2=,C1+C2=?(A1+B1+C1)+(A2+B2+C2)= ?2π=.矛盾,222227.等比性质[例7]:(2008年全国高中数学联赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列,则范围是(
)(A)(0,+∞)
(C)(2?1,2?1,25?1)
(D)(2?1,+∞) 2sinAcotC?cosA的取值sinBcotC?cosB[解析]:设等比数列的公比为q,b=aq,c=aq2,由a+b&c?a+aq&aq2?q∈(sinAcotC?cosA?1),= sinBcotC?cosB2sinAcosC?cosAsinCsin(A?C)sinBb====q. sinBcosC?cosBsinCsin(B?C)sinAa[类题]:1.(1992年第三届希望杯高二数学竞赛试题)三角形ABC的三边的长度a,b,c成等差数列,则角B的最大值是
.2.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)△ABC的三条边的长a,b,c依次成等比数列,则sinB+cosB的取值范围是
.3.(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.如果a、b、c成等比数列, 那么,三角方程sin7B=sinB的解集是
.[解析]:a、b、c成等比数列?B∈(0,?. 8??(2k?1)??],sin7B=sinB?7B=2kπ+B,或7B=2kπ+π-B?B=k,或B=?B=, 33834.(1985年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C的大小成等比数列,且b-a=ac,则角B的孤度数等于______.[解析]:角A,B,C的大小成等比数列?A=q?122222B,C=qB,A+B+C=π?B=.b-a=ac,b=a+c-2accosB?a=c-2acosB qq?q?12?1B?q=2?B=. 7222?sinA=sinC-2sinAcosB?sinA=sin(B-A)?A=5.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为
.[解析]:lgtanA+lgtanC=2lgtanB?B&90,tanAtanC=tanB,tanB=-3002tanA?tanC3?tanA+tanC=tanB-tanB,tanA+tanC≥2 1?tanAtanC0tanAtanC=2tanB?tanB-tanB≥2tanB?tanB≥?B∈[60,90).6.(2011年全国高中数学联赛山西初赛试题)三角形ABC三个内角的度数满足:[解析]:设A=θ,B=3θ,C=9θ,由A+B+C=π得θ=222AB1??.求T=cosA+cosB+cosC的值. BC3?13,T=cosA+cosB+cosC=cosθ+cos3θ+cos9θ=cosθ+cos3θ-cos4θ= 222222cosθcos2θ-2cos2θ+1&2cos2θ-2cos2θ+1=1;T=(cosθ+cos3θ+cos9θ)=cosθ+cos3θ+cos9θ+2cosθcos3θ+2cos3θcos9θ+2cos9θcosθ=111(1+cos2θ)+(1+cos6θ)+(1+cos18θ)+(cos2θ+cos4θ)+(cos8θ+cos10θ)+ 2222(cos6θ+cos12θ),而T=-cos12θ-cos10θ-cos4θ所以,2T-T=3+3(cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ),又令P=cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ+cos10θ+cos12θ,则2sinθP=(sin3θ-sinθ)+(sin5θ-sin3θ)+(sin7θ-sin5θ)+(sin9θ-sin7θ)+(sin11θ-sin9θ)+(sin13θ-sin11θ)=-sinθ,所以,P=-131?2,从而2T-T=,即T=. 2248.三角形高[例8]:(1988年全国高中数学联赛试题)△ABC中,已知∠A=α,CD,BE分别是AB,AC上的高,则[解析]:B,C,D,E四点共圆?∠ADE=∠ABC?△AED∽△ABC?[类题]:1.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知△ABC的三边长分别为3,4,5,点P为△ABC内部(不含边界)一动点,则点P到三边距离之积的最大值等于
.[解析]:设AB=5,BC=3,CA=4,点P到三边AB,BC,CA的距离分别为dc,da,db,则5dc+3da+4db=12?12=5dc+3da+4db≥3dadbdc DEAD==|cosα|. BCACDE=_______. BC?dadbdc≤1644,当且仅当5dc=3da=4db=4,即dc=,da=,db=1时. 5532.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)若△ABC中,BC＝12,BC边上的高ha＝8,hb,hc分别为CA,AB边上的高,则乘积 hbhc的最大值为____________.121296sinA96sinA12?x969696[解析]:由bhb=chc=aha=96?hb=,hc=hh====96sinA.设A=α+β,tanα=,tanβ?bc11bc8bcbcsinA?96222=x?tanA=tan(α+β)=≤. ?sinA≤?hbhc≤96×003.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知AD、BE、CF为△ABC的三条高(D、E、F为垂足),∠B=45,∠C=60,则DE=
. DF[解析]:A,B,D,E四点共圆?∠CED=∠CBA?△CED∽△CBA?DE2ABsinC3===. DF2AC2sinB2DEDC110?=cos60=?DE=AB;同理可得:DF=AC? ABAC2224.(2008年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设H为锐角三角形ABC的垂心,己知∠A=30,BC=3,则AH=
.[解析]:∠AHB=180-C,∠ABH=90-A,在△ABH中,000AHsin(900?A)?ABsin(1800?C)?AH=cosAABBC=cosA=acotA. sinCsinA05.(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知非等腰锐角△ABC的外心、内心和垂心分别为O、I、H,∠A=60.若△ABC的三条高线分别为AD、BE、CF,则△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为
.[解析]:因∠BOC=2A=120,∠BIC=180-00AB?C000=90+=120,∠BHC=180-A=120?∠BOC=∠BIC=∠BHC?B,O,I,H,C五点22共圆?△OIH的外接圆半径=△OBC的外接圆半径=△ABC的外接圆半径R;又因A,E,H,F四点共圆,且直径为AH?EF= AHsinA=2RcosAsinA==3000R,由A,F,D,C四点共圆?∠BDF=∠A=60,同理∠CDE=60?∠EDF=60?△DEF的外接圆半径2r 2EF=R?△OIH的外接圆半径与△DEF的外接圆半径之比为2. sin?EDF6.(1981年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB&2h.[解析]:在△ABC中,h=asinB=bsinA,AB=c=acosB+bcosA,∠C为钝角?A+B&&asinA+bsinB&asinB+bsinA=2h. ??cosA&sinB,cosB&sinA?c=acosB+bcosA 29.内切圆[例9]:(2005年全国高中数学联赛试题)△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1.则AA1cosABC?BB1cos?CC1cos222的值为(
) sinA?sinB?sinC(A)2
(D)8[解析]:如图,连BA1,则AA1=2sin(B+AAAA)?AA1cos=2sin(B+)cos=sin[(B+ 2222AAAAB)+]+sin[(B+)-]=sin(A+B)+sinB=sinC+sinB,同理可得:BB1cos=sinC+sinA,
[类题]:1.(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)设在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,且c=10,acosA=bcosB,A≠B,则△ABC的内切圆半径等于
.[解析]:2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)若D是边长为1的正三角形ABC的边BC上的点,△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1,r2,若r1+r2=3,则满足条件的点D有两个,分别设D1,D2,则D1,D2之间的距离为_______. 5133x,另一方面S△ABD=(1+x+x2?x?1)r1?r1=(1+x- 246[解析]:设BD=x,由余弦定理得AD=x2?x?1.一方面S△ABD=x2?x?1),同理可得r2=19332(2-x-x2?x?1)?r1+r2=(3-2x2?x?1).r1+r2==0.设两个根分别为?x-x+100665x1,x2,则D1,D2之间的距离=|x1-x2|=. 53.(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题)△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,则比式(b+c-a):(a+c-b):(a+b-c)等于(
) (A)sinABCABCABCABC:sin:sin
(B)cos:cos:cos
(C)tan:tan:tan
(D)cot:cot:cot ABC,a+c-b=2rcot,a+b-c=2rcot. 222[解析]:设AB与内切圆切于点D,b+c-a=2AD=2rcot4.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在不等边三角形ABC中,sinA:sinB:sinC=x:y:z,则(xCy) cotCBA+(yCz)cot+(zCx)cot=
. 222CBA2222+(yCz)cot+(zCx)cot=(x-y)(x+y-z)+(y-z)(y+z-x)+(z-x)(x+z-y)=x-y-xz+yz+y-z-xy+ 222[解析]:(xCy)cot22xz+z-x-yz+xy=0.
10.构三角形[例10]:(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=?. 2[解析]:由3sin2α-2sin2β=0?2322?联想作△ABC,使BC=2,AC=3,∠A=2α,∠B=2β.由2sinα+2sinβsin2?sin2?=1?3cos2α+2cos2β=3,考虑到作CD⊥AB于D,则AD=3cos2α,BD=2cos2β?AB=3?AB=AC?2α+4β=π?α+2β=?. 2[类题]:1.(2006年四川高考试题)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a=b(b+c)是A=2B的(
)(A)充分必要条件
(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件
(D)即不充分也不必要条件2.(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设凸四边形ABCD满足:AB=AD=1,∠A=160,∠C=100,则对角线AC的长度的取值范围是
.0000[解析]:在△ABD中,BD=2?2cos1600=2cos10,设∠DBC=α,则∠BDC=80-α?0&α&80,在△BCD中,002BCsin(80??)=BDsin100
?BC=2cos(α+10)?AC=1+4cos(α+10)-4cos(α+10)0220203.(1987年全国高中数学联赛试题)边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是(
(D)12 [解析]:不妨设a=BD≤6,b=AC≥6,∠ABD=α,则cosα=a3300≤?45&arccos≤α&90?AC+BD=10(sinα+cosα)= 10553434,sinα=时,AC+BD取得最大值=10(+) 5555000102sin(α+45),因y=sinx在[90,180]单调递减,所以当且仅当cosα==14.4.⑴(1991年全国高中数学联赛试题)cos10+cos50-sin40sin80=
⑵(1995年全国高考试题)sin20+cos50+sin20cos50的值=
5.(1991年三南高考试题)求tan20+4sin20的值.
[解析]:构造直角△ABC,使∠C=90,∠B=60,BC=1,则∠A=30,AB=2,AC=3,在AC上取一点D,使∠DBC=20.在△BDC中, tan20=CD?CD=tan20,在△ABD中,由正弦定理
ADsin40BC?ABsin110?AD=4sin20,得tan20+4sin20=CD+AD=AC=3.0006.(第十五届全俄数学奥林匹克试题)己知x,y,z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)&1.[解析]:构造边长为1的正△ABC,分别在边CA,AB,BC上取点D,E,F,使AD=x,BE=y,CF=z,则CD=1-x,AE=1-y,BF=1-z,由S△ADE+S△BEF+S△CDF&S△ABC?x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)&1.2⑵(第二十一届全苏数学奥林匹克试题)己知正数a、b、c、A、B、C满足:a+A=b+B+c+C=k.求证:aB+bC+cA&k. [解析]:构造边长为k的正△PQR,分别在边PR,PQ,QR上取点M,N,L,使PM=b,QN=c,RL=a,则RM=B,PN=C,QL=A,由S△PMN+S△QNL+S△RML&S△PQR?aB+bC+cA&k.2?2y2?25?x?xy?3??y26.(1989年第十五届全俄数学奥林匹克试题)设正数x、y、z满足方程组?,求xy+2yz+3zx的值. ?z2?9?232?z?zx?x?16??[解析]:构造△ABC,使AB=5,BC=3,CA=4,取点P,使PA=x,PB=PBCy3,PC=z?∠APB=150,∠BPC=90,∠APC=120,由S△PAB+S△000+S△PCA=S△ABC?xy+2yz+3zx=243.
上一篇： 下一篇：
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。}