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如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG．其中正确结论的个数（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个
题型：单选题难度：偏易来源：不详
∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF=CG，∴△CFG是等边三角形，∴CF=CG∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③④正确）所以结论①②③④正确，故选：D．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线..”主要考查你对&&等边三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等边三角形
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
发现相似题
与“如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线..”考查相似的试题有：
358226391560897811915411911739202675在等腰三角形ABC中，CH是高线，P是CH上不与端点重合的任意一点，连接AP
在等腰三角形ABC中，CH是高线，P是CH上不与端点重合的任意一点，连接AP 20
如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E于点F重合于点G），记三角形ABC和三角形ABG的面积分别是S三角形ABC和S三角形ABG，如果存在点P，能使得S三角形ABC=S三角形ABG，求角ACB的取值范围。
我关键是不明白：因为在前两问已经证明了AE=BF，所以三角形ABG一定是一个等腰三角形，又因为三角形ABG的面积等于三角形ABC，所以只有点G和点Ｃ重合时才能实现，而这时Ｐ点与Ｃ点也重合了，这就不符合题意了啊！再说，这跟角ＡＣＢ的取值有什么关系呢？如若角ＡＣＢ＝１２０°（答案是　角ＡＣＢ大于６０，小于９０），也同样可以画出来啊！请大家画图给我讲解一下，谢谢。顺便说一下为什么角ＡＣＢ＝１２０°的时候不行！
即：AE=AC，：∠AEC=∠ACE=（180*-∠EAC）/2&90*，
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 同时：∠AEC&∠ABC=90*--1/2ACE
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&所以：∠AEC＝∠&60度。
　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&&&&&&&&& 故：60*＜∠ACB＜90*
ABG这个三角形只是用那三条线段来构成的一个新三角形。若它与ABC的面积相等，而且易证明AE=BF
所以，点G应与C重合。即：AE=AC，从而：∠AEC=∠ACE=（180*-∠EAC）/2&90*，
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 同时：∠AEC&∠ABC=90*--1/2ACE
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&所以：∠AEC＝∠&60度。
　　　　　　　　　　　　　&&&&&&&&&&&&&&&& 故：60*＜∠ACB＜90*
其他回答 (1)
（2008o杭州）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠C的取值范围．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题；分类讨论．分析：（1）证得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可；（3）∠C的取值应按直角，锐角，钝角分情况进行讨论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰△，CH是底边上的高线，∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．又∵CP=CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．（2）∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF．∴AE=BF．解：（3）由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC=S△ABG．∴AE=AC．①当∠C为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠C为锐角时，∠A=90°- ∠C，而∠CAE＜∠A，要使AE=AC，只需使∠C=∠CEA，此时，∠CAE=180°-2∠C，只须180°-2∠C＜90°- ∠C，解得60°＜∠C＜90°．（也可在△CEA中通过比较∠C和∠CEA的大小而得到结论）
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导如图1，点A在y轴的正半轴上，以OA为边作等边三角形AOC．
（1）点B是x轴正半轴上的一个动点，如图1当点B移动到点D的位置时，连接AD，请你在第一象限内确定点E，使△ADE是等边三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）在（1）的条件下，在点B的运动过程中，∠ACE的大小是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，请说明理由．
（3）如图2，把你在（1）中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转，使点E落在y轴的正半轴上E′的位置，得到正△AE′D′，连接CE′、OD′交于点F．现在给出两个结论：①AF平分∠CAD′；②FA平分∠OFE′，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，并进行证明．
提 示 请您或之后查看试题解析 惊喜：新移动手机注册无广告查看试题解析、半价提问如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在BC与⊙O相切的条件下，①如图2，如果点A与点E重合，试求⊙O的半径；②如图3，如果DE∥BC，试求⊙O的半径；③求⊙O的半径的最小值（直接写出答案）．-乐乐题库
& 圆的综合题知识点 & “如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，...”习题详情
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如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在BC与⊙O相切的条件下，①如图2，如果点A与点E重合，试求⊙O的半径；②如图3，如果DE∥BC，试求⊙O的半径；③求⊙O的半径的最小值（直接写出答案）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在BC与⊙O相...”的分析与解答如下所示：
（1）如图1，过点E作EF⊥BC于点F．利用两平行线间的距离的定义知EF即DE与BC间的距离，由三角形中位线定理求得⊙O的半径，然后通过比较EF与⊙O的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系；（2）①设⊙O半径为r1．根据相似三角形Rt△COF∽Rt△CBA的对应边成比例列出比例式OFAB=OCBC，即r16=8-r110，易求r1=3；②作直角三角形ABC斜边上的高线AH．利用相似三角形△AED∽△ABC的对应高线之比等于相似比的性质列出比例式AGAH=DEBC，即AH-r2AH=2r2BC，易求r2=12049；③当AF⊥BC，即A、O、F三点共线时，⊙O的半径最小．
解：（1）⊙O与BC相交．理由如下：如图1，过点E作EF⊥BC于点F．∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC=5，BE=12AB=3，∴⊙O的半径为52，DE与BC间的距离就是EF的长度．∵sin∠B=EFBE=ACBC，即EF3=810，∴EF=125．∵52＞125，∴⊙O与BC相交；（2）①设⊙O半径为r1．∵⊙O与BC相切，∴OF⊥BC．∵Rt△COF∽Rt△CBA，∴OFAB=OCBC，即r16=8-r110，∴r1=3，即⊙O半径为3；②设⊙O半径为r2．∵BC与⊙O相切，∴OF⊥BC．　过点A作AH⊥BC交DE于G，交BC于点H．则GH=OF=r2．∵12ABoAC=12BCoAH，即6×8=10×AH，∴AH=245．∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴AGAH=DEBC，即AH-r2AH=2r2BC，∴245-r22452r210，解得．r2=12049，即⊙O半径为12049；③连接OA．要使得⊙O半径最小，则要OA+OF最小，此时，A，O，F三点共线且A，O，F所在直线垂直于BC．即AO+OF=245，即⊙O半径最小为：12（AO+OF）=125．
本题考查了圆的综合题．注意：勾股定理的逆定理、直角三角形的面积、解直角三角形、切线的性质以及“相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应边上高线之比等于相似比”等相似三角形的性质，在本题的解答过程中的综合运用．
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如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在B...
错误类型：
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习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
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经过分析，习题“如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在BC与⊙O相...”主要考察你对“圆的综合题”
等考点的理解。
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圆的综合题
圆的综合题．
与“如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为直径作⊙O．（1）如图1，如果DE为△ABC的中位线，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）在BC与⊙O相...”相似的题目：
如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x．（1）CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度．（2）△PBC的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由．（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．&&（4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值．&&&&
图①至图③中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．扇形纸片OMP在AB、CD之间（包括AB、CD），扇形OMP的圆心角∠MOP=α，半径OM=4．如图①，扇形的半径OM在AB上．如图②③，将扇形纸片OMP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转．（Ⅰ）如图②，当α=60°时，在旋转过程中，点P到直线CD的最小距离是&&&&，旋转角∠BMO的最大值是&&&&；（Ⅱ）如图③，在扇形纸片OMP旋转的过程中，要使点P落在直线CD上，α的最大值是&&&&．
在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．设AM=x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少．&&&&
“如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：①∠BOD=90°；②DO∥AB；③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤√2正确的有&&&&
2如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：①∠APM=45°；②AB=√2IM；③∠BIM=∠BAP；④√22．
3一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为&&&&
该知识点易错题
1如图，等腰直角△ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD（1）如图（1），点D在半圆BC上时，求证：BD+CD=√2AD；（2）如图（2），点D在劣弧AB上时，直接写出BD、CD、AD间的数量关系：&&&&2AD；（3）在（2）的条件下，如图（3），CD与AB交于点E，连接AO交CD于F，若AE=3BE，AF=√2，求⊙O的直径．
2如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P上的一段优弧和⊙Q上的一段劣弧围成，⊙P与⊙Q的半径都是2km，点P在⊙Q上．（1）求月牙形公园的面积；（2）现要在公园内建一块顶点都在⊙P上的直角三角形场地ABC，其中∠C=90°，求场地的最大面积．
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等边三角形的性质习题精选附答案
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