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等比数列的中项公式是什么啊就是怎么求中项
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比方说 a,b,c三项,如果b２=ac,那么我们就可以说b是a,c的等比中项.
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等比数列公式
等比数列公式花圈的有疑问
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前面还有一个0次方项呢，没看到吗，加上最后n-1这一项，总项数是n项
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。　　摘 要：在数学课堂教学中，教师要把学生当做学习的主人，激发他们的学习动机，引导学生主动参与，充分发挥他们的主体作用，同时教师要善于根据教材内容的特点和学生的实际，想方式法创造条件，让学生主动地进行探索与交流． 本文以等比数列求和公式的推导为例，对数学课堂教学进行反思．　　关键词：等比数列求和公式；教学设计；反思；新课改；自主探究　　在新课程改革的今天，课堂教学的成败取决于学生是否能积极、主动地参与到学习过程中，因此要提高课堂教学质量，就要真正确立学生的主体地位，通过师生互动充分挖掘学生的思维潜力，在教师的引领下，倡导师生的思维对话，鼓励学生个性思维的发挥．等比数列前n项和公式的推导方法既是一个教学重点，又是一个教学难点．怎样突破这一难点呢？笔者将几个教学设计方案呈现给大家，并做出一些反思．　　方案一　　直接给出等比数列的前n项和公式，向学生介绍公式的推导方法．　　方法1：由等比数列的定义，知===…==q，　　由等比定理得：=q，即=q，　　所以（1－q）Sn=a1－an?q．　　将an=a1?qn-1代入得（1－q）Sn=a1（1－qn），　　所以当q≠1时，Sn=；　　当q=1时，Sn=na1．　　方法2：（教师引导：能不能像推导等差、等比数列通项公式的方法，列出一些等式，然后叠乘或叠加呢？）　　a2=a1q，　　a3=a2q，　　a4=a3q，　　……　　an=an-1?q.　　将以上等式的两边分别相加，得a2+a3+a4+…+an=q（a1+a2+a3+…+an-1），　　即：Sn－a1=q（Sn－an），　　所以（1－q）Sn=a1－anq．　　（以下过程同法一）　　反思　　方案一是由教师直接“抛出”等比数列前n项和的公式，学生被动接受． 学生已经知道问题的结论，就失去探索未知的动力． 如果没有教师引导，普通学生不易找到公式推导的思路，只能是由教师提供方法，学生更多的是惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成就感． 教师在实施课堂教学过程中，应当更新教育理念，改变以往那种灌输——接受的教学模式，让学生从机械、呆板、被动的学习中解放出来． 在教学过程中要通过多种教学组织形式，引导学生积极主动的学习，使学习成为在教师引导下主动、富有个性的过程．　　方案二（教师先给出一个情境）　　国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子为止． 把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧．” 国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求． 你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢？国王有能力满足发明者的要求吗？　　从这一情境中提炼问题：S64=1+2+22+…+263①．　　（教师引导：上式中的数有何特点？若用公比2乘以等式的两边所得新式子有何特点？）　　若用公比2乘以等式的两边，得2S64=2+22+23+…+264②．　　（教师引导：观察①与②两式有何关系？）　　为了便于比较①②两式，我们将它们列在一起：　　S64=1+2+22+…+263①，　　2S64=2+22+23+…+264②．　　（教师引导：①与②两式可如何处理？）　　若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：S64=264－1．　　（回归问题：我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王无法满足发明者的要求．）　　（知识类比：能否仿照上述解题方法，给出一般等比数列的前n项和？）　　Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，　　观察等式右端，若每一项乘以公比q，就得到它后面相邻的一项，在等式两边乘以公比q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn．　　将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，　　所以（1－q）Sn=a1－a1qn．　　当q≠1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1．　　这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法．　　反思　　方案二通过设计情境引入课题，激发了学生的兴趣，调动了学习的积极性．创设问题情境时往往并不直接揭示所学的数学内容，而需要学生基于自己的实践和思考，从中提炼数学信息，因此，学生的许多富有创造性的想法可以从情境中引发出来． 方案二采用了从特殊到一般的思想方法，但没有突破错位相减的认知“瓶颈”，依然有“抛出”的嫌疑．　　方案三 设计如下问题情境　　1． 1－q2= _____________．　　（1－q2=（1－q）（1+q））　　2． 1－q3= _______________．　　（1－q3=（1－q）（1+q+q2））　　3． 猜想：1－qn=______________． ①　　答案：1－qn=（1－q）（1+q+q2+…+qn-1）．　　4． 写出等比数列Sn的表达式：　　__________________________． ②　　（Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1（1+q+q2+…+qn-1）　　5． 对比①和②，你发现了什么？Sn=_____________________，求Sn时要注意什么？如何记忆Sn公式？　　（当q≠1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1）　　6． 对于①式，我们只是猜想，如何证明？（利用多项式的运算法则）
　　7． 现在要你推导一次Sn的公式，你会吗？　　8． 把你的推导与教材的推导进行对比，你能知道为什么要这样推导了吗？　　9． 深化与应用：已知｛ａn｝为等比数列（q≠1），定义Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，你能根据回答以上问题得到的启发求出Tn的最简式吗？能否把你推导出的结论进行进一步推广？　　反思　　方案三通过创设问题情境，让学生从已有知识入手推导出公式，在这个过程中让学生学会猜想、观察、对比、发现、证明、应用等，层层深入进行自主探究，充分挖掘了学生的思维潜力． 自主探索是学生获取知识、形成能力的关键． 学生对数学的认识不仅要从数学家已经研究过的现成的数学观点中去领悟，更要在数学活动的实践中亲身去体验知识产生的过程． 因此，必须让学生“自主探索”（包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理、思考、推理、交流和应用等），亲身体验如何“做数学”，如何实现数学的“再创造”，从而激发学生的求知欲． 同时，每个学生都有分析、解决问题的潜能，都有与生俱来的把自己当做探索者、研究者、发现者的本能，有证实自己思想的欲望，教师能否抓住这一点，是其数学教育成功与否的关键．　　方案四　　复习等差数列的前n项和公式的推导方法——倒序相加法，激发学生类比联想：等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢？这时学生会用倒序相加的方法来进行思考，结果显然是行不通的．　　教师适时点拨，引导学生进行思维发散——从倒序相加的定式中解脱出来． 等差数列的求和方法，形式上是倒序相加，本质上就是把省略号（……）的“无形”化为“有形”（上下对应两项的和都等于a1+an）． 对于等比数列而言，难点也是如何把省略号（……）的“无形”化为“有形”？引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，则在qSn这个和式与Sn的和式中，就会出现许多相同的项． 这样通过两个和式相减，消去了一些中间项，使带有省略号的含任意有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决．　　反思　　方案四借助推导等差数列求和公式的思想方法，类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法． 类比就是依据两个或两类数学对象的相似性进行联想，把它们其中一个数学对象已知的、较为熟悉的特殊性迁移到另一个和它相似的数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法． 类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用．有意识地、合理地运用类比法，不仅对教学效果大有裨益，而且可以帮助学生更好地建立认知结构，探索和发现新的命题、新知识，增强创新能力和解决问题的能力． 教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径，是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现．　　结束语　　新课改实践主阵地是课堂教学，课堂教学中要体现新课改的理念和要求，就得改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的状况，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力． 课堂教学中，只有努力满足学生的学习需求，激发学生的学习兴趣，使学生能够爱学、喜学和乐学，激活学生的认知活动，才能促使学生积极主动地参与教学过程，才能实现数学课堂的高效率和高质量．
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[děng bǐ shù liè]
等比是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为。
等比数列等比故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于，至今见诸于文献最早的记录是在时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多的赏赐。[1]
等比数列公式
（1）定义式：
（2）（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：
（3）求和公式：
求和公式用文字来描述就是：Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为
，任意两项
；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意讨论公比q是否为1.
（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1。
另外，一个各项均为的等比数列各项取同后构成一个；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
等比中项公式：
（6）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
（7）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列
1.若A=a1+a2+……+an
B=an+1+……+a2n
C=a2n+1+……a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n
2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2
B=a2+a5+a8+……+a3n-1
C=a3+a6+a9+……+a3n
则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q[2]
等比数列性质
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列[2]
等比数列求通项方法
（1）待定法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
∴（a（n+1）+3）/（an+3）=2
∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
（2）定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式？
∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1[2]
等比数列应用
等比数列生活中的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——。即把前一期的利息和加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。
随着房价越来越高，很多人没办法像这样一次性将房款付清，总是要向银行借钱，既可以申请公积金也可以申请银行贷款，但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时，也可以利用数列来自己计算。众所周知，按揭贷款（公积金贷款）中一般实行按月等额还本付息。下面就来寻求这一问题的解决办法。若贷款数额 a0 元，贷款月利率为 p，还款方式每月等额还本付息 a 元，设第 n 月还款后的本金为 an，那么有：a1=a0(1+p)-a；a2=a1(1+p)-a；a3=a2(1+p)-a；......an+1=an(1+p)-a,.... 将其变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p。由此可见，{an-a/p} 是一个以 a1-a/p 为首项，1+p 为公比的等比数列。
其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷，甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。[3]
等比数列数学中的应用
等比数列例1
设ak，al，am，an是等比数列中的第k、l、m、n项，若k+l=m+n，求证：ak*al=am*an
证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：
ak=a1·q^(k-1)，al=a1·q^(l-1)，am=a1·q^(m-1)，an=a1·q^(n-1)
ak*al=a^2*q^(k+l-2)，am*an=a^2*q(m+n-2)，
故：ak*al=am*an
说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：
a(1+k)·a(n-k)=a1·an
对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：
a(1+k)+a(n-k)=a1+an。
等比数列例2
在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=( )
A.20 B.22 C.24 D28
解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知条件得：
5a8=120，a8=24
而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。
等比数列例3
设Sn为等差数列的前n项之和，S9=18，a（n-4）=30(n&9)，Sn=336，则n为( )
A.16 B.21 C.9 D.8
解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+a（n-4）=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B。
等比数列例4
设等差数列满足3a8=5a13，且a1&0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)
(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21
解：∵3a8=5a13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
故a1=-19.5d
令an≥0→n≤20；当n&20时an&0
∴S19=S20最大，选(C)
注：也可用求最值。
等比数列例5
将正奇数{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：
{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…
(第一组) (第二组) (第三组)
则1991位于第_____组中。
【1991年全国高中数学联赛第3题】
解：依题意，前n组中共有奇数
1+3+5+…+(2n-1)=n^2个
而6-1，它是第996个正奇数。
∵31^2=961&996&
∴1991应在第31+1=32组中。
故填32。[2]
．人民教育出版社[引用日期]
严士健．普通高中课程标准实验教科书——数学必修5：北京师范大学出版社，2010
赵丹阳 .小谈等差等比数列在生活中的应用[J].才智,2012 (32) :116
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