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10-002．关于弧微分、转角微分和曲率的一个问题
　　说明：这是大一学生寒假期间提的高数问题，不知是为补考，还是为启动考研复习．以后凡高等数学问题，不再区分提问对象，全部归类于考研辅导．
　　由于有人下载了本人提供的文件后，派了其他用场．但是我原文可能存在某些小问题，需要作适当的修改，而我却无法联系通知这些朋友，作同步修改，使我感到非常遗憾．
　　为此，我决定不再上传文件，需要下载文件的朋友，请务必在本文后面的评论栏里留言（同时将邮箱地址发到我的信箱里）．当我发现原文有小问题要作修改，好及时通知你．
10考研数学辅导系列之002
关于弧微分、转角微分和曲率的一个问题
（数学三考生可以不用阅读研究本问题）
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。请教一个关于弧微分的概念问题【微积分吧】_百度贴吧
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请教一个关于弧微分的概念问题收藏
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
请教&
对于曲线r=r(θ)，曲线的弧长微分ds是否等于r(θ)dθ?&
则ds=r(θ)dθ成立否？&
为什么（不成立）？&
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只有当r(θ)为常数（即曲线是以极点为圆心的圆弧）时是对的！
你的这个表达式没有涉及到“曲线的斜率”，所以显然是不正确的。弧微分与曲线的“走势”有很大的关系。
我想楼主一定是把任一条曲线都看成圆弧得到的结论吧，正确的做法是把这个极坐标方程写成参数方程的形式，再利用参数方程表示的曲线的弧微分公式推出，其结果楼主肯定是知道的！
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我是楼主，好久没上这里了。在此谢谢楼上诸位的解惑。&
教材讲述弧微分的部分，肯定会给出2楼的那个公式。之所以还要提出这个问题，是因为对于曲线r=r(θ)和原点构成的扇形面积的微分是dA=(r^2dθ)/2，这里是能够直接把曲线弧当成圆弧构造的。为什么对于计算面积就可以“当作”圆弧而计算弧长时就不行呢？对于鲁钝的我而言，类似的地方充满了陷阱，也就是按照直觉写出一个似是（而非）的微分dy表达式，但并不是△y的线性主部。&
其实在工程类专业应用场合甚至一些数学类的资料，都往往用这种直观的方式直接写出微分，不经过分析推导剩下的部分是dx的高阶无穷小。我不知道是他们是怎样做到恰好正确的，难道仅仅通过熟记这些典型的微分吗？虽然典型的模型不多，但我觉得熟记也不代表深刻理解，显然不是学习的目的，所以我就疑惑了。&
请教.楼上诸位你们是怎么做到的呢？熟记？直觉？分析？
楼主在3楼的疑问还是我来解释下吧：
并非象你所说，在这行而在那不行，要是不行就都不行的，你以为微积分的理论象领导干部的决策吗？嘿嘿～～～
对于曲线r=r(θ)和原点构成的图形（不一定是扇形）面积的微元（即面积元素，不是你说的微分）是dA=(r^2dθ)/2，这个是正确的，但他的“边”是真正的扇形。将这个图形用极坐标下的坐标线（圆环和射线）分成许多小块，内部的块的边都是坐标线，并非你认为的r=r(θ),只有图形边缘才有r=r(θ)曲线，但“极限”是零。
我说的这些只给你提供参考，因我感觉你的能力绝不在我之下，也就在微积分这个小地方，我才可以跟你探讨一下，出了微积分的圈儿，我就玩不转了，哈哈～～
希望对你有点帮助。
针对楼主的问题，我试了一下，下面这个式子，
我不知道应该怎么表示成积分！
上面&那个&应该是&加号
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先谢谢四楼的热心提醒。长期以来，我一直不知道你说的微元和微分的区别，我只有一个微分dy是△y的线性主部，△y-dy是dx的高阶无穷小的概念。对于面积微元的理解也和一元微分一脉相承的，则把△A-dA理解成dxdy的高阶无穷小。不过幸好这些概念区别跟我要讨论的问题无关。
我说的扇型，就是两个同起点的射线和某段弧线r=r(θ)围成的面积，不是一定是半径和圆弧的意思。你提到的圆环和射线分成许多小块（所有的边都是坐标线），高等数学吧那边有人提醒我这种面积微元和雅可比行列式的关系，不知道你说的是不是这个意思。但我要说的是dA=(r^2dθ)/2为什么刚好符合直觉而且又正确，而ds=rdθ也符合直觉（当然只是我的），却偏偏不正确。（我知道的我疑惑很搞笑）
看来弧微分的坐标变换只能从ds=(y'+1)^(1/2)dx出发，真理总是和我的直觉闹别扭。
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也谢谢5楼的参与。5楼的式子是简化成无数的三角形的对边相加，其实这就是积分的定义啊（当n趋于无穷时），如果能把这个式子化成微分形式，应该和ds=(r^2+r'^2)^(1/2)dθ是一致的，不过我以前试过，但没能做到。我这么说还是基于直觉，这个直觉是从x/sinx在x趋于0时等于1的证明方法那里得到的，也就是说我感觉弧线在θ趋于0时和弦长相等。呵，又是直觉，不知道正确不。
我感觉你对这个问题的直觉是错的，我是凭ds=rdθ符合你的直觉猜的。
dA=(r^2dθ)/2这个符合你的直觉？dA是面积微元，整个图形是由无限不可列个这样的微元组成的，请你把眼光聚焦，落在微小的dA上，看看你还有你那个直觉吗？
嘿嘿，假的东西是真不了的啊！假的东西符合你的直觉，应该是你对某个概念的理解有偏差！
我所说的也未必是你的症结，但我对这个问题的认识是很清晰的，并没有你的疑惑，祝你尽快解开谜团吧！
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哦，又试了一下5楼的式子，把括号内的那部分当作△s（弦长），让后除以△θ，则△s/△θ，并令△θ趋于0，能得到ds/dθ＝(r^2+r'^2)^(1/2)，但这仅仅是弦长对θ的微分，可能还需要证明弦长和弧长的微分相等才行。
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10匆忙，改一下。“但这仅仅是弦长对θ的微分”应为“仅仅是弦长的导数”
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回9楼，我说的dA=(r^2dθ)/2符合直觉，是指我直觉把这弧线当作圆弧处理的意思。当然弧线不是圆弧，但当这个当作就是(r^2dθ)/2恰好是△A的线性主部的意思。事实上，教材也是用“当作”字样陈述这个微元面积表达式的。
另外，你在4楼提到的那个“极限”是指什么极限？你说的这个地方没看懂，是指△A-dA的极限吗？
12楼，&
我在四楼说的极限，是积分定义中的极限，即分割、求和之后的那个极限。&
你仔细考虑下△A，要想得到△A的表达式，首先要有一定点（r0，θ0），还要有两个自变量r和θ的增量（很小），这样才能把△A表示出来（进而才可以考虑△A的线性主部），在这么一个小的地方，哪来的你看成圆弧的那个弧线呢？&
你仔细看我在4楼和9楼的每句话，句句是真理，哈哈～～&
如果看不懂，就去悟透定积分或二重积分的定义吧！
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混混你好。那个圆弧，可以存在的，你可以通过任何一个端点画圆弧并与另一射线相交，得到的这小段圆弧，就是代替对应小段弧线的圆弧。我手头的教材的图示就是这么画的。
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补充一下，对于混混在14楼的在“那么小的地方”这个说法，我觉得似有不妥，大和小都是相对的另外的变量而言的，如果你愿意你可以把构造微元的图示画在足球场那么大的地方上。呵呵。我对ds=rdθ的直觉肯定是错的，在讨论之前我就说我错了。但弧线和弦长在其中一个趋于0时，他们是等价的无穷小的直觉没错的。其实ds=(y'+1)^(1/2)dx的式子，也是建立在弦长和弧长的关系上推导得到的。
我对定积分和二元积分的定义很熟悉，也知道你说的是真理，哈。但你可能不理解我说的问题在哪儿。
我的习惯是，要从每一个我想到的角度去理解都能想通，并形成直觉，才算是认识了这个问题。譬如在某各角度能理解，但在另外的角度不符合直觉，那就不算真的理解。（笨人笨功夫）
我觉得5楼的式子的以三角形弦长代替弧长求弧线微分，比较符合另一角度的直觉，呵。我在10楼已经说了刚才算了一下可以得到ds/dθ＝(r^2+r'^2)^(1/2),但我还不知道如何通过这个方式证明弧线的微分等于弦长的微分。教材里的ds=(y'+1)^(1/2)dx的证明是通过中值定理推导的。
再次感谢。
楼主给的&ds/dθ＝(r^2+r'^2)^(1/2)的结果，结合我给出式子，推导了一下，我感觉凭直觉，有的东西很难理解。最后还是得信任逻辑。
△s&是曲线弧的一段的近似。
随着△θ-&0,&曲线弧长将无穷接近△s，我认为有这个认识就足以相信这个ds/dθ＝(r^2+r'^2)^(1/2)逻辑。
有微积分基本定理，很容易就可以推导出弧微分的公式。呵呵用参数方程，很简单。
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感谢17楼，昨晚你贴出三角形弦线的这个公式后，我做了和你类似的推导（10楼，但不会贴图）。但从逻辑的完善性而言，我觉得还不能证明这个ds的积分恰好就等于总弧长。其实我手头的教材的那个ds=(y'2+1)^(1/2)dx也存在同样的问题，这公式也是用弦长[(△x)^2+(△y)^2]^(1/2)代替弧长的推导过程，最后变成定积分的定义式。但这只是证明这个极限（也就是定积分）的存在，没有严格地证明这个定积分恰好就等于弧长（虽然直观上很易接受）。
我觉得我手头的教材在定积分这一章都存在类似的问题，譬如讲述定积分概念和定义时，常从f(x)和横坐标轴围成的面积这个模型开始，但只是用直观的方式得出定积分的定义式，并证明极限存在，然后让读者在直观的视觉下接受这个极限就是曲线围成的面积的概念。但事实上这个过程没有严格地证明这个积分恰好就是曲线和坐标轴围起来的面积。不知道是不是《高等数学》教材重计算轻证明的原因，是不是《数学分析》会好点？
&在这么一个小的地方，哪来的你看成圆弧的那个弧线呢？&&
我不是说小地方没法画弧线，我的意思是你说的那个弧线r＝r（θ）在“边上”，而面积元素在“内部”。&
可能是我对你的“疑惑”猜测的不对。&
才发觉在贴吧里其实不容易把事儿说明白啊！唉～～～&
总之大家应该明白一个事，微积分的理论很完善了，凡是有想不透的地方，肯定是自身的理解有问题，找到症结并解决掉，自己的微积分水平就会提高一些了！
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回21楼混混
“想不透的地方肯定是资深理解的问题”，你这话肯定是对的，我没有怀疑数学本身，别误会。
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回21楼
不会发图。关于微元面积，我手头的教材的文字有“当作圆弧”字样，图示的用于“代替”弧线的圆弧是从“扇形”边线段的端点出发，终结于“扇形”的另一个边。我的理解是，只要在构成“扇形”弧线的任一点做圆弧线交于“扇形”的两个边，中间部分的圆弧线都可以，因为△θ趋于0时，r(θ+△θ)趋于r(θ),这段弧线微元上不管那个点都要趋于无穷近的，定积分的定义也要求极限的值不取决于取哪一个点ξ。
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补充23楼，因为定积分（极限）不取决于取哪一个点r(ξ)，所以用于“代替”弧线的圆弧在微元面积内部还是外部就无关紧要了。咳，讨论这个问题偏离本意了。
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关于直觉问题，再说说另一事情——（一元流体力学中）亚音速可压缩流体在渐扩流道喷管中压力延流程增加的现象，也违反我的长期以来的生活直觉，让我郁闷了一阵子。但根据连续方程推导就只能是这个结果，宣判直觉的错误。对于喷管流动的这个现象，不知道有没有别的人也曾经和我有同样的错觉。
可能智商高的人直觉容易和真理接近一些，我这种鲁钝的凡人只能慢慢适应直觉经常和真理错位的事实。不过我觉得将直觉和逻辑结合起来还是有必要的——直觉是错误的，要改造直觉；逻辑是正确的，要以之养成直觉；对于直觉刚好正确的，要反过来追求逻辑的严密。
其实楼主问题的实质就是问&问什么有的时候可以去掉高阶无穷小来做微分运算，进而积分（如在执教坐标中求曲线弧长或者求曲线上做功等）；而有的时候不能忽略（如在极坐标下的弧微分不能是ds=rdθ）。
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楼主问的不是26楼所说的，因为积分的时候肯定是不管高阶无穷小的。楼主问的是如何在不同的情况下写出正确的微分或微元dy的表达式，也就是使表达式是△y的线性主部，使得△y－dy成为dx的高阶无穷小。
我翻了一下手中的教材（文丽、吴良大编），对这个问题有这样的论述：
对于A=lim&∑△Ai=lim&∑&f(xi).△xi&max(xi)趋于0,则A=∫f(x)dx&（上下限打不了字，这里表示定积分，不是不定积分）
“由于整体量A是待求的，每个局部量Ai也是待求的、未知的，因此很难断定我们写出的f(xi).△xi是不是△Ai的主要部分，只能通过多次实践，不断取得经验，逐步掌握规律”。
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8楼的公式就是对的，不知道你们为什么搞那么久？微积分就直线拟合曲线，所以单位弧长的公式就是距离公式(ds)^2=(rdθ)^2+(dr)^2整理一下就是ds=sqrt(r^2+(dr/dθ)^2)*dθ
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楼上是怎么得出(ds)^2=(rdθ)^2+(dr)^2的呢……我是用（ds）^2=(dx)^2+(dy)^2,x=rcosθ,y=rsinθ带入才得到的……难道是看极坐标的图看出来的么……
&&可貌似（ds）^2=(dx)^2+(dy)^2也是从图中看出来的，没有严格的证明，很困惑……
理解这个问题，首先要理解你说的“dl=rdθ”的意义，这个等式对于某一个弧微元成立的条件是原点正好是该弧微元的曲率中心点，因为r要是曲率半径且dθ是对应的弧度。而对于一段弧长要处处满足该微分，只有当这段弧是以原点为中心的圆弧才成立，所以不能用这个微分方法对一般的弧长积分求值。而对于面积微元为什么可以这样写，可以看高数教材关于极坐标计算二重积分的原理，就是以原点为中心划分同心圆来产生面积微元，使得面积微元满足ds=rdθdr。
把09的贴给挖出来我也是醉了，想不到早就有人困惑这个问题了，但看完我还是不知道你们讨论出结果了没？反正我还是没搞懂！对于题主说的直觉，我也想说我的直觉也跟你一样，老是错！！！其实我自己的感悟是：首先化曲为直，简单化题目之后再分析。在线的问题上实际长度和微元长度之间的【差值】不是不是微元的【高阶无穷小】，所以不能替换，就像直角三角形的斜边不能用直角边代替（虽然微元量差不多）。但是面的问题上实际面积与微元面积的【差值】是微元面积的【高阶无穷小】，所以可以替代。因为高阶微元的和是不会影响到最后结果的鄙人陋见，望进一步交流
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