知识点梳理
函数&y=f\left({x}\right)，x∈A&中自变量&x&的取值范围&A&称为函数的定义域（domain）．在不加说明时函数的定义域是使解析式或实际模型有意义的自变量的取值范围．
函数&y=f\left({x}\right)，x∈A&中函数值的集合&\left\{{f\left({x}\right)\left|{x∈A}\right}\right\}&称为函数的值域（range）．
如果集合&A&的所有元素同时都是集合&B&的元素，则&A&称作是&B&的子集，及A包含于B或B包含A，写作A?B.若&A&是&B&的子集，且&A&不等于&B，则&A&称作是&B&的真子集，写作&A?B
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=\sqrt{9-x^{2}}的定义域为集合...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=ln(x2-2x-a)的定义域为A，函数g(x)=\frac{3x^{2}+2x+3}{x^{2}+1}的值域为B，若A∩B≠?，则实数a的取值集合为_____．
已知函数f(x)=\sqrt{|2x-3|-x}的定义域为集合A，函数g(x)=log_{2}[(\frac{1}{2})^{x}-1]定义域为集合B，求A∩B．
已知函数f(x)=\sqrt{4x-1}+\sqrt{3-4x}的定义域为集合A．(1)求集合A；(2)若函数g(x)=\frac{2x+3}{x}，且x∈A，求函数g(x)的值域．二次函数_百度百科
[èr cì hán shù]
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax?+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，
二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。二次函数y=ax?+bx+c（且a≠0）的定义是一个二次多项式（或单项式）。如果令y值等于零，则可得一个。该方程的解称为方程的根或函数的。
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）
一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。顶点坐标
，交点式为
（仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[1-2]
1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P
时，P在y轴上；当
时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线开口向上；当a&0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。（可巧记为：左同右异）
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）
6.抛物线与x轴交点个数：
时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。当
时，抛物线与x轴没有交点。
时，函数在
处取得最小值
上是减函数，在
上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是
时，函数在
处取得最大值
上是增函数，在
上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是
时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。
7.定义域：R
值域：当a&0时，值域是
；当a&0时，值域是
奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。
周期性：无
①一般式：
⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；
若Δ&0，则函数图像与x轴交于两点：
若Δ=0，则函数图像与x轴切于一点：
若Δ&0，函数图像与x轴无公共点；
②顶点式：
此时顶点为（h,k)
时，对应顶点为
③交点式：
函数图像与x轴交于
y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]
，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)?+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)?+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[2]
具体可分为下面几种情况：
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到；
当h&0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象。[5]
[仅限于与x轴即y=0有交点时的
抛物线，即b2-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设
,然后把第三点代入x、y中便可求出a。
由一般式变为交点式的步骤： (韦达定理)
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数
(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]
欧拉交点式：
若ax?+bx+c=0有两个实根x1,x2，则
此抛物线的对称轴为直线
已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：
得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)
利用拉格朗日插值法，可以求出该二次函数的解析式为：
与X轴交点的情况:
时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。
时，函数图像与x轴只有一个切点，即
时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数（
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由
平移得到的。[2]
二次函数图像
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a,b同号，对称轴在y轴左侧；
a,b异号，对称轴在y轴右侧。[2]
二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0）
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a&0时，二次函数图象向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图像的开口越小。[2]
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a&0，b&0或a&0，b&0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a&0，b&0）（ab&0）。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。[2]
决定交点因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点。
二次函数图像与y轴交于（0,C）点
注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。[2]
与x轴交点数
a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。
k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。
质疑点：a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与x轴无交点。
当a&0时，函数在x=h处取得最小值
=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k
当a&0时，函数在x=h处取得最大值
=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k
当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数[2]
对于一般式：
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与
关于顶点对称
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）
对于顶点式：
①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。
②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。
③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h, k)和(h, k)相同，开口方向相反。
④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）[2]
五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。
注明：虽说是草图，但画出来绝不是草图。
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点，分别为：顶点，与x轴交点与y轴交点及其对称轴。
Ps.仅是草图，正规考试会扣分
在初中数学中，要求采用描点法画出二次函数图像。
其做法与五点法类似：【以
x　　……-1-0.50122.53……
……73.51-113.57……先取顶点，用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点（如果存在）、y
y=2(x-1)^2-1
轴交点及其对称点（如果存在）和另外两点及其对称点。
Ps.原则上相邻x的差值相等，但远离顶点的点可以适当减小差值
2、依据表格数据绘制函数图像,如图
特别地，二次函数（以下称函数）
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。[7]
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
y=ax? (0，0) x=0
y=ax?+K (0，K) x=0
y=a(x-h)? (h，0) x=h
y=a(x-h)?+k (h，k) x=h
y=ax?+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到，
当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k（h&0,k&0）的图象
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)?+k（h&0,k&0）的图象
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)?+k（h&0,k&0）的图象
当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)?+k（h&0,k&0）的图象
在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b?]/4a)。
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。
4．抛物线y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0, c)；
时，图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离
另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由
（A为其中一点的横坐标）
时，图像与x轴只有一个切点；
时，图像与x轴没有公共点。当a&0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0。
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a&0，则当
；如果a&0，则当
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式（表达式）为一般形式：
(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。[2]
1.要理解函数的意义。
2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。
3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）(增减值）等的差异性。
4.联系实际对函数图象的理解。
5.计算时，看图像时切记取值范围。
6.随图象理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。[2]
（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；
（2）对二次函数图像和性质存在思维误区；
（3）忽略二次函数自变量取值范围；
（4）平移抛物线时，弄反方向。[2]
定义与表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax?+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。[2]
三种表达式
一般式：y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)?+k[抛物线的顶点P(h, k)]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
时，P在y轴上；当
时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口大小。
当a&0时，抛物线开口向上；当a&0时，抛物线开口向下
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
抛物线与x轴
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b?-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。[2]
几何画板软件——基础代数几何必备。
几何画板画出的抛物线图象
注意：左加右减，上加下减
．明春生教学工作室[引用日期]
．陕西高考网．222002[引用日期]
．西海教育网[引用日期]
．菁优网[引用日期]
．豆丁网[引用日期]
．新语文网站[引用日期]
．中国教育在线[引用日期]
．EOL[引用日期](window.slotbydup=window.slotbydup || []).push({
id: '2081942',
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size: '1000,60',
display: 'inlay-fix'1.求函数y=-2x^2+|x|的值域 2.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^22.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值?最小值为多少?_百度作业帮
1.求函数y=-2x^2+|x|的值域 2.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^22.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值?最小值为多少?
1.求函数y=-2x^2+|x|的值域 2.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^22.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值?最小值为多少?
题目中的结论应是k为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值1、y=-2x^2+|x|=-2|x|^2+|x|=-2[|x|- 1/4]^2+1/8,注意|x|>=0,当|x|=1/4时,y有最大值1/8,所以值域为y<=1/82、判别式>=0,得k>=5,或k<=-4,因为a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根所以a+b=2k,ab=k+20,所以（a+1)^2+（b+1)^2 =(a^2+b^2)+2(a+b)+2=(a+b)^2-2ab+2(a+b)+2=4k^2-2(k+20)+4k+2=4k^2+2k-38=4(k+1/4)^2-1/4-38当k>=-1/4时,为增函数；当k<=-1/4时,为减函数当k=5时,（a+1)^2+（b+1)^2 =4(k+1/4)^2-1/4-38=72当k=-4时,（a+1)^2+（b+1)^2 =4(k+1/4)^2-1/4-38=18所以最小值为18
1.x不等于0}