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>> 材料力学与结构力学强化资料
材料力学基本概念一、轴向拉伸与压缩 ? 轴向外力 → 轴向内力 N ，作轴力图( N 图) → 横截面上的正应力计算公式σ =P N = → 斜截面上的应力计算公式 A A正应力： σ α = σ cos 2 α 剪应力： τ α == 最大正应力： σ= σ (α 0°) max<b
r />最大剪应力： τ max =σ2sin 2ασ2(α = ±45°)σ= ? 建立强度条件： σ N Aασασσατασ≤ [σ ]max强度条件用以解决工程中的三大类问题 1 2 3 ○强度校核；○截面选择；○确定承载力。 ? 对应许应力 [σ ] 的认识， [σ ] =σ0n，脆性材料 σ 0 = σ b (强度极限，如铸铁。断裂前变形较小，但其拉伸强度远低于压缩强度)，塑性材料 σ 0 = σ s (屈服极限，如低 碳钢，断裂前变形较大，拉伸和压缩时屈服极限相同)。通常情况下有 nb & ns 。Nl ? 轴向拉伸与压缩时的变形计算运用虎克定律 ?l = 或表示为 σ = Eε EA泊松比： v = ?l ?d ε′ = = ,ε ,ε ′ ε l d? 应用轴向拉伸与压缩的基本理论可以求解拉压杆的静定问题和超静定问题。 ? 圆筒形薄壁容器的概念及其计算。Pd 2δPPPd 4δPd 4δPPd 2δ二、剪切 ? 连接件的横向外力 → 内力 → 剪力、挤压力、拉力(对板材) → 剪切面、挤压面 和拉断面的判断 → 建立强度条件，解决工程中的三大类问题： 剪切强度条件 挤压强度条件τ =σc =Q ≤ [τ ] APc ≤ [σ c ] Acσ 抗拉强度条件 (对于板材) =三、扭转P ≤ [σ ] Aj? 外力偶矩 T → 内力偶矩 M T (即扭矩)作扭矩图( M T 图) ? 横截面上的剪应力计算公式 τ ρ = 正应力 σ α = ?τ ρ sin 2α 剪应力 τ α = τ ρ cos 2α ? 建立强度条件MT ρ → 斜截面上的应力计算公式： Iρ最大正应力σ max = α = ) ±τ ρ ( ±45°最大剪应力 = τ= 0°) τα ρ (αI M T ,max M T ,max = τ max = ρ max ≤ [τ ] ，式中 Wρ = ρ Iρ Wρ ρ max应用强度条件，可以解决工程中的三大类问题。 ? 传递功率 P ，转速 n 与外力偶矩 T 之间的关系为：T = 9550 P (kw) ( N ? m) 或 n(rpm) T = 7120 P ( Hp ) ( N ? m) n(rpm)σαατατρτα σ ?ατρ其中， Hp 表示马力? 极惯性矩及抗扭截面系数(模量)的算式 实心圆截面(直径为 D )： I ρ =π D432Wρ =π D316空心圆截面(外径为 D ，内径为 d )I= ρπ32( D 4 ? d 4= )π D432(1 ? α 4 )W= ρπ16 D( D 4 ? d 4= )π D316(1 ? α 4 )式中 α =d D? 圆轴扭转时的变形计算 相对扭转角?=MT l ? MT (rad ) ，单位扭转角 θ = = (rad m) GI ρ l GI ρ= ? 建立刚度条件 θ maxM T ,max 180 ? ≤ [θ ](° m) GI ρ π应用刚度条件，同样可以解决工程中三大类问题：即刚度校核、截面选择和确 定承载力。 ? 扭转中的剪应力 τ = Gγ ，应变能 V = ? 矩形截面杆自由扭转的结论 ? 薄壁截面(开口薄壁截面和闭口薄壁截面)杆件自由扭转的结论。 薄壁圆筒是指壁厚 δ 远小于其平均半径 r0 ( δ ≤ 应力 τ 值均相等，其方向与圆周相切。于是有2 MT l 1 = M T? 2 2GI ρr0 )，对于横截面上任一点处的切 10T = ∫ τ dA?rA由于 τ 为常量，且对于薄壁圆筒来说， r 可以用其平均半径 r0 代替，而积分∫AdA A 2π r0δ ，令 A0 = π r02 ，从而可得： = =τ=T (此公式没有考虑切应力沿壁厚的变化规律) 2 A0δ例题 3-3，孙训方教材第四版 P64。试验算上面薄壁圆筒横截面上切应力公式的精 确度。已知圆筒的壁厚 δ 和平均直径 d 0 。T2r0τd0=d=δδ现以 τ max 为基准分析误差的大小。由= τ maxTD 2 TD = π π (D4 ? d 4 ) ( D 2 + d 2 )( D + d )( D ? d ) 32 16= = 将 D d 0 + δ ； d d 0 ? δ 代入上式，经整理得：τ max =π T (1 + β ) δ ，其中 β = ， A0 = d 02 2 4 2 A0δ (1 + β ) d0T τ max ? τ 2 A0δ τ 1 + β 2 β (1 ? β ) ?= = 1? = 1? = 1? = T (1 + β ) τ max τ max 1+ β 1+ β 2 2 A0δ (1 + β )由此可见，当 β =δd0越小，即筒壁越薄时，误差 ? 越小。因此，在筒壁很薄时，认为切应力沿壁厚不变是合理的。 ? 应用圆轴受扭的基本理论可以求解扭转的静定问题和超静定问题。 四、平面图形的几何性质 ? 静矩： S z =d D02r0ydA = ∫= yc A ； S yAzdA ∫= zc AAyzzc cycAdA求图形形心的坐标： yc =S Sz ， zc = y A Ay? 求组合图形的形心坐标： yc =∑Ayi =1 n inci∑Ai =1A； zc =∑Azi =1 nnozi cii∑Ai =1i? 惯性矩： I z =y dA ∫=2 A Aiz2 A ； I y =z dA ∫=22 iy A? 极惯性矩： I ρ = ∫ ρ 2 dA ? 惯性积： I yz = ∫ yzdAA2 ( ρ= y 2 + z 2 )Iρ Iz + I y == = ? 平行移轴公式： I z I zc + a 2 A ， I y I yc + b 2 A ， = I yc zc + abA I yz? 概念：主惯性轴，主惯性矩，主形心惯性轴，主形心惯性矩 截面对其惯性积等于零的一对坐标轴，称为主惯性轴。截面对于主惯性轴 的惯性矩，称为主惯性矩。当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，就称 为形心主惯性轴。截面对于形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 五、梁的内力 集中力 P ? 外荷载 集中力偶矩 M 0 分布荷载 q ( x) ? 用截面法求梁指定截面上的内力 建立剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图 ? 分布荷载集度 q ( x) ，剪力 Q( x) 、弯矩 M ( x) 三者间的微积分关系及其应用 微分关系：→ 梁横截面上的内力轴力 N 剪力 Q 弯矩 MdQ( x) dM ( x) d 2 M ( x) dQ( x) = q( x) ； = Q( x) ； = = q( x) dx dx dx 2 dxx2 x2 x2 x1 x1 x1积分关系： ∫ dQ( x) = ∫ q ( x)dx 即 Q2 ? Q1 = q ( x)dx ∫∫x2x1dM ( x) = ∫ Q( x)dx 即 M 2 ? M 1 = ( x)dx ∫ Qx1 x1x2x2利用 q 、 Q 、 M 三者之间的关系作梁的内力图的方法又称为简易法。 ? 用叠加法作梁的弯矩图 六、梁的应力 弯矩 M ? 梁横截面上的内力 剪力 Q ? 正应力计算公式 σ = M y， Iz 最大正应力 σ max =正应力 σ 梁横截面上的应力 剪应力 τ M max ymax IzQmax S z*,max bI zQS z* 剪应力计算公式 τ = ， bI z最大剪应力 τ max =? 建立梁的正应力强度条件 σ max =M max M max σ max ≤ [σ ] ymax ≤ [σ ] 或= Iz Wz* Qmax S z ,max剪力梁的剪应力强度条件 τ max =bI z≤ [τ ]? 由强度条件可以解决工程中的三大类问题? 矩形截面梁最大剪应力 τ max = 圆形截面梁最大剪应力 τ max3 Qmax 2 bh 4 Qmax = 3 π R2工字形截面梁最大剪应力 τ max = 薄壁圆环截面梁 = τ maxQmax Af2Qmax 2Qmax = A 2π r0δ熟悉和掌握常见截面(矩形、圆形、环形、工字型、 T 形)惯性矩 I z 及抗弯截面 系数(模量) Wz 的计算。 ? 半圆与板圆环(主要指薄壁圆环)的几何性质z2r0A = π r0δS Z = 2r02δ 1 I Z = π r03δ 2y2D 3πA=SZ =π D28D3 12πozIZ =π D4128对于半圆：= Sz∫AydA =∫ ∫0πr0ρ sin θρ dθ d ρ =πr2r 3 D 3 = 3 12= ycSz = A∫ ydA ∫ ∫ = ∫ dAA 0 A02r 3 ρ sin θρ dθ d ρ r 3 = 4= 2 D = 2 2 πD π (2r ) 3π 3π 8 8Iz =1 π D4 π D4 = 2 64 128对于半圆环： A = π r0δSz = D3 d 3 1 ? 1 3 3 ? = ( d0 + δ ) ? ( d0 ? δ ) ? = (6d02δ + 6δ 3 ) ? 12 12 12 12 ?= 2r02δ + o(δ ) ≈ 2r02δ (要略去高阶无穷小)= ycS z 2r02δ 2r0 = = A π r0δ πIz =π D4128?πd4128=?(d 0 + δ ) 4 ? (d 0 ? δ )4 ? ≈ ? 128 ?ππ r03δ2? 弯曲中心的概念 七、梁的变形 集中力 P ? 外荷载 集中力偶矩 M 0 分布荷载 q ( x) ? 梁挠曲线的近似微分方程 EIy′′ = ? M ( x)x挠度 y 梁横截面上的变形 转角 θ在坐标 的认识。y中，对挠度 y ，转角 θ ，弯矩 M ，二阶导数 y′′ 正负号? 用积分法求梁的变形(积分常数的确定，边界条件和连续条件的应用)。 ? 用叠加法求梁的变形(熟悉和掌握悬臂梁、 简支梁在简单荷载诸如集中力偶矩、 集中力和均匀分布荷载作用下的最大挠度、最大转角值)。 ? 建立梁的刚度条件f ≤[ f ]θ max ≤ [θ ]? 运用弯曲变形的规律，设法提高梁的刚度，以减少梁的变形，采取相应的措 施。 ? 用变形比较法求解简单超静定梁。 八、应力状态分析和强度理论 ? 已知单元体上的正应力 σ x 、 σ y 及剪应力( τ x = ?τ y ) 求任意斜截面 α 上的应力。 ? 用数解法、图解法，求得：σxσyσαατατα σ ?ατxσxσyσ x +σ σ ?σ y 正应力 σ α = y + x cos 2α ? τ x sin 2α 2 2剪应力 τ α =σ x ?σ y2sin 2α + τ x cos 2α要熟练的记住正应力和剪应力计算公式， 必须要知道它是如何推导来的， 下面 看推导过程。τE2α2α 0D1τxo τyσyD2C Fσσx? 求正应力、剪应力的极值σ x ?σ y σx +σ σ ?σ y 2 2 2 ) + τ x ， τ max = ) 2 + τ x ± ( σ max = y ± ( xmin22min2? 主平面及主应力 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 ，按主应力不为零的个数将应力状态分类(三向、 两向、单向应力状态) → 一点(单元体)的最大应力 最大正应力 最大剪应力σ max = σ 1τ max = σ1 ? σ 32? 应力与应变的广义虎克定律σ1 σ2 σ3 ? ?ε1 = ? v( E + E ) E ? σ2 σ1 σ 3 ? ?ε 2 = ? v( + ) E E E ? σ3 σ1 σ 2 ? ?ε 3 =E ? v( E + E ) ?σy σz ? σx ?ε x = ? v( + ) E E E ? σy σx σz ? ?ε y = ? v( + ) E E E ? ? σx σy σz ?ε z = ? v( + ) E E E ?τ xy ? ?γ xy = G ? τ yz ? ?γ yz = G ? τ zx ? ?γ zx = G ?G=E 2(1 + v)? 建立材料在复杂应力状态下的强度条件，应用相应的强度理论。 ? 关于脆性断裂的强度理论：第一强度理论(最大拉应力理论) 第二强度理论(最大伸长线应变理论) 关于塑性流动的强度理论：第三强度理论(最大剪应力理论) 第四强度理论(形状改变比能理论) ? 各种强度理论相当应力的表达式σ r1 = σ 1 σ r 2 =1 ? v(σ 2 + σ 3 ) σ σ r= σ 1 ? σ 3 3 σ= r41 [(σ 1 ? σ 2 ) 2 + (σ 2 ? σ 3 ) 2 + (σ 3 ? σ 1 ) 2 ] 2= σ rm σ 1 ? [σ + ] σ3 [σ ? ]? 莫尔强度理论的应用及其相当应力的表达式 ? 应用强度理论建立强度条件： σ ri ≤ [σ ]九、组合变形 ? 组合变形的定义 → 组合变形的形式：斜弯曲(双向平面弯曲)、拉伸(压缩)与弯 曲的组合、拉伸(压缩)与扭转的组合、偏心拉伸和偏心压缩、扭转与弯曲的组 合、剪切与扭转的组合、更普遍的组合情况。 ? 计算原则—将组合变形分拆成符合各基本变形外力作用条件的静力等效力系， 然后按各基本变形计算的结果进行叠加。正应力按代数相加，剪应力、位移 按矢量相加。 ? 确定危险截面、危险点的位置，作出危险点的应力状态，按危险点的应力状 态及其材料的破坏可能性，选取适当的强度理论建立强度条件，进行强度计 算。 ? 截面核心的概念。(2010 考过简算题) 偏心受拉时的中性轴方程： 1 +zF yF 0 ，在偏心受拉的情况下，中性 z0 + 2 y0 = 2 iy iz轴是一条不通过截面形心的直线。为定出中性轴的位置，可利用其在 y, z 两轴上的截距 a y , az ，来求得截面核心的边界点。即可求得：2 2 iy iy iz2 iz2 ay = ? ， az = ? ， zF = ? ? yF = ? yF ay zF az十、压杆稳定 ? 平衡的三种形式 ? 细长压杆临界力欧拉公式的统一形式 Pcr = ? 长度系数 ? 的几种常见值 ? 临界应力 σ cr =π 2 EI (?l )2Pcr π 2E 或 σ cr = 2 A λ柔度 λ =?li? 压杆的分类：大柔度压杆(细长压杆) λ ≥ λP 中柔度压杆(中长压杆) λS & λ & λP 小柔度压杆(短粗压杆) λ ≤ λS ? 由不同压杆的类别，选择相应的临界力及临界应力的计算公式? 压杆的稳定计算安全系数法和折减系数法( ? 系数法)? 提高压杆稳定的若干措施 十一、能量法 ? 外力功 W 与应变能 U 互等 W = U ? 杆件组合变形时的变性能U =∫ M 2 ( x) N 2 ( x) kQ 2 ( x) M 2 ( x) dx + ∫ T dx + ∫ dx + ∫ dx l 2GI l 2GA l 2 EI 2 EA ρl? 对轴力、扭矩、剪力、弯矩；抗拉(压)刚度、抗扭刚度、抗剪刚度、抗弯刚度 的全面掌握。 ? 广义力与广义位移 ? 卡氏第一定理： 广义力与广义位移间的相应关系 卡氏第二定理： ?U = δi ?Pi?U = Pi ?δ i? 运用卡氏第二定理解超静定问题 ? 虚功原理 单位荷载法 图形相乘法基础习题一、轴向拉伸与压缩选题 1. 图示桁架，在结点 C 上受到铅垂荷载 P 的作用，杆③为刚性杆，杆①和杆②的长 度及抗压刚度 EA 均相同，试求各杆的内力。EA2 l45°N23EA = ∞N3?l2EA1 lCP?l ?l1N1PC P解：经分析，本题为一次超静定。取结点 C 为研究对象有： 由 由∑X =0 ∑Y = 0得 得N1 = N 3 cos 45°(1)N 2 + N 3 cos 45° = P (2)建立变形协调条件， 几何方程 物理方程?l1 = l2 ?N1l N 2l ，即 N1 = N 2 = EA EA(3)联立(1)、(2)、(3)式，解得： N1 N 2 = =P 2 (拉力)， N 3 = P (拉力) 2 22.结构受荷载 P 作用，已知钢杆的横截面面积 ADE = 2cm 2 ， EDE = 200GPa ，木杆的 横截面面积 ACF = 100cm 2 ， ECF = 1×104 MPa 。试求两杆的内力。E EN DEA30°B45°CDACC′DD′BACBPB′DPPF FNCF2m1m 1m解：经分析，本结构为一次超静定问题。取隔离体如图所示：+ 4P 由 ∑ M A = 0 ，得 3 N DE sin 30°° 2 N CF sin 45 =3 即： N DE + 2 N CF = (1) 4P 2建立变形协调方程?lDE DD′ sin 30° 3 几何方程： = = ?lCF 2 CC ′ sin 45°N DE lDE N DE 2 3 9 EDE ADE sin 45° 3 ? = ， ? 200 ×10 × 2 ? 物理方程： N CF lCF sin 30° 2 N CF 2 2 ECF ACF 1×104 ×106 ×100N DE 得： = N CF 3 = 0.3464 52 3 2 = 1 2 2(2)由(1)、(2)解得： N CF = 2.07 P (压力)， N DE = 0.72 P (拉力) 3.如图所示两端固定的超静定杆，写出三种不同的变形相容方程(即变形协调方程)。 解：(1) ?l = ?l AB + ?lBC? (2) ?l AB =lBC(3) ?l = ?lP + ?lR = 0ARAPRCBC4.上题中 AB 和 BC 段材料的弹性模量分别为 E1 和 E2 ，长度分别为 l1 和 l2 ，横截面 面积为 A 相同，试求两段的轴向力。P 解：简单一次超静定，由 ∑ X = 0 ，得 RA + RC =变形协调条件： R El RAl1 RC l2 ， A = 12 = RC E2l1 E1 A E2 A解得： RA =E1l2 E2l P (拉力)， RA = P (压力) E2l1 + E1l2 E2l1 + E1l2由以上结果可知，若材料相同，截面相同，则 P 按长度进行分析。 5.图示结构①、 ③杆的抗拉刚度 EA 相同及长度 l 均相等， ⑤两杆为刚性杆， ②、 ④、 结点 C 处受力 P 作用，是求各杆的轴力。ARA解：由题分析可知，结构为一次超静定。整体分析：∑ Y = 0 ，得： R4A+ RB = P ，即N1 + N 3 = P(1)l l l1取如图所示结点“ C ”为研究对象：C2PP， 由 ∑ Y = 0 ，得： N1 + N 2 = 由此知： N 2 = N 35(2)建立变形协调方程：D3BRB由 ?l1 = ?l2 + ?l3= 得 N1 N 2 + N 32 1 P (拉力)， N 2 N 3 = = P (压力)。 3 3(3)联立(1)(2)(3)解得： N1 =6.结构受荷如图所示。 已知杆①、 杆②的材料相同， 横截面面积相等，A1 A2 1cm 2 = = 材料的弹性模量 E = 200GPa ,比例极限 σ P = 200 MPa ，屈服极限 σ S = 240 MPa ，强度极 限 σ b = 400 MPa 。当 P = 9kN 时，测得杆件①的轴向线应变为= 200 ×10?6 ，试求此时 ε1 结点 B 的位移和结构的强度储备(即安全系数)。E12DA30° ? B = l2 ?l1 ? B′1m B刚性杆CP = 9kN解：由= 200 ×10?6 ，可得： σ 1 = Eε1 = 200 ×109 × 200 ×10?6 = 40 MPa ε1?l1 = l1ε1 = 2 ×103 × 200 ×10?6 = 0.4mm? 2 2 0.8 由几何性质可知： ? B = l2 = ?l1 = × 0.4 = mm即： ?l2= l2ε 2= 0.8mm ， = 800 ×10?6 ， ε2σ 2 = Eε 2 = 200 ×109 × 800 ×10?6 = 160MPa求安全储备： n1 = ns 240 n 240 = = 6 ， n2 = = s = 1.5 σ 1 40 σ 2 1600.8 故： ? B = mm ， n = 1.57.图示结构①②③④⑤的材料、截面尺寸、长度均相同， E = 200GPa ， A = 1cm 2 ，l = 2m ，结点 A1 与 A2 之间的距离 δ = 2.2mm ，试问当把 A1 与 A2 装配在一起时，各杆的内力大小及其受力性质。130° 30°2A1A23δ460° 60°5解：经分析，结构为一次超静定。 由 ∑ X = 0 ，得： N1 = N 2 ， N 4 = N 5 由 ∑Y = 0 ， 得： 2 N1 cos 30° = N 3 ，2 N 4 cos 60° = N 3 即 N1 = 建立变形协调方程 几何方程：N3 ，N 4 = N 3 (1) 3?l1 ?l4 + ?l3 + =δ cos 30°° cos 60N1l N 4l N 3l l 2 N1 物理方程： EA + + EA =即 δ， + N 3 + 2 N 4 ) =(2) δ ( cos 30°° EA cos 60 EA 3= = = 由(1)(2)解得： N 3 N 4 N 5 6kN (拉力)， N1 N 2 = =8.绘图示结构中杆件 BD 及 CE 的轴力图。ABGP 2 P 2N3 = 3.46kN (拉力) 3CDEFDEF轴力图解：经分析，结构为静定结构，用平衡方程即可求出 BD 及 CE 的轴力。∑ X = 0， N ∑M ∑MACG+ N EG = (1) P0 = 0 ， N BD + 2 N CG = (2) 0 = 0 ， 2 N BD + N EG = (3)F联立以上(1)(2)(3)式可求出： 2 1 4 N BD = P (拉力)， N CG = P (拉力)， N EG = P (压力) 3 3 3 9.图示结构， 结点 A 只能作水平位移， 两杆的截面面积均为 A = 100mm 2 ， 材料为钢，= E = 200GPa ，α 12 ×10?6 / ℃ 。若在装配之后，杆 AB 的温度升高了 30℃，而杆 AC 的?N BDN EG2 ? 3P?4 P 3?AN BDBCN CG1 ? 3P温度保持不变，且假设变形之后两杆仍保持为直杆，试求各杆内的应力及节点 A 的水 平位移。B1N1A′AA30°2N2RA3mC解：经分析，本结构为一次超静定。 取结点 A 为研究对象，有：∑ X = 0，建立变形协调方程N1 cos 30° = N 2(1)几何方程： ?l2 cos 30° = ?l1 又?l1 = ?lT ? ?lN1(注意此处 ?l1 是由两部分原因产生的)物理方程：Nl Nl N 2 l2 Nl cos 30° = lT ? 1 1 ，即 2 2 cos 30° =α?tl1 ? 1 1 (2) ? EA EA EA EA联立(1)、(2)两式可得：? 0.567 mm(←) σ 1 = 45.8MPa (压应力)， σ 2 = 39.7MPa (拉应力)， δ A = l2 =二、剪切 1.已知钢板和铆钉材料相同： [τ ] = 130MPa ， [σ c ] = 280 MPa ， [σ ] = 170MPa ，设= = 主板和盖板的厚度相同， t1 t2 10mm ，板宽 b = 140mm ，铆钉的直径 d = 23mm ，试确定该接头的许用荷载 [ P] 值。Pt1t2PP 解：铆钉受剪： & [τ ] ，即 P & 3 A[τ ] = kN 162.04 3A P 193.2kN 钢板承压： & [σ c ] ，即 P & 3td [σ c ] = 3td P 钢板受拉： & [σ c ] ，即 P & tb[σ ] = 238kN tb故： [ P] = 162.04kN 。PPb2.直径为 D0 = 100cm 的薄壁锅炉，工作压力(内压) P = 1MPa ，锅炉的纵向接缝是用 铆钉搭接二成，锅炉壁厚 t = 8mm ，铆钉直径 d = 16mm ，已知锅炉和铆钉材料的许用 剪 应 力 均 为 [τ ] = 70MPa ， 许 用 挤 压 应 力 均 为 [σ c ] = 150 MPa ， 许 用 拉 应 力 为[σ ] = 100MPa ，试求铆钉的间距及排列形式。PD0 2tPD0 4tPD0 4teePD0 2t解：铆钉分担的荷载区域如右图所示，铆钉受三向拉应力作用，但只取受力最大 的方向为研究对象。即 单行排列： PD0 te 2 A[τ ] 铆钉受剪 2t & [τ ] ，即 e & 28.134 = mm PD0 A PD0 te 2td [σ c ] 炉壁挤压 2t & [σ c ] ，即 e & = 38.4mm td PD0 PD0 te 炉壁受拉 2t & [σ ] ，即 62.5MPa & 100 MPa te 根据实际情况，应选用二行，即最小间距 e = 56.268mm 三、扭转 1.圆轴 AB ，受集度为 mq = 10 kN ?m m 的分布力偶和 M = 55kN ?m 的集中力偶作用， 材料的剪切弹性模量 G = 80 MPa ， [τ ] = 100MPa ， l = 2m ； [θ ] = 1° m ，(1)作圆轴的扭 矩图；(2)设计圆轴的直径；(3)求 A 、 B 两截面的相对扭转角。PD0 方向。 2tMCmd20?AlB?l1535M T图(kN ?m)解：(1)扭矩图如右图所示。 (2) 由强度条件设计 d1 ：= τ maxM T ,max Wρ≤ [τ ] ，即M T ,max 16 M T ,max ≤ [τ ] ? d1 ≥ 3 = mm 121.3 3 π d1 π [τ ] 16由刚度条件设计 d 2 ：θ max =M T ,max 180° M 180° × ≤ [θ ] ，即 T ,max × ≤ [θ ] 4 π d2 π GI ρ π G 32×180°° d 24 ? d 2 ≥ ≤432 M T ,max Gπ [θ ]232 M T ,max Gπ 2 [θ ]×180 = mm 126.4故可选圆轴的直径为 126mm2 l mq x Ml M M (3) ? AB =+ ? AB q = + ∫ ? AB ? ?0.0152rad = ° ?0.87 dx = 0 GI GI ρ ρ2.一组合轴由直径 d = 75mm 的钢杆和外面紧包着的黄铜管组成， 如果组合轴两端受 扭转力偶 T 作用，两种材料分担同样大小的力偶矩，试求黄铜管的外径 D 。已知剪切 弹性模量 Gs = 80GPa ， Gc = 10GPa ，如 T = 16kN ?m ，再求每种材料中产生的最大扭转 剪应力。 解：(1)求 D 由题意知： ? s = ?c ，即：?TdDM sl M cl = Gs I ρ s Gc I ρ c= 1= 10 ×Tlπ (D4 ? d 4 )= D4 ? d 4 1 D4 1 = ? 8d 4 8 d4 8又 Ms Mc = =T 2故：Gc I ρ c Gs I ρ s32 πd4 80 × 32= 即： D4= 130mm 9dT T 2 2 (2) τ = = 96.6 MPa ， τ c ,max = 20.9 MPa = s ,max πd3 π D 3 (1 ? α 4 ) 16 163. 图 示 传 动 轴 ， 长 l = 510mm ， 直 径 D = 50mm ， 当 将 此 轴 的 一 端 钻 空 成 内 径d1 = 25mm 的内腔，而余下的一段钻空成 d 2 = 38mm 的内腔时，轴的剪应力不超过70MPa ，试求：(1)此轴所能承受的扭转力偶 T 的许用值；(2)如果要求两段轴长度内的扭转角相等，则两段轴的长度应各为多少？d1Td2l1lDl2T解：(1)由题知： [τ ] = 70MPa ，令 α1 = 按左段考虑 [τ ]左 =25 1 38 ，α2 = = 50 2 50T ≤ [τ ] ， Wρ左π D 3 (1 ? α14 ) T 即： = ≤ [τ ] ? T = [τ ] π D 3 (1 ? α14 ) 16 16按右段考虑 [τ ]右 =π 503 (1 ? ( ) 4 )1 2 70 = 1611N ?m 16T ≤ [τ ] ， Wρ右4 π D 3 (1 ? α 2 ) T 即： = ≤ [τ ] ? T = [τ ] 4 π D 3 (1 ? α 2 ) 16 16π 503 (1 ? (38 4 ) ) 50 70 = 1145 N ?m 16故取 [T ] = 1145 N ?mM T l1 M T l2 l1 I ρ 1 1 ? α14 = (2)有题意知： ，即 = = = 1.407 4 GI ρ 1 GI ρ 2 l2 I ρ 2 1 ? α 2510 又 l1 + l2 =故得： l1 = 298mm ， l2 = 212mm 4.两端固定的圆杆，承受 T = 10kN ?m 作用，杆的 [τ ] = 60MPa ，试求固定端的反力偶 矩，并设计圆杆的直径。TTBdCDTAaT1TaTa2ATACDBTBTB3解：(1)根据题意可知，结构为一次超静定。 根据力偶矩平衡有： TA = TB 建立变形协调方程：① ② ③ ? BA = ? BA + ? BA + ? BA = 0即： ? BA =?Ta T 2a ?TB 3a T + + = 0 ， TB = TA = GI ρ GI ρ GI ρ 3M T ,max 16 M T ,max ≤ [τ ] ? d ≥ = mm 83 3 πd π [τ ] 16= (2) τ maxM T ,max Wρ≤ [τ ] ，四、平面图形的几何性质 1.试确定梯形截面的形心位置。yayadyhbhⅠⅡyzbz解：由题可知： y 为对称轴， zc = 0 ，求 yc 即可。 (1)利用积分的方式 h h? y b?a a h2 ) ydy ∫ ydA 2∫0 ( h ? 2 + 2= 6 (b + 2a) h ? 2a + b yc = = = h h 3 a+b A ( a + b) ( a + b) 2 2 (2)利用三角形的静矩公式 S +S S yc = zⅠⅡ z = z A A 1 2h 1 h 1 1 又有：= S zⅠ ah × ， = S zⅡ bh × ； A = ah + bh 2 3 2 3 2 21 2h 1 h ah × + bh × + S z S zⅠⅡ S z 3 2 3 h 2a + b 故： yc = = = 2 = ? 1 1 A A 3 a+b ah + bh 2 22.图示三角形，已知图形对底边的轴的惯性矩 I z = 行轴的惯性矩。bh3 ，试求图形对通过顶点的平 121 1 1 解： I z = ?( h) 2 = 3 I zc + bh I zc + bh 2 2 8 1 1 1 1 I zc = bh3 = 3 ? bh3 = 3 Iz ? bh bh 18 12 18 36 1 2 2 I z1 = ?( h) 2 = 3 I zc + bh I zc + bh 2 3 9 2 3 1 3 2 3 9 3 1 3 I z1 = + bh = bh + bh = bh =bh I zc 9 36 9 36 43.试求矩形截面对 y1 、 z1 的惯性矩和惯性积。 解： I zc =hb3 bh3 ， I yc = ， I yc zc = 0 12 122 h 3 1 h 3z1Cbzzcyy1h 2 bh3 bh3 bh3 I z1 = zc + bh?( ) = + I = 2 12 4 3 b hb3 hb3 hb3 I y1 = yc + bh?( ) 2 = + I = 2 12 4 3 h b b2 h2 I y1z1 =I yc zc + ab? A =0 + bh × × (? ) =? 2 2 4hCzz1b4.试证明通过正方形截面形心的任意轴均为形心主惯性轴，且其形心主惯性矩均a4 为 。 12解：已知 I= I= z ya4 ， I yz = 0 12y14y根据惯性矩和惯性积的转轴公式知：Iz + I y Iz ? I y a cos 2α ? I yz sin 2α = I z1 = + 2 2 12 Iz + I y Iz ? I y a4 cos 2α + I yz sin 2α = I y1 = ? 2 2 12z1αzaI y1= z2Iz ? I y 2sin 2α + I yz cos 2α 0 =故得证。 5.验证：yy4cm2cm8cm4cmC20cmC4cm3cmycz z′zz′12cmyc18cmyc = 5cmI z = 3 × 10 cm34yc = 9cm I z = 5567cm 4(a)解：对(a)图 18 × 3 ×1.5 + 17 × 2 × 11.5 = = 5.4cm yc 18 × 3 + 17 × 2(b)2 ×173 18 × 33 2 = Iz + 2 ×17 × (6.1) + + 18 × 3 × (3.9) 2 2946cm 4 = 12 12对(b)图 12 × 4 × 2 + 12 × 4 ×10 + 8 × 4 ×18 yc = 9cm 12 × 4 + 12 × 4 + 8 × 4= Iz 12 × 43 4 ×123 8 × 43 + 12 × 4 × 7 2 + + 18 × 3 ×12 + + 8 × 4 = 5675cm 4 × 82 12 12 12五、梁的内力 1.作梁的内力图10kN4kN ?mD2 kN mB2kNE7?20cmRARB1m1m2m1m?3Q图(kN )72748M图(kN ?m)?A2?C?解：由 ∑ M A = 0 ，得： RB =1 (10 ×1 + 4 + 2 × 2 × 3 + 2 × 5) 9kN (↑) = 4由 ∑ Y = 0 ， 得： RA = 10 + 2 × 2 + 2 ? 9 = 7 kN (↑)M D左 = 7 × 2 ? 10 = 4kN ?m ， M D右 = 4 + 4 = 8kN ?m2.作梁的内力图。qa2qa 2? ?qaqBqaCQ图??AD3qaa4aaqa 23qa 2qa 2M图解：由 ∑ M A = 0 ，得： RB =1 (2qa 2 + q × 4a × 3a + qa × 6a )= 4qa (↑) 5a由 ∑ Y = 0 ， 得： RA = × 4a + qa ? 4qa = (↑) q qa 3.作梁的内力图70P = 30kN?q = 45 kN mM = 20kN ?m?ACDB??E30Q图(kN )203022.51mRA2m2mRB1m?20 20M图(kN ?m)解：由 ∑ M A = 0 ，得： RB =1 (?30 ×1 + 45 × 2 ×1 + 20)= 20kN (↑) 4由 ∑ Y = 0 ， 得： RA = 30 + 45 × 2 ? 20 = 100kN (↑) 4.作梁的内力图qaqa 2CqaqB?5qa 6?AqaRADqa 6?2qa 3aaRBQ图qa 2qa 2 2qa 2 3M图解：由 ∑ M A = 0 ，得： RB =1 a 1 5a 2 (?qa 2 + q × a × + qa × a + qa × = ) qa (↑) 2a 2 2 3 3 qa 2qa qa 由 ∑ Y = 0 ， 得： RA =qa + qa + ? ? = (↓) ? 2 3 65.作梁的内力图?8kN ?m12kND2 kN m4B?8ARAC2 kN mE1m1m2m2mRBQ图(kN )4 414?8112M图(kN ?m)解：由 ∑ M A = 0 ，得： RB =1 (?8 ? 2 × 2 × 3 + 12 × 4 + 2 × 2 × 5) = 8kN (↑) 6由 ∑ Y = 0 ， 得： RA = 2 × 2 + 12 + 2 × 2 ? 8 = kN (↑) ? 4 6.作梁的内力图(多跨静定梁)。MAqRAqaBqa 2CqD5qa 23qa 2AaaRCa2qa 2Q图qa 2 2 qa 2 2M图解：取附属部分 BCD 为研究对象。 由 ∑ M B = 0 ，得： RC =1 3 1 (?qa 2 + q × a × a ) = qa (↑) 2 2 a???qa 2qa?qa 5 + qa + q × a = qa (↑) 2 2 a 由基本部分 ∑ M B = 0 ，得 M A = RA × a ? q × a × = 2qa 2 (?) 2由基本部分 ∑ Y = 0 ，得 RC = 7.作梁的内力图(多跨静定梁)。81MA50kNE20 kN mD5kN ?m B?31??AC1m0.5mF3m1mRBRA 1m96.5Q图(kN )2915.553122.534M图(kN ?m)解: 取附属部分 CDFB 为研究对象： 由 ∑ M C = 0 ，得： RB =1 (20 × 3 × 2.5 ?= 29kN (↑) 5) 5由 ∑ Y = 0 ， 得： FC右 = 20 × 3 ? 29 = 31kN (↑) 取整体为研究对象： 由 ∑ Y = 0 ， 得： RA = 50 + 20 × 3 ? 29 = 81kN (↑) 取基本部分 AEC 为研究对象： 由 ∑ M C = 0 ，得： M A = 81×1.5 ? 50 × 0.5 = 96.5kN ?m(?) 8.作梁的内力图。13 ql 16??qAEICB3 ql 16 ??3 2 ql 165 2 ql 16?lFCl3 ql 169 ql 2 512Q图M图AEICCB BqCFCB CFC解：经分析，本结构为一次超静定。FC l 3 ql 4 FC l 3 3ql 根据“ C ”点的左右挠度相同有： = ，得： FC = ? 16 3EI 8 EI 3EI9.简支梁承受集度 P( x) 的轴向分布荷载如图所示，试导出荷载集度与轴力、剪力、 弯矩之间的微分关系。P( x)P( x)h 2hM ( x)N ( x)Q( x)M ( x) + dM ( x)N ( x) + dN ( x)AlBh 2Q( x) + dQ( x)dxdN ( x) = ? P( x) dx解：由 ∑ X = 0 ，得： N ( x)= P( x)dx + N ( x) + dN ( x) ，即： 由 ∑ Y = 0 ，得：dQ( x) =0 dx h 2由弯矩平衡，得： M ( x) + dM ( x) = ( x) + Q( x)dx + P( x)dx? MdM ( x) h = Q ( x ) + P ( x )? 2 dx六、梁的应力 1.当力 P 直接作用在梁 AB 的中点时，梁内的最大正应力超过许用应力值的 30%， 为消除这一过载现象，配置一根辅助垫梁 CD 如图所示，试求垫梁的最小跨度。 解：由题意知，当力 P 直接作用在梁 AB 的中点时：Pl M max 4 σ max = = = 1.3[σ ] Wz Wzl 2CaPD当配置垫梁后：′ M max = = σ max Wz P(l ? a ) 4 = [σ ] WzABl = 6mPl P(l ? a ) 4 由此知： 4 1.3 = ?= 1.3(l ? a ) ? = 0.231l 1.386m l a = Wz Wz2.长为 1m 的悬臂木梁， 由三根矩形截面的木料胶合而成，若胶合面上的许用剪应力 为 3.4MPa ，试求梁的许用荷载 [ P] 及其相应的最大弯曲正应力。PAl = 1mB5 5 510cmz解：由胶合面的抗剪强度条件可得：= τ胶 QS z* [ P]100 × 50 × 50 = ≤ 3.4 MPa ，得： [ P] = 38.25kN 100 ×1503 bI z 100 × 12M max [ P]l 38.25 ×103 ×1000 此时，= = = = 102 MPa σ max 1 2 1 Wz bh ×100 × (150) 2 6 23.一铸铁梁如图所示，已知材料的 (σ b ) + = 150 MPa ， (σ b ) ? = 630 MPa 。试求该梁的 强度储备(安全系数)。y10 1032kN16kN8yc160A1mC1mB0.5mD40z′z20012 M图(kN ?m)解：作弯矩 M 图如右所示。 (1)求截面形心位置 yc ：= yc? S z′ S z′外内 S z′ 200 ×160 ×100 ? 140 × 160 × 120 = = = 53.3mm 200 ×160 ? 140 × 160 ? A A外内 A(2)求惯性矩： 1 I z = I z外内 I z = ×160 × 2003 + 160 × 200 × .7 2 ? ? （46） 12 1 [ ×140 ×1603 + 140 ×160 × .7 2 ] （66） 12 = mm 4 (3)求 σ max 和 σ minC = C 截面： σ maxMC 12 ×106 = × 53.3 22.1MPa = y+ 0.29 ×108 Iz MC 12 ×106 ×146.7 = 60.7 MPa y? = 0.29 ×108 IzC σ min =B B 截面： σ max =MB 8 ×106 ×146.7 = 40.5MPa y+ = 0.29 ×108 Iz(4)结构的安全储备 = n+ (σ b ) + 150 (σ b ) ? 630 = = 3.70 ，= n? = = 10.3 σ max 40.5 σ max 60.7故安全系数为 3.70 4. 工 字 形 截 面 的 外 伸 梁 ABC ， 荷 载 及 尺 寸 如 图 所 示 ， 梁 材 料 为 铸 铁 ， 已 知[σ ]t = 32 MPa ， [σ ]c = 80 MPa ， [τ ] = 25MPa ， z 轴 为 横 截 面 的 中 性 轴 ， 惯 性 矩= 235 ×106 mm 4 。求：(1)绘梁的内力图；(2)列出 I z 的计算式(不必具体计算)；(3)校核 Iz梁的正应力和剪应力强度；(4)定性的画出梁挠曲线的大致形状；(5)如果将该梁倒置， 是否显得合理？为什么？20kN ?mA20 kN m20kN50100BCyⅠ5m38???2m200?20Ⅱ25Ⅲ50Q图(kN )yc = 119z?200z′62 40M图(kN ?m)2056.1解：(1)整体分析：由 ∑ M A = 0 ，得 RB =1 5 (20 + 20 × 5 × + 20 × 7) 82kN = 5 2由 ∑ Y = 0 ，得 RA = 20 × 5 + 20 ? 82 = 38kN (2) yc = S zⅠⅡⅢ z′ + S z′ 50 ×100 × 275 + 200 × 25 ×150 + 50 × 200 × 25 ′ +S = = 119mm 50 ×100 + 200 × 25 + 50 × 200 A +A +A ⅠⅡⅢI z = I zⅠⅡⅢ z + I z = +I100 × 503 25 × 2003 + 100 × 50 × (156) 2 + + 25 × 200 × (31) 2 12 12 3 200 × 50 + + 200 × 50 × (94) 2 12(3)正应力强度校核D = σ maxM max 56.1×103 = ×= 28.4 MPa 119 ymax 235 ×106 Iz M max 56.1×103 = ×181 43.2 MPa = ymin 235 ×106 IzD = σ minM min 40 ×103 = = ×= 30.8MPa 181 σ ymax 235 ×106 IzB max由此知： σ max & [σ ]t ， σ min & [σ ]c ，故正应力强度足够。 剪应力强度校核69 3 Qmax S z*,max 62 ×10 × (50 × 200 × 94 + 25 × 69 × 2 ) τ max = = = 10.5MPa bI z 25 × 235 ×106由此知： τ max & [τ ] ，故剪应力强度足够。 (4)梁的挠曲线如图所示。 (5)不合理。倒置后，最大拉压应力变为最大压拉应力，强度条件不满足，即σ min 43.2MPa & [= 32MPa 。 = σ ]t5.把外径为 10cm ，壁厚为 1cm 的竹子对劈开，做成一根 1.4m 长的扁担。已知竹子的 许用拉应力 [σ ]t = 20 MPa ，试求： (1)这根扁担最多能挑多重？ (2)设扁担跨长为 l ，抗弯刚度为 EI ，两端压重相等，均为 度。10cm1.4mP 2P ，列出计算端点的挠 2AP 2P 2cyc = 2r0zt = 1cmPl 2πzcA解：(1) 由题知： I z =π D4128?πd4128=π 104128?π 841282 c= 145cm 4π (102 ? 82 ) 9 2 又 ： I z = I z + A × y ? I z = I z ? A × y = 145 ? ( ) = 29cm 4 8 πc2 ccPl I yz 4Wz [σ ] 29 于是： Wz = 572 N = = = 10cm3 ， σ max = 4 ≤ [σ ] ? P ≤ 9 Wz l ymaxπ故这根扁担最多能挑 572N 的重量。 P l 3 ( ) 3 2= Pl (↓) 2 (2) y A = 3EI 48 EI 6.一截面为 b × t 的钢条，长为 l ，重量为 P ，放在刚性平面上如图所示，当在钢条 A 端作用P 拉力时，试求： 3(1)钢条脱开刚性平面的距离 a ； (2)钢条内的最大正应力。lAP 3P 3q=bBtAaP lBC解：(1)设 C 点位分界点，则 kC =1ρC1 = 0又ρC=MC P 1 P 1P 2 2 ， 故 M C = 0 ，即 M C= a ? qa 2= 0= a? a ? a= l 3 2 3 2 l 3 EI(2)此时 AC 段可以视为简支梁1 2 2 q( l ) M max 8 3 ql 2 Pl σ max = = = = 2 1 2 WZ 3bt 3bt 2 bt 67.一宽度为 b ，长度为 l 的悬臂梁，其高度由自由端的 h 至固定端的 3h 呈均匀变化如 图所示，梁在自由端承受荷载 P ，试求最大正应力的位置及其大小。b解：设 y Ax 坐标如图所示： 任一截面 M ( x) = Px 其最大正应力为：AhB3hxl3h* = σ maxM ( x) Px 2h ，而 h( x)= h + = x 1 2 Wz ( x) l bh ( x) 6l M ( x) x = l p? 3Pl 2 2 = = 2 1 Wz b?(2h) 2 4bh 6dσ * l 求 max = 0 ，可得： x = ， 于是 σ max = 2 dx8.矩形截面简支梁承受均匀荷载 q 作用，材料的弹性模量为 E ，试求梁下表面的纵向 总伸长。 解：取任一截面 x ，则1 1 1 M ( x) = qlx ? qx 2 = q (lx ? x 2 ) 2 2 2 1 q (lx ? x 2 ) M ( x) 2 3q * (lx ? x 2 ) σ max = = = 2 2 bh Wz bh 6* = ε max * σ maxqbBAxhl3q (lx ? x 2 ) = E bh 2 El3q ql 3 2 (lx ?= x )dx = ∫ ε dx ∫ ?l = 0 0 bh 2 E 2 Ebh 2l * max七、梁的变形 1.求挠度 yc 和转角 θ c 。qa 2AEIqBCqa 2AByC , M AθC , MCA2aMB =a1 2 qa 2CqCABθC , MyC , M BB′ θC ,qy′ ,q CM 2a ?a M B 2a ?a qa 4 ′ 解： yC = A + yC ,q + yC , M B = A ? + + yC , M 6 EI 3EI 8 EI1 2 qa 2a ?a qa 2 2a ?a 2 qa 4 qa 4 = ? + + = (↓) 6 EI 3EI 8 EI 8 EI′ θC = θC ,q + θC , M = θC , M + θC ,q + θC , MAB1 2 qa ?2a qa 2 ?2a qa 3 2 qa 3 θC = ? + + = (? ) 6 EI 6 EI 3EI 6 EI 2.抗弯刚度为 EI 的多跨静定梁受荷如图，求 C 点的挠度和 B 点的转角。 qa 3 a 4 2= qa (↓) 解： yC = 3EI 6 EIyC qa 3 5qa 3 ′ = ? (?) θB = + θB = ? θ B ′′ ? a 24 EI 24 EIAEIqCBaqa 2a3.求 C 点的挠度。2qaqBD2qaAEICaaaqa 2 2解： yC = C , P + yC ,q = P + yC , M y yqa 2 (2a ) 2 2qa (2a )3 5qa 4 = ? 2 = 48 EI 16 EI 24 EI4.图示折杆各段的抗弯刚度 EI 相同，问当 P 作用于何处时(即 x = ? )， A 点的竖直位 移为零。BEIPAxPaDPxCl解：= y A, P + y A, M ， = yA y A, Ppl 3 pxl 2 ? (↓) ， y A, M = (↑) 3EI 2 EI当2 pl 3 pxl 2 ? = x = l ， A 点的竖直位移为零。 0 ，即 3 3EI 2 EI5.变截面梁如图所示，求 C 点的挠度 yC 。 解：应用叠加法。2EIBEIl 2PCAl 2PPlPyC = y2 EI C+yEI C3Pl 3 = 16 EIl Pl l l Pl l × P ( )3 ( )( ) 2 P( )2 2 EI 2 + 2 2 + ( 2 + 2 2 )× l yC = 3 × 2 EI 2 × 2 EI 2 × 2 EI 2 EI 2 l P ( )3 EI yC = 2 3EI 利用上题的结果，求图示简支梁 G 点的挠度 yG 。EIAl 22P2EIEIl 2B2EIGEIBCl 2GDl 2P解： yG =3Pl 3 16 EI6.已知梁的抗弯刚度为 EI ，试求 RC 与 yC 。PADCBPRC RClll解：解除 C 处多余约束，以约束反力 RC 代替。 可见 yC左右 yC ，即： ? =RC l 3 5 Pl 3 = = yC (↓) 3EI 54 EI RC (2l )3 Pl 3 Pl 2 R l3 5P + + × l = C ? RC = 3EI 3EI 2 EI 3EI 187.两木梁用钢螺栓联接，木梁的许用弯曲应力 [σ ]W = 5MPa ，弹性模量 E = 85GPa ； 钢螺栓的许用应力 [σ ] = 120MPa ， 通过拧紧 B 端的螺栓施加荷载， 试求螺栓的直径 d 以 及木梁在 B 端的挠度 yB 。ABd20cmAB20cmPl = 90cm15cm解：设螺杆所受力为 P 。则： 对于木梁有：1 ≤ [σ ]W ? P = bh 2 [σ ]W 1 2 6l bh 61 4 × bh 2 [σ ]W 6l = 7.7 mm π [σ ]PlP P 4P 对于螺杆有： ≤ [σ ] ，即 ≤ [σ ] ? d ≥ = π 2 A π [σ ] d 431 2 bh [σ ]W l 3 2[σ ]W l 2 Pl 2 × 5 × 9002 6l 对木梁的挠度：= = = = = 0.16mm yB 1 3EI 3Eh 3 × 85 ×103 × 200 3E bh3 128.欲在直径为 d 的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁， 试求矩形截面梁高度 h 与 宽度 b 的合理比值。 解：对于矩形截面 I z = 故： I z =1 3 2 bh ， d= h 2 + b 2 121 3 h3 = bh d 2 ? h2 12 12d根据实际问题，极值即是最值。即： dI z 3 d =0? h = d,b = 2 2 dhhh 故： = 3 bb9.抗弯刚度为 EI 的简支梁受图示荷载，试求梁的最大挠度和最大转角。PAa 2EIPBC Ca 2PBa解：由结构的对称性可知，挠曲线为反对称，梁跨中 C 点处挠度为零，但有转角，于是可视 AC , CB 各为跨度为 a 的简支梁。于是：= ymax Pa 3 (↓) ， 48 EIθ max =Pa 2 (? ) 16 EI八、应力状态分析和强度理论 1.全面校核图示组合截面钢板梁的强度，已知： [σ ] = 120MPa ， [τ ] = 65MPa ，a = 0.6m ， P = 100kN 。AlBDa = 0.6m a = 0.6m300C914.4126?z100Q图(kN )6060M图(kN ?m)解：(1)画出剪力图和弯矩图。计算截面的惯性矩 I z 。Iz =1 1 × 9 × (300 ? 28.8)3 + 2[ ×126 ×14.43 + 126 ×14.4 × (150 ? 7.2) 2 ] 12 12= ×10?4 m 4 = ×108 mm 4 0.89 0.89(2)正应力强度校核σ= maxM max = WzPa 150 ×100 ×103 × 600 = = 101MPa & [σ ] Iz 0.89 × 108 150正应力强度足够。 (3)剪应力强度校核τ= maxQmax S z*,max 100 ×103 × [126 ×14.4 ×142.8 + 9 ×135.6 × 67.8] = = 42.7 & [τ ] 9 × 0.89 ×108 bI z剪应力强度足够。 (4)主应力强度校核，取 B 右截面的 K 点为研究对象，单元体如图所示：= σK101×135.6 = 91.3MPa 150105 ×126 ×14.4 ×142.8 = = 32.4 MPa τK 9 × 0.89 ×108应用第三强度理论?PP14.4100 ?σ r3 = σ1 ? σ 3 =2 2 σ K + 4τ K =91.32 + 4 × 32.42 = 112 MPa & [σ ]主应力强度足够。 2. 梁 受 荷 如 图 所 示 ， 已 知 材 料 的 E = 200GPa ， υ = 0.3 ， 今 在 A 点 处 测 得?101.5 ε u = ×10?6 ， ε v 171.5 ×10?6 。试求该点的主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 。 =P = 100kN 1τxP260° AvP2u30°bzhσxσx60°al30°A解：取单元体“ A ”为研究对象。 已知 ε v ， ε u 可以推出 σ u ， σ vσ u = 2 (ε u + υε v ) =MPa ?11 1?υ= σv E (ε v + υε u ) 31MPa = 1?υ 2E又根据单元体相互垂直的平面上的正应力之和不变可知：σ x +σ y =σu +σvQ 100 ×103 故 σ x = 31 ? 11 = 20 MPa ，又 τ x 1.5 = = 1.5 = 30 MPa A 100 × 50从而 σ 1 =σx2+ (σx22 ) 2 + τ x = 41.6 MPa ，σ2 = 0σ σ ?21.6 σ 3 =x ? ( x ) 2 + τ x2 = MPa2 2于是由广义虎克定律知：σ υ ε1 = 1 ? (σ 2 + σ 3 ) =240 ×10?6σ υ ? ε 2 = 2 ? (σ 1 + σ 3 ) =30 ×10?6ε3 = ?E E E E Eσ3υE(σ 1 + σ 2 ) = ×10?6 ?1703.已知壁厚 t = 5mm 的薄壁容器，内压为 P = 1MPa ，扭矩 M T = 0.3kN ?m ，平均直径D = 100mm ，求 K 点的主应力。tPKMTPD 4tPD 2tMTT ?tPD 4tKPD 2t解：取 K 点单元体为研究对象，应力状态如图所示。 PD 1×100 PD 1×100 = = = 10 MPa ， = = = 5MPa σy σy 2t 2×5 4t 4×50.3 ×106 T = = = 3.82 MPa τ ?t 2π (50) 2 × 5σ max=σ min=σx +σ y2+ (σ x ?σ y2) 2 + (τ x ) = 12.1MPa2σx +σ y2? (σ x ?σ y2) 2 + (τ x ) = 2.9 MPa2于是主应力为： σ 1 = 12.1MPa ， σ 2 = 2.9MPa ， σ 3 = 0 4.有一处于二向拉伸应力状态下的单元体( σ 1 ≠ 0 ， σ 2 ≠ 0 ， σ 3 = 0 )，其主应变ε= 17 ×10?5 ， ε 2 = 4 ×10?5 ， v = 0.3 ，试求主应变 ε 3 。 1解：由广义虎克定律可以推导出 E = σ1 (ε1 + υε 2 ) 1 ?υ 2 E = σ2 (ε 2 + υε1 ) 1?υ 2σ22σ1σ2σ131E υ υ E ε 3 = (σ 1 + σ 2 ) = [ ? ? (ε1 + υε 2 ) + (ε 2 + υε1 )] 2 E E 1?υ 1?υ 2 υ =? (ε1 + ε 2 ) =?9 × 10?5 1?υ 5.钢质薄壁容器， 其平均直径(中径) Dm = 25cm 壁厚 t = 5mm ， 受内压 P = 8MPa 作用， 端部同时受 M T = 15kN ?m 的扭矩作用，在筒壁上画有直径 d = 5cm 的圆，如图示，若材 料的弹性模量 E = 200GPa ，泊松比 v = 0.3 。问此圆在圆筒受力变形后的最大及最小直 径的大小及其方位。tMTdσyPMTσx15.75°σy解：取容器表面任一点处的单元体，其应力状态如图所示。τxσx= σxMT PD PD = 100 MPa ，= = 200 MPa ， τ x = 30.6 MPa σy = 4t 2t ?t= σ1 = σ1σx +σ y2+ (σ x ?σ y22 ) 2 + τ x 208.6 MPa =σx +σ y21 E? (σ x ?σ y22 ) 2 + τ x 91.4 MPa =ε1 = (σ 1 ? υσ 2 ) =9.06 ×10?4 ， ε 2 = (σ 2 ? υσ 1 ) =1.44 ×10?4d max = d (1 + ε1 ) = 5.0045cm ， d min = d (1 + ε 2 ) = 5.0007cm2τ x ? tan 2α 0 = = α 0 = 15.75° 。 0.612 ， σ x ?σ y6.矩形截面铸铁梁受图示荷载。 (1)从梁表面的 A, B, C 三点处取出应力单元体； (2)根据第一强度理论，画图表示梁破坏时裂缝在 A, B, C 三点处的走向。1 EaAPBPabCzhτxτx& 45°σxσx σx主拉应力主拉应力σx主拉应力ABC解：分析 A 点的应力状态， A 点受有剪应力和 x 方向拉应力，如果没有 x 方向拉 应力，那么根据裂缝与主拉应力垂直的规则，则裂缝与 x 轴成 45° ，加上 x 方向拉应力 后，主拉应力向 x 方向靠近，即裂缝会与 x 方向大于 45° 。B 点裂缝与 x 轴垂直。 C 点裂缝与 x 轴成 135° 。7. 某 合 金 钢 试 件 危 险 点 处 的 应 力 状 态 如 图 单 元 体 所 示 ， 已 知 P = 100 MPa ， 材料的 [σ ]t = 600 MPa ， σ ]c = 800 MPa ， 试按莫尔强度理论校核其强度。 τ = 318MPa ， [PyPτPxz解：由题分析可知，拉压应力不相等，耐压强度高，属偏脆性材料。 先计算 xoy 平面下才主应力。σ x = ?100MPa ， σ y = ?100MPa ， τ xy = ?318MPaσx +σ σ ?σ y 2 2 ) + τ xy = + 318 = MPa 218 σ max = y + ( x ?1002 2σx +σ σ ?σ y 2 2 ) + τ xy = ? 318 = MPa σ min = y ? ( x ?100 ?4182 2故 σ 1 = 218MPa ， σ 2 = ?100MPa ， σ 3 = ?418MPaσ rm = 1 ? σ[σ ]t 600 218 (?418) = MPa & [σ ]t 532 σ3 = ? [σ ]c 800即试件强度足够。 8.圆轴受扭如图， 在表面与母线成 45° 方向上测得线应变 ε 500 ×10?6 ，已知材料的 =E = 200GPa ， v = 0.3 ， [σ ] = 160MPa ，试按第三强度理论校核圆轴的强度。T45°Tσ1 = τσ 3 = ?τ解：取“ A ”点应力单元体，应力状态为纯剪切应力状态。σ 1 = τ ， σ 3 = ?τε 45°= σ 45°°E ?υσ ?45E=τE(1 + υ )= 500 ×10?6 ? τ = 76.9MPaσ r 3 = σ 1 ? σ 3 = 2τ = 153.8MPa & [σ ]九、组合变形1.矩形截面短柱承受荷载 P 和 P2 作用如图所示， 试求固定端截面上角点 A, B, C , D 四 1 的处正应力。 解：有关截面的几何性质600P = 25kN 1P2 = 5kN2550A =100 ×150 =1.5 ×104 mm 21 2.5 Wy = ×150 ×1002 = ×105 mm3 ， 6固定端截面上的内力分量zy150100= = 轴力： N P 25kN 1P 3000kN ?mm 弯矩： M y =P × 25 =625kN ?mm ， M z = 2 × 600 = 125 ×103 625 ×103 3 ×106 N My Mz ? + = ? + + = MPa 8.83 A 点应力： σ A = + 1.5 ×104 2.5 ×105 3.75 ×105 A Wy Wz 25 ×103 625 ×103 3 ×106 N My Mz ? + = ? ? + = MPa 3.83 B 点应力： σ B = ? 1.5 ×104 2.5 ×105 3.75 ×105 A Wy Wz 25 ×103 625 ×103 3 ×106 N My Mz ? ? = ? ? ? = ?12.17 MPa C 点应力： σ C = ? 1.5 ×104 2.5 ×105 3.75 ×105 A Wy Wz 25 ×103 625 ×103 3 ×106 N My Mz ? ? = ? + ? = ?7.17 MPa D 点应力： σ D = + 1.5 ×104 2.5 ×105 3.75 ×105 A Wy Wz2.圆杆横截面上危险点处的应力有：轴向正应力 σ =N M ，弯曲正应力 σ = ，扭转 A Wz剪应力 τ =MT ，试按第三强度理论写出该点的强度条件。 WρM M N M 2 N M + ) + 4( T ) 2 = ( + ) 2 + ( T ) 2 ≤ [σ ] A Wz Wρ A Wz Wz解： σ r 3 = (3.图示圆截面圆钢折杆，已知 A 80 ×10?4 m 2 ， Wz 100 ×10?6 m3 ， [σ ] = 130MPa ， = = 试分析危险截面、危险点的位置，并作出危险点的应力单元体，根据第四强度理论校 核其强度。q = 4 kN myB0.5mACP = 8kNzyM合xM y = 1020N (kN )M T (kN ?m)?T = 20kN43m4Qy (kN )?z??MZ = 8M y (kN ?m)8M z (kN ?m)D截面68解：危险截面经判断应发生在 AB 段内，今对 AB 杆作受力分析，分析可知，危险 截面发生在离固定端 1m 处。梁中剪切剪应力忽略不计。 取 D 点截面为研究对象M合 =2 M y + M z2 = 12.8kN ?mσ= Nσ r4 =M合 MT MT N = σM = 2.5MPa ，= = 128MPa ， τ a = = 20 MPa Wρ 2Wz Wz Aσ 2 + 3τ 2 = 135.5MPa & [σ ]误差计算σ r 4 ? [σ ] ×100% = 4.2% & 5% ，故可认为强度足够。 [σ ]4.截面为矩形 b × h = 9 ×18cm 2 的悬臂木梁承受荷载 P = 1kN ， P2 = 1.6kN 如图示，木 1 材的弹性模量 E = 10GPa ，试求：(1)梁内最大正应力及其作用点位置；(2)梁的最大挠 度及转角。AP2P 1yzBb hx1ml = 2m解：(1) σ max =My Wy+M z 1×103 × 2 ×103 1.6 ×103 ×1×103 = + = 11.52 MPa 1 1 Wz 2 2 ×180 × 90 × 90 ×180 6 6??10(2)l l P2 ( )3 P2 ( ) 2 Pl 3 l 1 2 + 2 = 3.05mm ， = = 24.4mm zmax ymax = × 3EI y 3EI z 2 EI z 2f max =2 2 ymax + zmax = 24.59mml P2 ( ) 2 Pl 2 1 2 θ= = 18.29 ×10?3 rad ， θ= = 18.29 ×10?4 rad y ,max z ,max 2 EI y 2 EI zθ max =θ z2,max + θ y2,max = 1°3′5.水平面内折杆 ABC ，在 C 端受竖向集中力 P 的作用， AB 、 BC 均为 d = 100mm 的 圆截面杆，现测得 D 截面上 a 点沿 45° 方向上的线应变 ε = 2 ×10?4 ，若已知杆件材料的E = 200GPa ， υ = 0.25 ， [σ ] = 160MPa ，试按第三强度理论校核其强度。Pmτa0.5σ1 = τ aCA0.5mD0.5mdPa45°BDAMTaσ 3 = ?τ a解：取 a 点应力单元体为研究对象，绘出其应力状态如图所示，此时 D 截面上的内 力分量有：M T = 0.5 P ， M z = 0.5 Pτa =M T 4 Q 0.5 P 4 P ? = ? = 2.55 ×10?3 P ? 0.17 ×10?3 P = 2.38 ×10?3 P Wρ 3 A π D 3 3 π D 2 16 4 1 1+υ E (τ a + υτ a= ) ε 45= τ a ? τ= ε 45 a °° 1+υ E E即τ a =ε 45°200 ×103 1 1 E ? P =2 × 10?4 × × × 3 =13.45kN ?3 1+υ 1 + 0.25 2.38 ×10 10危险截面发生在固定端 A = ， σ r3 故其强度足够。M z2 + M T2 = 153MPa & [σ ] Wz6.直径为 d 的实心圆杆承受轴向拉力 P 和扭矩 T 作用，测得圆杆自由端面轴向线位 移为 δ 和扭转角位移为 ? ，试求圆杆材料的泊松比 υ 。TPl解：经分析知：dδ=Tl Tl Pl PL ? G= ， ?= ? E= GI ρ ? Iρ EA δAPl 2 E E δ A ? 1 P? I ρ ? 1 P? d ? 1 = ?υ = ?1 = = = G Tl 2(1 + υ ) 2G 16T δ Tδ A ? Iρ 壁厚 t = 2mm 的铸铁薄壁圆管， 承受横向力 P 合扭矩 T = 7.平均直径 D = 40mm ，PD 2作用，当 P 值逐渐增大而导致圆管破坏时，其破坏面与圆管母线的夹角 θ = 84.4° ，如 图示，已知材料的 σ b = 60 MPa ，试按第一强度理论，求破裂时的 P 值。APθτtDσσσ1T100A解：危险截面在固端，其上的内力分量为： 扭矩 M T= T=PD ， 弯矩 M = Pl 2危险点在固端截面的上边缘。PD MT MT MT P 2 = = 3.98 ×10?3 P ， 此时： τ = = = = ?t 2π ( D ) 2 t 2π ( D ) 2 t π Dt Wρ 2 2 M Pl 4 Pl = = σ = = 39.8 ×10?3 P Wz π ( D ) 2 t π D 2t 2由分析可知： σ 1 =σ+ ( ) 2 + τ 2 = 40.19 ×10?3 P = σ b ? P = 1.49kN 2 2σ8.按第三强度理论，可得如下三种形式的强度条件：(1) σ 1 ? σ 3 ≤ [σ ] ， (2)M 2 + M T2 ≤ [σ ] σ + 4τ ≤ [σ ] ，(3) Wz2 2试问三种形式强度条件的适用范围有何区别？ 解：(1)无论何种情况下均能应用；(2)主要适用于梁，且 σ y = 0 的情况，其对应的 第四强度理论的形式是 σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ] ；(3)主要适用于圆杆截面中，且剪力是扭矩引M 2 + M T2 起的，正应力是弯矩引起的，其对应的第四强度理论形式 ≤ [σ ] 。 Wz9.直径 d = 2cm 的 形折杆，A, D 两端固定支撑， 并使折杆 ABCD 保持在水平面内， ┗┛ 角 B, C 均为直角，在 BC 中点 E 处承受着铅垂荷载 P ，若 l = 15cm ，材料的许用应力 弹性模量 E = 200GPa ， 剪切弹性模量 G = 80GPa ， 试求许可荷载 [ P] 值。 [σ ] = 160MPa ，DPCAlBlCM CzEPM BzRBB BAM BzlERCRB解：取 CB 隔离体为研究对象，受力如图所示。 由结构的对称性可知： RC RB = = 变形协调条件： ? BA = θ B 即M Bz l P(2l ) 2 M ?2l M Cz ?2l M ?l EI Pl 2 = ? ( Bz + = ) ? Bz ( z + 1) GI ρ EI z GI ρ 16 EI z 3EI z 6 EI z 4 EI zP ， M Bz = M Cz 2又I ρ = 2I z ，EI z = 1.25 GI ρPl 9 Pl Pl ， 弯矩 M = 2 9解得： M Bz M Cz = =危险截面在固定端，扭矩 M T = 应用第三强度理论得： σ r 3 =M 2 + M T2 ≤ [σ ] ? [ P] ≤ 1636 N Wz10.一托架受荷情况及尺寸如图示， 梁截面采用 I No30a ， 截面面积为 A = 61.2cm 2 ， 主形心惯性矩 I z = 8950cm 4 ， Iz = 25.7cm ，腹板厚度 δ = 0.9cm 。求(1)分析 ABC 梁的 Sz受力情况， 画出梁的内力图； (2)梁内最大正应力的数值、 位置及方向； (3)画出支座 B 稍 左，并在梁的半高处(即中性轴处)的应力单元体(注明单元体上的应力的大小和方向)； (4)同样画出支座 B 稍右，并在梁截面的中点处的应力单元体。P = 30kNDq = 30 kN mBC200N图(kN )A6030cm60Q图(kN )3mδZ3090E2m2m2m6060M图(kN ?m)解：(1)由整体分析可知：∑MA= 0 ， RBy =Ay1 (30 × 2 + 30 × 6 ×= 150kN (↑) 3) 4∑Y = 0 ， RRBy RBx= 30 + 30 × 6 ? 150 = 60kN (↑)3 150 200 = = ? RBx = kN (→) 4 RBx故 ABC 梁的受力情况如图所示。 (2) σ max =N M 200 ×103 60 ×106 + = + =133.3MPa A Wz 61.2 ×102 596.7 ×103位置：在 D 截面的下边缘或 B 左截面的上边缘，方向：水平方向。 (3)单元应力如图所示。Q 90 ×103 N = = 38.9 MPa σ= = 32.8MPa ， τ Q = N I A b z 9 × 25.7 Sz(4) 单元应力如图所示。σNσNτQ= τQQ 60 ×103 = = 25.9 MPa I z 9 × 25.7 b Sz11.一等截面圆杆 AB ，杆的轴线为 1 4 圆弧，其曲率半径 R = 60cm ，杆的 B 端固定 杆材料的 [σ ] = 80MPa ， 支撑， 且使杆 AB 保持在水平面内；A 端承受竖向荷载 P = 1.5kN ，E = 80GPa ， υ = 0.3 ，试求：(1)圆杆的直径；(2)圆杆自由端的挠度。P??d?RBRAds解：(1)设计 d ，危险截面发生在固定端，其上内力分量为： 弯矩： M = PR ，扭矩： M T = PRσ r3 =M 2 + M T2 PR 2 32 PR 2 ≤ [σ ] ，即 ≤ [σ ] ? d ≥ 3 3 πd Wz π [σ ] 32解得： d ≥ 54.5mm ，取 d = 55mm (2) 圆管自由端的挠度 y自 弯矩： M ? = PR sin ? ， 扭矩： M T ,? PR (1 ? cos ? ) = 取微端 ds = Rd? 扭转角： d? =M T ,? ds GI ρM dy自 T ， 扭转变形： = d? ? R (1 ? cos ? )转角：dθ =M ? ds EI z，πM 弯曲变形： dy自 = dθ ? R sin ?y自自自∫ dy M T + ∫ dy M = =∫2 0M T ,? Rd? GI ρR(1 ? cos ? ) + ∫ 20πM ? Rd? EI zR sin ?于是 y自 =∫ 20ππ PR 3 PR 3 (1 ? cos ? ) 2 d? + ∫ 2 sin 2 ? d? =4.45mm 0 EI GI ρ z十、压杆稳定 1.截面为 b × h 矩形压杆两端用柱形联铰接(在 xy 平面内弯曲时，可视为两端铰支； 在 xz 平面内弯曲时，可视为两端固定)。已知 E = 200GPa ， σ P = 200 MPa ，求：(1)当b = 30mm ， h = 50mm 时，压杆的临界荷载；(2)若使压杆在两个平面(即 xy 平面和 xz 平面)内失稳的可能性相同时，则 b 与 h 的比值为多少？ⅠyxⅠhzbⅠⅠ2300x= 解：(1)先作“ λ ”的判断。 λPπ 2E = 99.3 σPλ= xy?l1× 2300 ? l 0.5 × 2300 = = 159.37 & λP ， λ= = = 133 & λP xz iz 50 12 iy 30 12故属于大柔度杆。2 3 π 2 EI z π × 200 ×10 × 12 × 30 × 50 xy Pcr = = = 118kN (?l )2 (1× 2300) 21(2)根据题意，应使 λxy = λxz 即：1×
× 2300 b 1 = = ? h b h 2 12 122.图示结构，已知 CD 杆材料的 σ P = 200 MPa ， σ S = 240 MPa ， E = 200GPa ，强度 安全系数 n = 2 ，稳定安全系数 nw = 3 ，求结构的许用荷载 [ P] 。PA2mCB3m3.5m80D100解：(1)求 CD 杆的内力∑MA= 0 ， N CD=1 ( P × 5)= 2.5 P(↑) 2(2)按 CD 杆强度条件确定 [ P]′[ N ]CD = [σ ] A =σs πn 4( D 2 ? d 2 ) = 339kN ? [ P]′ =339 = 136kN 2.5(3) 按 CD 杆稳定条件确定 [ P]′′λCD =?li=1× 3500 D2 + d 2 4= 109 & λP =π 2E = 99.3 ，属大柔度杆。 σPCD Pcr =CD Pcr [ N CD ] π 2 EI ] = 473kN ， [ N= = 157.7kN ， [ P]′′ = 63kN = CD 2 nw (?l ) 2.5故 [ P] = 63kN 。 3.三根直径均为 d = 16cm 的圆杆，其长度及支承情况如图所示，材料为 Q 235 钢，E = 200GPa ，σ P = 200 MPa ，试求：(1)哪一根压杆最易失稳？(2)三杆中最大的临界压力值。PP P9m5m7m解：(1)比较三杆的柔度，= id ， λP = 4cm= 4π 2E ≈ 100 σP= λa1× 500 0.7 × 700 0.5 × 900 = 125 ， λb = 122.5 ， λc = 112.5 = = 4 4 4λa & λb & λc & λP ，故 (a ) 杆最容易失稳。(2)三杆中 (c) 杆的临界压力最大。π ×1604 10 × 200 ×103 × 64 Pcr ,max = = 3131kN 2 (0.5 × 9000)4.结构 CF 为铸铁圆杆，直径 dCF = 10cm ， [σ ]? = 120MPa ， E = 120GPa ； BE 杆为 钢圆杆，直径 d BE = 5cm ， [σ ] = 160MPa ， E = 200GPa ，若 AD 可视为刚性梁，求荷载P 的许可值。2mEAB刚性杆 CPD铸铁60 70 80 900.44 0.34 0.26 0.20F解：(1)问题属于一次超静定。2m2m2mN BE = 0.283P (拉)， N CF = 1.36 P (压)(2)由钢杆 BE 的强度条件确定荷载许可值 [ P]′[ N ]BE = ] A = × [σ 1602 π d BE4160 = ×π 5024= 314 = kN ， [ P ]′314 = 1110kN 0.238(3)由铸铁杆 CF 的稳定条件确定荷载许可值 [ P]′′λCF =?lπ 245 P]′′ [ N CF ] = ?[σ ] A = 0.26 ×120 × 1002 = 245kN ， [= = 180kN 1.36 4故 [ P] = 180kN 5.结构受荷如图所示，水平梁 ABCD 可视为刚性杆，杆①和杆②均采用三号钢，已 知 σ P = 200 MPa ， σ S = 240 MPa ， σ b = 400 MPa ， E = 200GPa ，杆①的直径 d1 = 1cm ， 长度 l1 = 100cm ； 杆②的直径 d 2 = 2cm ， 长度 l2 = 100cm ； 结构要求各杆的安全系数为 2 ， 试求结构荷载 P 的许可值。= i1× 2000 = 80 & λP ? ?CF = 0.26 252m1A60°2PCB30°Da解：(1)结构为一次超静定。aa∑MA= 0 ， N 2 × a × sin 60°° N1 × 2a × sin 30 = 3a × P +N2 3 + N1 = 3P 2N1l1 EA 2sin 30° N 1 变形协调方程： 1 = ， 1 = ? N2 = N1l1 sin 60° N2 3 EA1联立可解得： N1 = 0.75 P (拉)， N 2 = 2.6 P (压) (2)利用杆②的稳定性确定结构许可荷载 [ P]′3 N1= λ2?l= i1×1000 = 200 & λP ，属大柔度杆。 5= N cr ,2π 2 EI z = (?l )2π 2 × 200 ×103 ×(1×1000) 2π 20464 = 15480 N= PN cr ,2 15480 P 5954 ] = 2977 N = = 5954 N ， [ P= = 2 2 2.6 2.66.外径 D = 10cm ，内径 d = 8cm 的钢管，在室温下进行安装如图示，装配时钢管不 受力。材料为 45 号钢， E = 210GPa ， α 12.5 ×10?6 / ℃， σ P = 200 MPa ，求温度升高 = 多少时，钢管将丧失稳定。807m解：(1)先作“ λ ”的判断。100= λ?l= i0.5 ×
π 2E = = 109.4 & λP ，属大柔度杆 σ cr = 2 32 λ D2 + d 2 4(2)钢管失稳时的温度增值。 温度升高 ?t 时，温度应力 σ t Eε t Eα?t = = 当 σ cr = σ t 时，钢管失稳。Eα?t =π 2E π2 ? ?t = = 66.1℃ λ2 αλ 2l1 l2 l3 7.三根直径为 d = 160mm 钢杆，两端均为铰支，长度分别为= 2= 4= 5m 。杆材料采用 Q 235 钢， σ P = 200 MPa ， σ S = 240 MPa ， E = 200GPa ，试求各杆的临界压力。 解：第一根杆：= λ11× 5000 = = 125 & λP ， 属大柔度杆 40 i ? l2 1× 2500 第二根杆：= = = 62.5 ， λs & λ2 & λP 属中柔度杆 λ2 i 40 ? l3 1×1250 第三根杆：= = = 31.25 & λS ， 属小柔度杆 λ3 40 i1 = 于是： Pcr? l1π 2 EI = 2540kN ( ? l1 ) 2π2 σ cr Pcr = A =? bλ ) A = ? 1.12λ ) 1602 = kN (a (304 4705 43 = σ s A 4830kN Pcr =8. 外径 D = 50cm ，内径 d = 40cm 的钢管，两端铰支，材料为 Q 235 钢，承受轴向压 力 P ，试求：(1)能应用欧拉公式时，压杆的最小长度；(2)当压杆长度为上述最小长度3 的 时，压杆的临界压力为多少？ 4解：(1) λ =P?li=1× lmin D2 + d 2 4≥ 100 ? lmin =1.6m(2)当 l lmin 1.2m 时，= λ = =?l1×1200 = = 75 ， i 16l4060 & λ & 100 ，属于中柔度杆50Pcr = cr A =a ? bλ ) A = σ ( (304 ? 1.12 × 75) A = 155.5kN9.简易起重机的最大起重量 P = 40kN ，压杆 BD 采用 No 20，已知 A = 32.83cm 2 ，I min = 143.6cm 4 ，试求 BD 杆工作时的稳定安全系数。1.5mA0.5mB30°ClDP解：由 ∑ M A = 0 ，可得 PBD = 106.7 kN 计算 BD 杆的柔度 λBD =?l= i1×1732 = 82.9 & λs 20.9应采用经验公式计算临界力BD Pcr =a ? bλ ) A = ( (304 ? 1.12 × 82.9) × 3283 = 693.2kNBD Pcr 693.2 = 6.5 = = nw PBD 106.710.长度 l = 1m ，直径 d = 16mm 的细长杆 AB ，杆两端铰支，在15℃时装配，装配后A 端与刚性槽之间有空隙 δ = 0.25mm ，杆材料为 Q 235 钢， E = 200GPa ，线膨胀系数= 11.2 ×10?6 / ℃ ，规定的稳定安全系数 nw = 2.5 ，试求杆所能经受的最高工作温度。 α解：温度升高 ?T 时杆内的应力：δANl = δ， ?lt ? ?lN =δ ， ε t l ? EA σl δ α l ?T ? = δ ? σ = E (α?T ? ) E l杆的许可温度： 作 λ 的判断，= λd?l= i 1×1000 = 450 & λP 4l属大柔度杆，则： σ cr =π 2E λ2Bσ cr δ 1 π2 又： n= ( ) = = 2.5 ? ?T = + = 28℃ w 2 δ σ α 2.5λ l E (α?T ? )l故 [T ] =15 + 28 = 43℃π 2E λ2十一、能量法 1.求刚架 C 截面的水平位移，已知 EI = 常数(略剪力 Q 及轴力 N 对位移的影响)。解：设 C 截面的水平虚设力为 Pf3 x BC 梁： M ( x) = ( qa + Pf ) x ? q ， 2 22P = qaqCBPfx3 qa + Pf 2aEIqa + Pf A1yqa + Pf?M ( x) =x ?Pfy) AB 梁： M (= (qa + Pf ) y ，?M ( y ) =y ?Pf = δ CH∫a0a M ( y ) ?M ( y ) M ( x) ?M ( x) dx + ∫ dy ? ? 0 EI ?Pf EI ?Pf于是： δ CH3 x2 ( qax ? q ) a 17 4 2 xdx + a qay ydy =qa (→) = 2 ∫0 ∫0 EI 24 EI EI2.等截面刚架，各杆 EI 相同，求截面 A 的垂直位移 y A 和截面 B 的转角 θ B (略轴力 N 及剪力 Q 对变形的影响)。 解： y A = y AM + y AP3Pa 2 (?) θB = EI 3Pa Pa 3 10 Pa 3 (↓) = ?a + = 3EI 3EI EIPAEI EIB2Paa?M ( x) ?M ( x) = x， =0 AB 段： M ( x) = Px ， ?P ?M ?M ( y ) ?M ( y ) =a， =1 = BC 段： M ( y ) Pa + M ， ?P ?M a M ( x ) ?M ( x ) a M ( y ) ?M ( y ) ?U dx + ∫ dy δ= = ∫ AV 0 0 ?P EI ?P EI ?P2 a 3Pa Px 2 10 Pa 3 = ∫0 EI dx + ∫0 EI dy =EI (↓) 3 aCa= θb=?U = ?M∫a0a M ( y ) ?M ( y ) M ( x) ?M ( x) dx + ∫ dy 0 ?M ?M EI EIa 3Pa 3Pa 2 (?) = dx ∫0 EI EI3.论证图示刚架采用卡氏第二定理求位移，则 代数和。 证明：令P = P ， P2 = P 1?u 代表 A 点水平位移和垂直位移之 ?PBAEI EIP =P 1P2 = PC?U ?U dP ?U dP2 1 ， = + ?P ?P dP ?P2 dP 1 由于 所以 证毕。 4. AB 和 CD 两梁同在水平面内，其抗弯刚度分别为 EI 和 2EI ，两梁在 D 点正交， 受荷如图，求各支座反力。l 2dP dP 1 = 1， 2 = 1 dP dP?U ?U ?U = + = δ AH + δ AV ?P ?P ?P2 1解：由于结构对称，故 RA = RB 整个结构的变性能： U 2U AD + U DC =l 2 PDEIBEI2EIC列 AD 段的弯矩方程： M ( x) = RA x ；?M ( x) =x ?RAAl 2列 CD 段的弯矩方程： M ( y ) ( P ? 2 RA ) y ； =?M ( y ) = ?2 y ?RAl l RA x 2 ( P ? 2 RA ) y ?U P 2 2 = = 0 ，δA =∫ δA 2 dx + ∫ (?2 y )dy = ? RA = (↑) 0 0 0 ?RA EI 2 EI 4故 RA RB = =P P Pl ， RC = ， M C = 4 2 45.悬臂阶梯形梁自由端受竖向力 P 作用，求自由端的挠度。 解： δ Ay =?U ?PAI1Bl 2I 2 = 2 I1l 2列梁的弯矩方程： M ( x) = PxP= U∫l 2 0xCM ( x) M ( x) dx + ∫ l dx 2 EI1 2 4 EI1l l22= xdx + ∫ l δ Ay =∫ 20?U ?PPx EI1Px 3Pl 3 xdx =(↑) 16 EI1 2 2 EI1l6.抗弯刚度为 EI 的梁 AB ， A 端为固定铰支座， B 端为弹性支座，弹簧刚度为 k ，梁承受力 P 作用，试求力 P 作用点的挠度。 解：梁的总变性能：U = U AC + U CB + U弹A2P RA = 3PCBEIRB =U =∫l 3 02 1 2 ( Px) 2 2 l ( Px ) 1P P 3 3 dx + ∫ 3 dx + 0 2 EI 2 EI 2 3 3kl 32l 3P 3δ Cy =?U P 4 Pl 3 = + (↓) ?P 243EI 9k7.简单桁架各杆的抗拉(压)刚度均为 EA ，承受集中力 P 如图所示，使用卡氏定理求 节点 C 的水平和竖直位移。 解：计算各杆轴力。Pf = 0B2N 3 = 2 P ， N 4 = P ? Pf ?其余均为零杆。 于是： δ CH = ?U = ?P 2P ?P × 2 × 2l + × (?1) × l EA EA13CP4lA5D=2) (1 + 2Pl Pl = (→) 3.83 EA EAl= δ CH?U ? P Pl = × (?1) ×= l (↓) ?Pf EA EA8.抗弯刚度为 EI 的“ Z ”字形刚架，受图示荷载作用，不计轴力和剪力的影响，试 求截面 A 的位移和转角。PfP3aAMf xxθ θB?M ( x)D ?M ( x) C?M ( x) = ?1 解： AB 杆： M ( x) = ? M f ， = ?x ， x = 0 ， ? Px ?Pf ?M f ?P? Pf x BC 杆： M ( x) = sin θ + P(3a ? x cos θ ) + M f?M ( x) ?M ( x) ?M ( x) =1 = ? x sin θ ， = 3a ? x cos θ ， ?M f ?Pf ?P4aCD 杆： M ( x)= 4 Pf a ? Px ? M f?M ( x) ?M ( x) ?M ( x) = ?1 = 4a ， = ?x ， ?M f ?Pf ?PθA =?U ?M f=∫M f =03a05 a P (3a ? x cos θ ) x 3 a Px Px 33Pa 2 dx + ∫ dx + ∫ dx = (?) 0 0 EI EI EI 2 EI? AH =?U ?28 Pa 3 (←) = ?Pf EI?U 33Pa 3 (↓) ? AV = = ?P EI9.抗弯刚度为 EI 的刚架承受一对集中力 P 作用如图所示，不计轴力和剪力的影响， 试求截面 A 、 D 之间的相对水平位移，相对垂直位移和相对角位移。PMfAMf CPhxEIBxaED解：该结构关于 BC 中点对称。又所受荷载为正对称，故不可能出现反对称位移。= AB 段： M ( x) Px + M f ，?M ( x) ?M ( x) =1 = x， ?M f ?P?M ( x) ?M ( x) =1 = h， ?M f ?P= BD 段： M ( x) Ph + M f ，A ? H? D =a 2 h Px Ph 2 Ph 2 2h ?U ( + a )(→←) dx + 2 ∫ 2 dx = 2∫ = 0 EI 0 EI EI 3 ?P?A? D Ha h Px Ph Ph ?U dx + 2 ∫ 2 dx= = = 2∫ (h + a )(??) 0 EI 0 EI EI ?M f10.抗弯刚度为 EI 的两端固定梁 AB ，承受图示三角形分布荷载，不计轴力的影响， 试求梁的反力及最大弯矩。q0MAA RAEIMBBRBxl解：(1)列 AB 梁的弯矩方程。?M ( x) ?M ( x) x3 = x， = ?1 M ( x) = RB x ? M B ? q0 ， ?RB ?M B 6lx3 RB x ? M B ? q0 l ?U 6l xdx 0 于是： δ BV = = ∫ = 0 ?RB EI ?U = ?M B RB x ? M B ? l EI x3 q0 6l (?1)dx = 0θB =∫0联立解得： RB = (2)求 M max3 ql 2 ql (↑) ， M B = (? ) 20 30M ( x) = RB x ? M B ?3 1 q0 3 dM ( x) 1 l =? q0 x 2 = RB 0 ，得 x = x ，令 10 6 l dx 2= 故 M maxq l2 1 3 3 3 2 q0l ( l ) ? 0 ? q0 ( = 0. l) 20 10 30 6l 10
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