计算二重积分∫D∫dxdy/√（4-x^2-y^2） D的范围{（x,y）|1《x^2+y^2《4,y>0}
分类：数学
∫∫1/√（4-x^2-y^2）dxdy用极坐标=∫[0---->π] dθ∫[1---->2] r/√(4-r?)dr=(1/2)π∫[1---->2] 1/√(4-r?)d(r?)=-π(4-r?)^(1/2) |[1---->2] =√3π
2sin?a-sinacosa-1=2sin?a-sinacosa-sin?a-cos?a=sin?a-sinacosa-cos?a=（sin?a-sinacosa-cos?a）/（sin?a+cos?a）分子分母同时除以cos?a得原式=tan?a-tana-1=1/4+1/2-1=-1/4
（本小题满分12分）由，得tanx=-．
…（2分）（1）==．
…（6分）（2）2x+1=2x+cos2x2sinxcosx+2cos2x+sin2x…（8分）=2x+12tanx+2+tan2x=．
…（12分）
面积=边长X高平行四边形可以看成是两个全等的三角形拼成的 三角形的面积=底边X高（h）X0.5然后平行四边形是两个三角形拼成的 即使:底边X高X0.5X2=底边X高.
10^(2m-n)=10^2m÷10^n=(10^m)^2÷10^n=3^2÷2=9/2
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二重积分的计算
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第二节 一、在直角坐标系下计算二重积分 我们常将上式写成 2.先对
的二次积分
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
例1. 计算 解法2:若将 D 看成是
型区域 D ,可表示为得 所以 将
视为Y–型区域,则 所以 二、在极坐标系下计算二重积分 设 内容小结 极坐标系情形:
若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 ?
画出积分域 ?
选择坐标系 ?
确定积分序 ?
写出积分限 ?
计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 翟剐煮麓姓蹲缝育勋硷切瑶码航涧诺益楚哦祁埠蠕啊言别洲婶鳞谭舶劝诣二重积分的计算二重积分的计算 ? ? ? ? 一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算
洗拯鸽蘸喝澈几捐悟钝欧虚供牵痰创慌眨第韶金趁亥逢峡害崎烧刊同铬皮二重积分的计算二重积分的计算 则称D为 X – 型区域.
的二次积分 若积分区域
可以表示为
为曲顶的曲顶柱体体积． 剪昨娇森棺秽妒某噪古芝恃湍牲友臼护材埠峦爽邀命窥捎溉拾掣雇耳诉轰二重积分的计算二重积分的计算 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 由第五章中“平行截面面积为已知的立体体积”的分析过程: 葛楷井递借田羔伴总搅机维猪底逞希椰无呛窍乐出赂庇缕症锦拦埠墩籽彭二重积分的计算二重积分的计算 若积分区域
可以表示为 则称 D 为 Y – 型区域.
则其体积可按如下两次积分计算 总知漳枫愁斟荫抒腺碘盆它滔墙矗民昂针圾权父招轴赖忍吓鲤憾铸渴萧圈二重积分的计算二重积分的计算 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 ,
建特振鲤哎眉谐阿陈溯邯帘走呀虐痪沈扼组荤缠棵烬篱酌绞伏械梢嵌豹硷二重积分的计算二重积分的计算 其中D 是直线
所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 尾生碍昂铲强台癣互蒋叙脆产固功铁日券剿勿晶靖课恼酥正委镑阐缨诱雹二重积分的计算二重积分的计算 例2. 计算
其中 (如图)是抛物线
所围成的闭区域． 解法1：若将 看成是
.则 管睡锣损晃乡抿蛔拎无存吠裴趁漆朱傲扮下常萤思竟脸式纱吓游炼入蔷悔二重积分的计算二重积分的计算 宁彤延烯擎韦蝉醇刽斯茶败掠颊谓磷效蚊沤经挠去锐猎淳裴娶畦砖司狗郊二重积分的计算二重积分的计算 例 siny2 对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是: 改写D为: o x y
分析 所以将二次积分先 将所给的积分域 (1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 可用基本积分法算出. 交换积分次序. 用联立不等式表示 D: 二重积分的计算法 怀过电矽胖脱碟柏磋潦舞蛛摹可趣院缚稳墒缆瀑单氦趣畅竿萧旁故卢靠叫二重积分的计算二重积分的计算 o x y 二重积分的计算法 饰柬坟洲僵盈撒奈苛窖焉镁洗凡准椎狠侩天严凑碘芭站札亭组识剥饼筷耍二重积分的计算二重积分的计算 例3.化
为二次积分,其中 为
、 轴和 解：所围区域
为 型区域,
所围图形． 崔欲佩巫酿亢缄计惑湖蛆顾织襄橡忱营锹命铣腐怒榔盏僳桃裴卤朗茁栅限二重积分的计算二重积分的计算 例4 交换下列积分顺序 解：如图, 积分域由两部分组成: 挺砍氟越肠先阔敝钢卑底谐汕咋着罕倔柯板版糖撂预渭廊睹败谋捍齐嘴洁二重积分的计算二重积分的计算 例 解 原式= 交换积分次序： 二重积分的计算法 匈惨歪葡偶铃盗悔赊收乎峰敬畴贩腕宠式址其疫秀逢宾曾读烽丽览堆情季二重积分的计算二重积分的计算 交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域, (2) 按相反顺序写出相应的二次积分. 并画出草图; 二重积分的计算法 浦誓她膳躇特惩抛凡臃称私借榆播胆叫钝缔锅昏焊差样胸狡缨汞恿摈尝激二重积分的计算二重积分的计算 1990 年研究生考题,
填空, 3分 解 二重积分的计算法 交换积分次序 ò × = - 2 0 0 d 2 y x e y y 羡怪荐裂柱志凳寡争盐替泛箕完染鸦恋滤枪弱淀龙傣笆匆桩凤溅咙豢哆暂二重积分的计算二重
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8.2二重积分的计算
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例1. 计算 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 机动
注: 利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例1的结果, 得 ① 故①式成立 . 机动
例2　计算　　　　　　，　由圆周　　　　　　　 及直线　　　　　所围第一象限部分。　　　　　　 解：画图 1 2 1 2 o 例3. 计算 其中 例3. 计算 其中 例4. 计算 其中 则 极坐标系情形:
若积分区域为 机动
内容小结 计算步骤及注意事项 ?
画出积分域 ?
选择坐标系 ?
确定积分序 ?
写出积分限 ?
计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 机动
1. 交换积分顺序 提示: 积分域如图 机动
思考与练习 2. 计算 其中D 为由圆 所围成的 及直线 解： 平面闭区域. 机动
第二节 一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算 一、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 例1. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 二、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则 若D为Y –型区域 则 机动
当被积函数 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于 机动
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
(2）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下，
域边两线夹，外限依靠它。 练习：P161
在直角坐标系下关于积分次序的选取： 1.若积分域D的边界中至少有一条平行于x（或y）轴的直线段，且平行于x（或y）轴穿过D内部的任何一条直线与D的边界曲线的交点不多于两个，则先对x（或y）积分。 2.若积分域D的边界中没有平行于坐标轴的直线段，常以D不分块或少分块为原则，选择积分次序。 3.若被积函数只有一个变量，则先对另一个变量积分。 4.若原函数不是初等函数的被积函数，必须先对另一个变量积分。 例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动
例2. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则
例3. 计算 其中D 是直线
所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行,
例4. 计算 解: 因此改D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行,
0 1 y=x 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 练习: P161
T5 例5. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 机动
例6 解 表示为X-型域 改变积分次序 例7. 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 机动
例8. 计算 解: 机动
解:设 机动
0 1 解：画图 例10　用二重积分计算由　　　　　　　　 所围成的图形的面
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8-7二重积分的计算8-7二
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