基于MATLAB的二重积分计算方法_百度文库
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基于MATLAB的二重积分计算方法
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二重积分的计算法
二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
的计算问题。
我们假定 ；
可用不等式 表示,
在上连续。
的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
该曲顶柱体的体积为
后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(
它是的函数 )再对从到计算定积分。
, 后对的二次积分也常记作
假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在上连续),公式(1)总是成立的。
如果积分区域可以用下述不等式
且函数,在上连续,在上连续,则
式是先对,后对的二次积分。
型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
的图形(假设的图形如下 )
上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。
】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。
】求由曲面及所围成的立体的体积。
、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
化二重积分为二次积分并作定积分计算
的对称性有&
为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。
小闭区域的面积可如下计算
表示相邻两圆弧半径的平均值。
因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
,其中,就是极坐标中的面积元素。
同样可以化归为二次积分来计算。
可表示成下述形式
在上连续。
为下述形式
这只是情形一的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。
为下述形式
这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而
将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
】将下列区域用极坐标变量表示
据图确定极角的最大变化范围
与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围
本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
从而以下不等式
含圆弧,直线段 )；
含, 为实数 )。有限单元法中的二重积分离散计算--《辽宁大学学报(自然科学版)》1979年02期
有限单元法中的二重积分离散计算
【摘要】：正 前言本文的目的是用离散化的手段解决重积分的计算问题。在有限单元法中,相当大的一部分工作量是计算刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵及荷载向量。这些工作一般地归结为多项式的积分,而这一问题往往因为积分区域的复杂而不易解决。目前迫切需要解决的是有限单元
【作者单位】：
【关键词】：
【正文快照】：
前言 本文的目的是用离散化的手段解决重积分的计算问题。在有限单元法中,相当大的一部分工作量是计算刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵及荷载向量。这些工作一般地归结为多项式的积分,而这一问题住往因为积分区域的复杂而不易解决。目前迫切需要解决的是有限单元法中的二重积分
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京公网安备74号二重积分计算中的积分限的确定1_百度文库
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二重积分计算中的积分限的确定1
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