如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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215位同学学习过此题，做题成功率86.9%
如图，已知直线y=-12x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒√5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点&P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
本题难度：较难
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
揭秘难题真相，上天天练！
习题“如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单...”的分析与解答如下所示：
（1）首先由直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，过D作DE⊥y轴于E，通过构建的全等三角形：△ADE和△BAO，可以求出DE、AE的长，进而能得到点D的坐标；C点坐标的求法同理．（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．（3）随着正方形的移动，正方形在x轴下方的形状会不断的变化，所以要注意三个关键点：A、C、D三点运动到x轴上时t的值，若是这三个值分别是α、β、γ，那么分三种情况：①0＜t≤α时，正方形在x轴下方的是个小直角三角形；②α＜t≤β时，正方形在x轴下方的是个梯形；③β＜t≤γ时，正方形在x轴下方的是个五边形，其面积可由正方形的面积减去x轴上方的小直角三角形得出．（4）由前面两小题可知道M、D两点的坐标；由相似三角形：△ABO和△HBE可以求出点H的坐标，由于抛物线L1沿直线AB移动，所以M→N与D→H的移动规律是相同的，可据此得出点N的坐标；由于点P在x轴上，所以MN只可能是平行四边形的边（若MN是对角线，那么点Q必在直线MN的上方，显然不合题意），那么点Q的纵坐标可由M、N的纵坐标差的绝对值得出，在确定点Q的坐标后，根据M→N的平移规律即可得出点P的坐标．
解：（1）由直线y=-12x+1知：A（0，1）、B（2，0）；过D作DE⊥y轴于E；在△ADE与△BAO中，{∠DAE=∠ABO=90°-∠OAB∠AED=∠BOA=90°AD=AB∴△ADE≌△BAO（AAS），则：AE=OB=2，DE=OA=1；∴OE=OA+AE=3，则：D（1，3）；由于CD、AB是正方形的一组对边，所以AB∥CD；∵点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得B点，∴点D向下平移1个单位，再向右平移2个单位得C点，即：C（3，2）；综上，C（3，2）、D（1，3）．（2）易知A（0，1），设抛物线L1的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有：{c=1a+b+c=39a+3b+c=2，解得{a=-56b=176c=1则：y=-56x2+176x+1．（3）①当0＜t≤1时，如图①Rt△AOB中，tan∠ABO=OAOB=12，Rt△QFB中，tan∠QBF=tan∠ABO=12，BF=√5t，∴QF=tan∠QBFoBF=√5t2；则：S=12BFoQF=12o√5to√5t2=5t24；②当1＜t≤2时，如图②，BF=√5t，BE=√5t-√5；∴PE=tan∠QBFoBE=√5t-√52，QF=√5t2；则：S=12（PE+QF）oEF=√54（t-1+t）o√5=52t-54；③当2＜t≤3时，如图③，Rt△HQP中，tan∠HQP=tan∠QBF=12，HP=HE-PE=√5-√5t-√52=3√5-√5t2；∴HQ=HPtan∠HQP=2HP=3√5-√5t；则：S=S正方形EFGH-S△HPQ=（√5）2-(3√5-√5t)24=-54t2+152t-254．（4）∵∠ABO=∠HBE，∠AOB=∠HEB=90°，∴△ABO∽△HBE，得：ABBH=OAHE，即：√5BH=1√5，解得：BH=5；∴H（7，0）；由D（1，3）、H（7，0）知，M向右平移6个单位，向下平移3个单位即可得到N点；因为点P在x轴上，若以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形（MN只能是平行四边形的边），则点Q的纵坐标必为±3；当点Q的纵坐标为3时，代入抛物线的解析式可得：Q（1，3）或（125，3），向右平移6个单位，向下平移3个单位得：P（7，0）或（425，0）；当点Q的纵坐标为-3时，代入抛物线的解析式可得：Q（17±√76910，-3），向左平移6个单位，向上平移3个单位得：P（-43-√76910，0）或（-43+√76910，0）；综上，存在符合条件的P点，其坐标为（7，0）或（425，0）或（-43-√76910，0）或（-43+√76910，0）．
此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形和全等三角形的应用、图形的平移及其性质、平行四边形的性质等综合知识；（3）题中，一定要抓住图形平移过程中的关键点，在对自变量的取值范围进行界定时，一定要做到不重不漏；最后一题中，首先要判断出MN是平行四边形的边或对角线，然后根据点M、N的坐标来确定P、Q的位置关系；总体来看，题目的难度较大．
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如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号...
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经过分析，习题“如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问网上课堂。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
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与“如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单...”相似的题目：
[2002o广州o模拟]直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（　　）（2，2），（1，1）（2，2），（-1，-1）（-2，-2），（1，1）（-2，-2），（-l，-1）
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该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到题库，查看习题“如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，已知直线y=-1/2x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）求抛物线L1的解析式；（3）若正方形以每秒根号5个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．”相似的习题。扫二维码下载作业帮
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1.75亿学生的选择
如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从D出发以1个单位每秒的速度往C运动，动点Q从A出发以3个单位每秒的速度经B往C运动，若P、Q同时出发，其中一个点运动到C时，另一点也随即停止运动，连结PA、PQ，若记△APQ的面积为y，运动时间为x秒． （1）求y关于x的函数关系式；（2）当Q在AB上时，求使△APQ的面积与四边形QBCP的面积相等时的x的值；（3）连结BD，是否存在某个时刻使PQ∥BD？若存在，求出x的值，并求此时△APQ的面积；若不存在，请说明理由．
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（1）由题意可知：当0≤x≤时，y1=AQoAD=×3x×4=6x，当＜x≤时，y2=CQoCP=×（8-3x）×（4-x）=x2+2x+8，（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，由题意得可得6x=×4×（4-x+4-3x），解得x=，且＜，故符合题意；（3）存在，理由如下：连结BD，显然，当x≤时，PQ与BD不平行；当＜x≤时，∵在正方形ABCD中，∠C=90°，CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=45°，要使PQ∥BD，只要CP=CQ，即4-x=8-3x，解得x=2，此时CP=CQ=2，（P、Q分别为CD、CB的中点）．S△APQ=y2=x2+2x+8=6，即当x=2时PQ∥BD，此时△APQ的面积为6．
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（1）分Q点在AB上和Q点在BC上两种情况分别求解；（2）当Q在AB上时，PC=4-x，BQ=4-3x，利用面积相等可以解出x；（3）分Q点在AB上和Q点在BC上两种情况分别讨论，Q在AB上时显然不成立，当Q在BC上时，CB=CD要使PQ∥BD，只要CP=CQ，列出方程可求出x，代入解析式可求得面积．
本题考点：
四边形综合题．
考点点评：
本题主要考查正方形有关性质的综合应用，解题的关键是化动为静，即利用时间表示出线段的长度，利用图形的有关性质列出方程求解．
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2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编 专
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如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点P从点A出发以每秒1个单位的速度向点B运动,点Q从点B出发以每秒个单位的速度向点C运动,点P、Q同时运动,设运动时间为秒.过点Q作MQ⊥PQ交直线CD于点M,过点P作PN⊥PQ交边AD于点N,连结MN.(1)若k=1,则四边形PQMN的形状为 ▲ .(2)若k=2,在运动过程中,求t为何值时,四边形PQMN为矩形.(3)如图2,现将条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”其它条件不变.①若AB=1,BC=2,则当四边形PQMN成为矩形时,求t的值.（请用含k的代数式表示）②若AB=1,BC=n,当四边形PQMN成为矩形时,(请用含k的代数式表示)
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（1）正方形（2）当四边形PQMN为矩形的时候,△BPQ≌△DMN设AP=t,则CM=t,BQ=DN=2t,BP=DM=1-t,CQ=AN=1-2t易证△APN∽△BQP,所以AN：PB=AP：BQ代入,可求得t=1/3（3）①同理,设AP=t,BQ=kt,AN=2-kt,BP=1-t,(2-kt):(1-t)=t:(kt)t=(2k-1)/(k^2-1)②同理,设AP=t,BQ=kt,AN=n-kt,BP=1-t,(n-kt):(1-t)=t:(kt)t=(nk-1)/(k^2-1)
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