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ID: 216641
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题型: 解答题
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，Q是PA上一点，且PA=4PQ=4，四边形ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，，M，N分别为PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求二面角M﹣CN﹣P的余弦值．
（Ⅰ）以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进一步可表示向量，，求出平面PBC的法向量，可得，从而可证MQ∥平面PCB；（Ⅱ）求出平面MCN的法向量为，平面PNC的法向量为，利用cos=，可取二面角M﹣CN﹣P的余弦值．本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法解决立体几何问题，属于中档题．
（1）证明：以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（，1，0），D（，0，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），M（，0，2），N（0，1，2）∴，设平面PBC的法向量，则，∴，可取∴
∵MQ?平面pPCB∴MQ∥平面PCB；（2）解：设平面MCN的法向量为∵∴，∴，可取又平面PNC的法向量为∴cos==∴二面角M﹣CN﹣P的余弦值为．
（1）证明：以A为原点，射线AD、AB、AP分别为x轴，y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（，1，0），D（，0，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），M（，0，2），N（0，1，2）∴，设平面PBC的法向量，则，∴，可取∴
∵MQ?平面pPCB∴MQ∥平面PCB；
（2）二面角M﹣CN﹣P的余弦值为
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＞＞＞如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥C..
如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…（3分）因为ED?平面EOD所以AB⊥ED．…（4分）（Ⅱ）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD?平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．…（5分）因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以EC=(1，1，-1)，平面ABE的一个法向量为OD=(0，1，0)．…（7分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sinθ=|cos?EC，OD＞|=|ECoOD||EC||OD|=33，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为33．…（9分）（Ⅲ）存在点F，且EFEA=13时，有EC∥平面FBD．…（10分）证明如下：由EF=13EA=(-13，0，-13)，F(-13，0，23)，所以FB=(43，0，-23)．设平面FBD的法向量为v=（a，b，c），则有voBD=0voFB=0所以-a+b=043a-23z=0.取a=1，得v=（1，1，2）．…（12分）因为ECov=（1，1，-1）o（1，1，2）=0，且EC?平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足EFEA=13时，有EC∥平面FBD．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥C..”主要考查你对&&用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
异面直线所成角：&
， （其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。 用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．
发现相似题
与“如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥C..”考查相似的试题有：
276989622739620944624021394933619315如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠
练习题及答案
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0），连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线经过点D、M、N。
（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值。
题型：解答题难度：偏难来源：四川省中考真题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC与x轴的交点，∴M（0，2），∵DM∥ON，D（3，0），∴N（-3，2），则，解得，∴；（2）连接AC交y轴与G，∵M是BC的中点，∴AO=BM=MC，AB=BC=2，∴AG=GC，即G（0，1），∵∠ABC=90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分线，要使PA=PC，即点P在AC的垂直平分线上，故P在直线BG上，∴点P为直线BG与抛物线的交点，设直线BG的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=-x+1，∴，解得，∴P或P；（3）∵，∴对称轴x=-，令，解得，∴E（-6，0），故E、D关于直线x=-对称，∴QE=QD，∴|QE-QC|=|QD-QC|，要使|QE-QC|最大，则延长DC与x=-相交于点Q，即点Q为直线DC与直线x=-的交点，由于M为BC的中点，∴C（1，2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=-x+3，当x=-时，y=x+3=，故当Q在（，）的位置时，|QE-QC|最大，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，则CD=。
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初中三年级数学试题“如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠”旨在考查同学们对
求二次函数的解析式及二次函数的应用、
二次函数的最大值和最小值、
垂直平分线的性质、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a&0）；
（2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a&0）
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
考点名称：
二次函数的最大值：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即二次函数的最大值。
二次函数的最小值：如果自变量的取值范围是全体实数，则当a&0时，抛物线开口向上，有最低点，那么二次函数取得最小值。
求二次函数最大值、最小值的方法
1.先把二次函数化为顶点式y=a(x-h)²+k,
当a＞0时, (抛物线开口向上, 图象有最低点,)二次函数有最小值k.
当a＜0时, (抛物线开口向下, 图象有最高点,)二次函数有最大值k.
2.把二次函数化为一般形式y=ax²+bx+c,利用顶点坐标公式[-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)]可求最大或最小值：
当a＞0时, (抛物线开口向上, 图象有最低点,)二次函数有最小值(4ac-b²)/(4a).
当a＜0时, (抛物线开口向下, 图象有最高点,)二次函数有最大值(4ac-b²)/(4a).
考点名称：
垂直平分线的概念：
垂直平分线，或称中垂线，指一垂直于某个线段且经过该线段中点之直线。垂直平分线上的每一点到该线段的两端点距离相等。尺规作图取得某线段垂直平分线的方法为：分别以该线段两端点为圆心，大于线段一半之等长长度为半径画弧，两弧相交之两点连接成的直线即为该线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质：
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）
①利用定义；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）
尺规作法：（用圆规作图）
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
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CopyRight & 沪江网2014（2007o钦州）如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．（1）用含m的代数式表示线段AD的长是；（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=x-2，求m的值；（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？★★★★★推荐试卷
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