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已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根，②当k≠0时，△=（3k+1）2-4ko3，=9k2+6k+1-12k，=9k2-6k+1，=（3k-1）2≥0，所以，方程有实数根，综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）令y=0，则kx2+（3k+1）x+3=0，解关于x的一元二次方程，得x1=-3，x2=-1k，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1；（3）由（2）得抛物线的解析式为y=x2+4x+3，配方得y=（x+2）2-1，∴抛物线的顶点M（-2，-1），∴直线OD的解析式为y=12x，于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，12h），∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+12h，①当抛物线经过点C时，令x=0，则y=9，∴C（0，9），∴h2+12h=9，解得h=-1±1454，∴当-1-1454≤h＜-1+1454时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=(x-h)2+12hy=-2x+9，消掉y得，x2+（-2h+2）x+h2+12h-9=0，∴△=（-2h+2）2-4（h2+12h-9）=0，解得h=4，此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意，综上所述：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或-1-1454≤h＜-1+1454．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方..”考查相似的试题有：
83554913667127214185889187481892261已知关于x的方程x2-（k+1）x+4\1k2+1=0的两根是一个矩形的两边长
已知关于x的方程x2-（k+1）x+4\1k2+1=0的两根是一个矩形的两边长
1.& k取何值时，方程存在两个正实数根？
2.当矩形的对角线长是根号五时，求k值。
已知关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等的实数根中有一根为0,是否存在非正整数k,使得关于x的方程kx^2-(2k-m)x+k-m^2+5m-10=0有整数根?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由关于X的方程x^2-2(m+1)x+m^2-2m-3=0的两个不相等实数根中,有一个根为0. ∴把x=0代入方程解得:m1=-1,m2=3. ∴另一方程可能为：x^2-(k+1)x-k-8=0或x^2-(k-3)x-k+4=0, 设存在实数k,使关于x的方程x^2-(k-m)x-k-m^2+5m-2=0的两个实数根之差的绝对值为1，两根分别为x1,x2. 由韦达定理得：x1+x2=k+1或x1+x2=k-3;x1x2=-(k+8)或x1x2=-(k-4) ∴|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=(k+1)^2+4(k+8)]=1解得方程无实数根． |x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=∴|x1-x2|=√[[(k-3)^2+4(k-4)]=1, 解得：k1=4,k2=-2, 经检验：k2=-2不符合题意，k=4符合题意． ∴存在实数k=4使关于x的方程x^2-(k-3)x+4=0的两个实数根之差的绝对值为1．
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＞＞＞如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，..
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。
（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。
题型：解答题难度：中档来源：高考真题
解：（1）在 y=kx-（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx-（1+k2）x2=0由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0∴，当且仅当k=1时取等号∴炮的最大射程是10千米。（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka-（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根由△=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6此时，k=＞0（不考虑另一根）∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
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基本不等式及其应用一元二次方程及其应用
基本不等式：
（当且仅当a＝b时取“=”号）； 变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 ②；③；④； 对基本不等式的理解：
(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即 对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，； （2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，； （3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。
应用基本的不等式解题时：
注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。
利用基本不等式比较实数大小：
(1)注意均值不等式的前提条件．(2)通过加减项的方法配凑成使用均值定理的形式．(3)注意“1”的代换．(4)灵活变换基本不等式的形式，并注重其变形形式的运用．重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是等，不仅要掌握原来的形式，还要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．(5)合理配组，反复应用均值不等式。&
基本不等式的几种变形公式：
一元二次方程的定义：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
。一元二次方程的应用：
建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程的两个实数根是，那么。
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x^2+2x-2=0x1=-1+(1+2)^0.5=-1+(3)^0.5x2=-1-(1+2)^0.5=-1-(3)^0.5x^2+5x=7x^2+5x-7=0x1=-5/2+(25/4+7)^0.5=-5/2+(53)^0.5/2=(-5+(53)^0.5)/2x2=-5/2-(25/4+7)^0.5=-5/2-(53)^0.5/2=(-5-(53)^0.5)/23x^2+5*(2x+1)=03x^2+10x+5=0x1=(-10+(100-60)^0.5)/6=(-10+(40)^0.5)/6=(-5+(10)^0.5)/3x2=(-10-(100-60)^0.5)/6=(-10-(40)^0.5)/6=(-5-(10)^0.5)/3(2^0.5)x^2+4*(3^0.5)x-2*(2^0.5)=0x^2+4*((3/2)^0.5)x-2=0x1=-2*((3/2)^0.5)+(2*((3/2)^0.5)^2+2)^0.5=(-6^0.5)+(6+2)^0.5=(-3^0.5+3)*2^0.5x2=-2*((3/2)^0.5)-(2*((3/2)^0.5)^2+2)^0.5=(-6^0.5)-(6+2)^0.5=(-3^0.5-3)*2^0.5已知方程x平方+kx-6=0的是个根是2,求它的另一个根及k的值x^2+kx-6=0x1=-k/2+(k^2/4+6)^0.5=2x2=-k/2-(k^2/4+6)^0.5-k/2+(k^2/4+6)^0.5=2(k^2/4+6)^0.5=2+k/2k^2/4+6=(2+k/2)^2=4+2k+k^2/44+2k=62k=2k=1x2=-k/2-(k^2/4+6)^0.5=-1/2-(1/4+6)^0.5=-1/2-5/2=-3
老师没教吗？如果方程有两个有理根x1,x2的话，即x1,x2是方程aX^(2)+bX+C=0 的解，就有x1+x2=-b/a
,x1*x2=c/a
x平方+2X=2X平方+2X+2/1的平方=4/9(X+2/1)的平房=4/9X+2/1=正负3/2X1=3/2-2/1
X2=负3/2-2/1
呵呵，我也是初三的，没事找题做，嘿嘿
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