& 抛物线的应用知识点 & “已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦...”习题详情
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已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-12，求证：直线AB过x轴上一定点．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-1/2，求证：直线AB过x轴上一定点．”的分析与解答如下所示：
（Ⅰ）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得抛物线C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，可求直线方程，即可得出结论．
（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），所以p2=1，p=2．得到抛物线方程为y2=4x．----------------------------------（4分）（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A(t24，t)，B(t24，-t)因为直线OA，OB的斜率之积为-12，所以tt24-tt24=-12，化简得t2=32．所以（8，t），B（8，-t），此时直线AB的方程为x=8．----------------（7分）②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+b，A（xA，yA），B（xB，yB）联立方程{y2=4xy=kx+b，化简得ky2-4y+4b=0．------------------（9分）根据韦达定理得到yAyB=4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为-12，所以得到yAxAyBxB=-12，即xAxB+2yAyB=0．--------------------（11分）得到yA24yB24+2yAyB=0，化简得到yAyB=0（舍）或yAyB=-32．--------------------（12分）又因为yAyB=4bk=-32，b=-8k，所以y=kx-8k，即y=k（x-8）．综上所述，直线AB过定点（8，0）．-------------------------（14分）
本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
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已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-1/2，求证：直线AB过x轴上一定点．...
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经过分析，习题“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-1/2，求证：直线AB过x轴上一定点．”主要考察你对“抛物线的应用”
等考点的理解。
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抛物线的应用
抛物线的应用．
与“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-1/2，求证：直线AB过x轴上一定点．”相似的题目：
已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为&&&&．
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．（1）求的值；（2）设，当三角形OAB的面积S∈[2，]时，求λ的取值范围．&&&&
设抛物线y2=2x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=&&&&．&&&&
“已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦...”的最新评论
该知识点好题
1如图，l1，l2是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2&km、4km，N到L1、L2的距离分别是3km、9km．（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程．（2）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于√6km．求此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）
2已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为-12，求证：直线AB过x轴上一定点．
3一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形的隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车蓬距离地面的高度应小于（　　）
该知识点易错题
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＞＞＞已知抛物线D的顶点是椭圆Q：x24+y23=1的中心O，焦点与椭圆Q的右焦..
已知抛物线D的顶点是椭圆Q：x24+y23=1的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线D上的两个动点，且|OA+OB|=|OA-OB|（Ⅰ）求抛物线D的方程及y1y2的值；（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；（Ⅲ）求直线y=12x与曲线E的最近距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px由a2-b2=4-3=1=>c=1．∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线方程为y2=4x（2分）∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，所以：y12=4x1，y22=4x2，∴（y1y2）2=16x1x2．∵|OA+OB|=|OA-OB|& ∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．∴(y1y2)216+y1y2=0=>y1y2(y1y216+1)=0∵y1y2≠0∴y1y2=-16．（Ⅱ）∵|OA+OB|=|OA-OB|∴OA⊥OB，设OA：y=kx，OB：y=-1kx由y=kxy2=4x=>A（4k2，4k）．同理可得B（4k2，-4k）设AB的中点为（x，y），则由x=2k2+2k&2y=2k-2k消去k，得y2=2x-8．（10分）（Ⅲ）设与直线y=12x平行的直线x-2y+m=0．由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切由y2=2x-8x-2y+m=0消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．所以△=16-4（2m+8）=0=>m=-2∴直线y=12x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线y=12x与曲线E的最近距离．所以所求距离为：d=|0-(-2)|12+(-2)2=255
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线D的顶点是椭圆Q：x24+y23=1的中心O，焦点与椭圆Q的右焦..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
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750328853240468785471566620032618290当前位置：
＞＞＞已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴..
已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）抛物线y2=2px的准线x=-p2，于是，4+p2=5，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）．又∵F（1，0），∴kFA=43．又MN⊥FA，∴kMN=-34，则FA的方程为y=43（x-1），MN的方程为y-2=-34x，解方程组y-2=-34xy=43(x-1)得&x=85y=45∴N(85，45)．
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圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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与“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴..”考查相似的试题有：
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2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）：专题14 椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题（原卷版）
2016届高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）：专题14 椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题（原卷版）
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点M是y²=2px（p＞0）上的动点,F为抛物线的焦点,A（3,1）为抛物线内一定点,|MA|+|MF|的最小值是4,1.求p2.已知L：x=m+ty（m＞0）与抛物线交于P、Q两个不同点,|PQ|=4,求△OPQ的面积的最大值,及此时的直线L.
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1过M做准线x=-p/2的垂线垂足为M1过A做准线x=-p/2的垂线垂足为A1 则|MM1|=|MF|∴|MA|+|MF|=|MM1|+|MA|≥|AA1|=3+p/2∵|MA|+|MF|的最小值是4,∴3+p/2=4 ∴p=22x=m+ty与 y²=4x 消去x得：y²=4m+4ty,y²-4ty-4m=0∵m>0,∴Δ>0设P（x1,y1) ,Q (x2,y2)∴ y1+y2=4t,y1y2=-4m∴|PQ|=√(1+t²)×√(y1-y2)²=√(1+t²)×√[(4t)²+16m]=4√(1+t²)×√(t²+m)=4∴(1+t²)(t²+m)=1 m=1/（1+t²）-t²,d=3/√（1+t²）,∴d=【1/（1+t²）-t²】/√(1+tˆ2),设√（1+t²）=r,则r≥1,t²=r²-1,m=1/r²-r²+1,∴d=1/r³-r+1/r,设函数f（r）,为递减函数,所以0＜f（r）≤1,所以r=1,t=0,m=1,是d最小=1,S最小=2,∴x=1
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