（2005o滨州）（Ⅰ）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：BE=DF．
（Ⅱ）请写出使如图所示的四边形ABCD为平行四边形的条件（例如，填：AB∥CD且AD∥BC．在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面的横线上．）
（1）：∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC；
（2）：AB=CD且AD=BC；
（3）：OA=OC且OD=OB；
（4）：AB∥CD且∠DAB=∠DCB．
证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又∵OB=OD，
∴△BEO≌△DFO，
（Ⅱ）（1）∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）；
（2）AB=CD且AD=BC（或两组对边分别相等）；
（3）OA=OC且OD=OB（或O是AC和BD的中点；或AC与BD互相平分；或对角线互相平分）；
（4）AD∥BC且AD=BC（或AB∥DC且AB=DC；或一组对边平行且相等）；AB∥CD且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等）．
（1）运用平行四边形的性质得到相关的线段、角相等即可；
（2）熟悉平行四边形的判定方法．教师讲解错误
错误详细描述：
已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是BD上的两点.（1）当∠AEB＝∠CFD＝90°时，AE＝CF吗？此时四边形AECF是平行四边形吗？请证明你的结论；（2）当∠AEB＝∠CFD≠90°时，四边形AECF是平行四边形吗？请证明你的结论；（3）当BE＝DF时，四边形AECF是平行四边形吗？请证明你的结论.
【思路分析】
(1) 根据已知条件，可证明AE与CF平行且相等．（2）首先证明△ABE≌△CDF可得BE=DF，再根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再加上条件BE=DF，可得EO=FO，进而可证出四边形AECF是平行四边形；（3）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再加上条件BE=DF，可得EO=FO，进而可证出四边形AECF是平行四边形.
【解析过程】
(1) AE=CF, AECF是平行四边形
理由如下：在平行四边形ABCD中，∵AE，CF分别为△ABD与△BCD的高，∴AE=CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDF=∠ABE，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形；
(1) AE=CF, AECF是平行四边形
理由如下：在平行四边形ABCD中，∵AE，CF分别为△ABD与△BCD的高，∴AE=CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．（2）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDF=∠ABE，AB=CD，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∵BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形；
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
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京ICP备号 京公网安备如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4，点M为△ABD的重心 （_百度知道
AB∥CD∠1=∠4∠1=∠2=∠3=∠4AB=BC=CD=DA四边形ABCD为菱形AO=OC,BO=ODAM：CM=(2AO/3)：(AO/3+OC)=1：2
可以详细一点
AB∥CD∠1=∠4∠1=∠2=∠3=∠4AB=BC=CD=DA四边形ABCD为菱形AO=OC,BO=ODAM：CM=(2AO/3)：(AO/3+OC)=1：2
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