第十四章 偏微分方程 物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需 要和一些数学学科（如泛函分析计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展使它 形成一门内容十分丰富的数学学科. 本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在②阶方程 中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义介绍典型 椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解格林方法,黎曼方法,势位 方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法. 1 § 偏微分方程的一般概念与定解问题 [偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式 不止一个就称为偏微汾方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或 方程组的阶数. [ u D 方程的解与积分曲面] 设函数 在区域 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如 u D u D 果将 代入方程后能使它在区域 内成为恒等式，就称 为方程在区域 中的解或称正规 u u x (x , , x , ) L ( , u, x , x , )x L 解. 1 2 n 在n+1维空间 1 2 n 中是一曲面，称它為方程的积分曲面. [ 齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是 线性的方程称为线性偏微分方程.如 ?u ?u ( ) ( ) ( ) ( ) a x y , bcx+xy=+y u, , f x y , ?x ?y 就是线性方程.在线性方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项 f (x,y). ，如上式的 若 自由项不为零称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. [拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程对于未知函数的最高阶偏导数是线性的， 称它为拟线性方程.如 2 2 2 ? u ? u ? u ?u ?u