2014年高考数学双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题_经典资料(有答案)_中华文本库
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2014年双曲线的最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题
双曲线的最值问题
已知点M(?2，动点P满足条件|PM|?|PN|?22，记动点P的轨迹0)，N(2，0)，
(1)求W的方程；
(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求?的最小值．
由PM－PN?P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
实半轴长a?，半焦距 c=2
，故虚半轴长b??，从而W的方程为x2y2
(2)方法一：分两种情况进行讨论，设A，B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)．当AB?x轴时，x1?x2，y1??y2，从而??x1x2?y1y2?x12?y12?2；当AB不与x垂直时，设直线AB的方程为y?kx?m，与W的方程联立，消去y得(1?k)x?2kmx?m?2?0
O?A222，故2kmm2?2x1?x2?，x1x2?1?k21?k2，所以4O2?2，又x1x2?0，综上所述，?取?k2?1?0，???2，k?1
设A、B的坐标分别为 得最小值2． 方法二： (x1，y1)、(x2，y2)， 则
2)．令si?xi?yi，ti?xi?yi(i?1，2)，于是xi2?yi2?(xi?yi)(xi?yi)?2(i?1，
siti?2，且si?0，ti?0(i?1，2)，所以，OA?OB?x1x2?y1y2?s1s2?t1t2?
?x1?x2时不等式取等号，所以OA?OB的最小?2，当且仅当s1s2?t1t2，即??y1??y2
方法三：设A、B的坐标分别为 (x1，y1)、 则OA?OB?x1x2?y1y2，(x2，y2)，
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当x=1时，|x-1|
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有极小值; 在点
有极大值; 在点
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说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
例如, 定理1
函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值
但驻点不一定是极值点. 有驻点
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当 A 0 时取极大值; A 0 时取极小值. 2
当 证明见 第九节 P65
时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动
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处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动
处 不是极值; 在点 ?3,2
处 为极大值. 在点 1,2
处 不是极值; 机动
例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然
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不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点 0,0
可能为 机动
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