最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
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最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
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文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
2012年全国各地中考数学真题分类汇编第24章 直角三角形与勾股定理一.1．（;广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）　　A． 　　B． 　　C．　　D．
考点：&勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积。专题：&。分析：&根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．解答：&解：根据题意画出相应的图形，如图所示：&在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB= =15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD= = = ，则点C到AB的距离是 ．故选A点评：&此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2.（2012毕节）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（&& ）&&&&&&&&&& A.2 &&&&B.2&&&&&&&&&&& C.4 &&&&&&&&& D. 4 &解析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，在△BCD中，由勾股定理得：CB= ，在△ABC中，由勾股定理得：AC= = ，故选A．点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
3.（2012湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（&&&&&&& ）A.20&& B.10&& C.5&& D. & 【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD= AB= ×10=5.【答案】选：C．【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。
4.（2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（&&& ）&A.10&&& B.&&&& C. 10或&&& D.10或 解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.解答：解：如下图， ， && 故选C．点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．
5. （;荆门）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）&A．&&&&&& B．&&&&&& C．&&&&&& D．& 解析：根据勾股定理，AB= =2 ，BC= = ，AC= = ，所以△ABC的三边之比为 ：2 ： =1：2： ，A、三角形的三边分别为2， = ， =3 ，三边之比为2： ：3 = ： ：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4， =2 ，三边之比为2：4：2 =1：2： ，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3， = ，三边之比为2：3： ，故本选项错误；D、三角形的三边分别为 = ， = ，4，三边之比为 ： ：4，故本选项错误．故选B．
6. ( 2012巴中)如图3，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(&& )A.AB=AC&&&&&&&&&&&&& B.∠BAC=900C.BD=AC&&&&&&&&&&&&& D.∠B=450【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边”&&&&&&& 可判定△ABD≌△ACD，其它条件均不能使△ABD≌△ACD，故选A【答案】A【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.
二.题7.( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c2-a2-b2 +|a-b|=0,则△ABC的形状为______【解析】由关系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.【答案】等腰直角三角形【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用.
8（2012泸州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC=&&&&&&&& .解析：在直角三角形中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，所以BC= AB= ×6=3（cm）.答案：3cm.点评：30°所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形性质，要注意前提条件是直角三角形.
9.（2012青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为&&&&&&&&&& cm.【解析】将圆柱展开，AB= ．【答案】15 【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.&
10．（2012河北）如图7， 相交于点 ， 于点 ，若 ，则 等于　　　．&& & 对顶角相等，直角三角形两锐角互余& 观察图形得知 与 是对顶角， ，又在 中，两锐角互余，
11.（2012南州）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（&&& ）&A、（2，0）&&&&&&& B、（ ）&&& C、（ ）&&& D、（ ）解析：在 中， ，所以 ，所以 ，故 .答案：C.点评：本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度较小.
12．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=&&&&& cm．&考点：直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质。解答：解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中， ，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=ACCE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=52=3cm．故答案为：3．
13.（2012陕西）如图，从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，则这束光从点 到点 所经过路径的长为&&&&&&&& ．【解析】设这一束光与 轴交与点 ，作点 关于 轴的对称点 ，过 作 轴于点 ．由反射的性质，知 这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知 ．则 ．由题意得 ， ，由勾股定理，得 ．所以 ．【答案】 【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、轴对称性质以及勾股定理等.难度中等&
14．（;资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是　10或8　．
考点：&三角形的外接圆与外心；勾股定理。专题：&探究型。分析：&直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．解答：&解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= =20，因此这个三角形的外接圆半径为10．综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．故答案为：10或8．点评：&本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
15．（2012无锡） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　3　cm．&考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点，∴AD=BD=CD=AB=4cm；又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，∴GH∥CD，GD=1cm，∴ = ，即 = ，解得，GH=3cm；故答案是：3．&点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．
16.(2012黔西南州)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．&【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2．在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2DDE2=23．又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=43．在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213．因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213．【答案】10＋213．【点评】本题是一个几何的综合，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决．
三.解答题17．（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．&考点：作图―相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。解答：解：（1）根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5；显然有AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；（2）△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5，DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ．&= = = ，∴△ABC∽△DEF．（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，AB=2 ，AC= ，BC=5，∴ = = = ，∴，△ABC∽△P2P4 P5．&
2011年全国各地中考数学真题分类汇编第24章&& 直角三角形与勾股定理一、1. （2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（&&&&& ）A.9.1&&&&&&&&&& B.9.5&&&&&&&&&&&& C.3.1&&&&&&&&&&&&&&& D.3.5【答案】C2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（&&&& ）A2m&&&&&& B.3m C.6m&&&&&& D.9m【答案】C3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A． 100&&&& B． 180&&&&& C． 220&&&&& D． 260【答案】Ｃ4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A.& 3cm&&&&&&&& B.& 6cm&&&&&&&&&& C.& 3 cm&&& D. 6 cm&【答案】D5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是&（第7题图）&&& （A）3.5&&&&&&&&& （B）4.2&&&&&&&&& （C）5.8&&&&&&&&& （D）7&&& 【答案】D6. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（&&&& ）A． &&&&&& B．2&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&&&&& &D．4 &【答案】B7. 8. 二、题1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形．【答案】① ④2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．& 若S1，S2，S3＝10，则S2的值是&&&&& ．&【答案】 3. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝&&&& 米时,有DC＝AE＋BC.& && 【答案】： 4. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 ”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 。【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足 ，那么这个三角形是直角三角形5. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _________cm．&【答案】56. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB＝&& ▲&&& ．【答案】157. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是&&&&&&&&&& ．&【答案】6cm28. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积是________cm2.& &【答案】 9. 10．三、解答题1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+ =16+ 2. （2011四川绵阳23，12）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。132＞a＞5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.&& 1．&如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是&&&&&&&&&&&&&&&&&& 证明:2．& 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是&&&&&&&&&&&&&&&&&& 证明3．&如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是&&&&&&&&&&&&&&&&&& (写出关系式,不必证明)5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。&【答案】&解：∵AD平分∠CAD&&&& ∴∠CAD=∠BAD∵DE垂直平分AB∴AD=BD,∠B=∠BAD∴∠CAD=∠BAD=∠B∵在RtΔABC中，∠C=90&∴∠CAD+∠DAE+∠B=90&∴∠B=30&6. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段AD∥BC且使AD =BC，连接CD；（2）线段AC的长为&&&&&& ，CD的长为&&&&& ，AD的长为&&&&&&& ；（3）△ACD为&&&&& 三角形，四边形ABCD的面积为&&&&& ；（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是&&&& ．&解：（1）如图；&&&&& ……………………………1分&（2） ， ，5；&&&&&& ………………4分（3）直角，10；&&&&&&& ……………………6分（4） ．&&&&&&& ……………………………8分 2010年全国各地中考数学真题分类汇编第24章 直角三角形与勾股定理&& 一、选择题1．（2010 浙江台州市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是(▲)&A．2.5&&&&&&&& B．3&&&&&&&& C．4&&&&&&&&& D．5 【答案】A 2．（2010山东临沂）如图， 和 都是边长为4的等边三角形，点 、 、 在同一条直线上，连接 ，则 的长为&（A） （B） （C） （D） 【答案】D 3．（2010 四川泸州）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（&&&& ）A．锐角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．直角三角形&&&&&&&&& C．& 钝角三角形&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．等腰直角三角形【答案】B 4．（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，&&&&&&&& 现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（A）4 cm&&&&& （B）5 cm&&&& （C）6 cm&&&& （D）10 cm
【答案】B5．（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1， 的三边 的大小关系式：&&&& （A）&&&&&&& （B）&&& （C）&&&&&&& （D）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 图1&【答案】C 6．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（&&& ）A.1，2，3&&&& B.2，3，4&&&&& C.3，4，5&&&& D.4，5，6【答案】C 二、填空题1．（10湖南益阳）如图4，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE＝　　　．&【答案】4
2．（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是&&&&&&&& ．&【答案】 3．（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于&&& ．&【答案】 4．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC的长为&&&&&&&&&&& ．&【答案】25．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD= ，则AB=&&&&&&&&& ．&【答案】126．（2010河南）如图，Rt△ABC中，∠C= ,& ∠ABC= ，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&& .&【答案】2Q AD & 37．（2010四川乐山）如图（4），在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.&【答案】140°8．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2&，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．&图（6）请解答下列问题：（1）S1＝__________；（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn＝&&&&&&__________．【答案】1＋38；(1＋38)•(34)n -1(n为整数)9．（2010 江苏镇江）如图， ，DE过点C，且DE//AB，若 ，则∠A=&&&&& ，∠B=&&&&&& .&【答案】 10．（2010 广西玉林、防城港）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A＝ ，AC＝10，则此时两直角顶点C、 间的距离是&&&&&&&& 。&【答案】511．（2010 福建泉州南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中&&&&&&& 度．&【答案】12012．（2010 广西钦州市）一个承重架的结构如图所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ ▲_°．
&【答案】6513．（2010 山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段__________条.&【答案】8&14．（2010年山西）在 D是AB的中点，CD=4cm，则AB=&&&& cm。【答案】815．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD的长为&&&&&&& 。【答案】4或 或
三、解答题1．（2010浙江杭州） (本小题满分10分) 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上. (1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD = BD，设BD = a，求BC的长. &【答案】(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，&& ∴ DBA = CAE,又∵& , ∴& △ABD∽△CAE.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& --- 4分(2)& ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，
(第22题)&∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，&&&&&&&&&&&&&& ∴D =90°,&&&&&&&&&&&&& 由（1）得 E =D = 90°,& ∵ AE= BD , EC = AD =& BD , AB = 3BD ，∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD + BD )2 + ( BD)2 =& BD2 = 12a2 ,
（第23题）& ∴ BC = a .&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& --- 6分&2．（2010 湖北孝感）（本题满分10分）
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）&&以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以 为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分）
利用图2中的直角梯形，我们可以证明 其证明步骤如下：&=&&&&&& 。又∵在直角梯形ABCD中有BC&&&& AD（填大小关系），即&&&&&& ，&（3分）【答案】如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 &&&…………3分&说明：只有文字语言，没有符号语言给2分。
&≌ 又 &&& &…………5分&&整理，得&& &&…………7分
&&&…………10分3．（2010 山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5M，求AB的长．&【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线∴∠ABD＝∠CBD＝30°∴AD＝DB又∵Rt△CBD中，CD＝5M∴BD＝10M∴BC＝ M，AC＝2BC＝ M 文章来 源莲山课件 w ww.5 Y
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判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形。（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=，b=1，c=。
题型：计算题难度：中档来源：同步题
解：（1）是；（2）是；（3）不是。
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据魔方格专家权威分析，试题“判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形。（1）a=7，b=24，..”主要考查你对&&勾股定理的逆定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2&c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2&c2，则△ABC是钝角三角形。由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。 勾股定理的来源：毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。　常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
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