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排列组合问题的解题技巧
上传: 陈和平 &&&&更新时间： 8:17:51
排列组合问题的解题技巧　　　 排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现&重复&或&遗漏&的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:　　 　　1、相邻问题捆绑法　　 　　例1　6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。　　 　　a、720　　b、360　　c、240　　d、120　　 　　解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　种排法，与其余四人进行全排列有　 　　　种排法，由乘法原理可知，共有　 　　　　　　　&=240种不同排法，故选（c）。　　 　　点评：从上述解法可以看出，所谓&捆绑法&，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以&某些元素必须相邻&为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素&捆&成一个整体，视作一个&大&元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。　　 　　训练：&&& 3名男教师，3名女教师，6名学生站成一排，要求男教师和女教师必须站在一起，且教师不站在两端，则一共有多少种站法？　　 2、相隔问题插空法　　 　　例2　排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单　　 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？　　 （2）舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　 解:(1)先排歌唱节目有　 　　　种，歌唱节目及两端有6个空位，从这6个空位中选4个放入舞蹈节目，共有　 　　　种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有　 　　　种。　　 (3)先排舞蹈节目有　 　　　种排法，在舞蹈节目和两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有　 　　　种。　　 训练：若将例题当中的&4个舞蹈节目&改为&5个舞蹈节目&，求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种？　　 点评：从解题过程可以看出，&插&的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时，可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素&插入&到它们的间隙及两端位置，从而保证它们不相邻。　　 　3、限定问题优限法　　 　　例3　由数字0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的四位偶数？　　 解：因所求是偶数，所以个位必须是0，2，4中的任何一个，又首位不能为0，所以分个位为0时有　 　　　种，个位不为0时有　 　　　种。所以共有　 　　　种。　　 点评：所谓&优限法&，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑，本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求，首位数字又不能为0，故优先考虑。　　 训练 本例条件不变，问题改为&求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？&，应如何求解？　　 4、多元问题分类法　　 例4& 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?　　 解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设　 　　　,要构成三角形,必有　 　　　则分类讨论如下：　　 当y为11时，x可以为：1,2,3,&,11,可有11个三角形；&&& &　　 当y为10时，x可以为：2,3,4,&,10,可有9个三角形；&&&& 　　 　　　　　　当y为9时，x可以为：3,4,5,&,9,可有7个三角形；&&&& 　　 当y为8时，x可以为：4,5,6,7,8,可有5个三角形；&&&& 　　 当y为7时，x可以为：5,6,7,可有3个三角形；&&&& 　　 当y为6时，x可以为：6,只有1个三角形；&&&& 　　 所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。　　 点评：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。　　 训练& 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?　　 5、标号排位问题分步法　　 && 例5& 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（&&& ）　　 && a. 6种&&&&& b. 9种&&&&& c. 11种& d. 23种　　 && 解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有　 　　　种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有　 　　　种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3&3&1=9种填法，而选b。　　 点评：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。　　 训练: 将标有1,2,&10的10个小球投入同样标有1,2,&10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?　　 6 自由选择问题住店法　　 例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（&&&&& ）　　 a 　　　　&&&&&b& 　　　　&&&&&&&c 　　　　&&&&&&d& 　　　　　　 解：6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种，所以均有5种选法，故总共有　 　　　种，选 a 。　　 点评：自由选择问题可以看成&顾客住店&问题。每名顾客(元素)都可以任意选择旅店(位置)，因而每个元素都有位置数种选法，所以总方法为　 　　　种。　　 训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?　　 7 分配问题隔板法　　 例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?　　 解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计　 　　　种.　　 点评：&隔板法&所解决的问题有以下特征：（1）被分的元素不加以区别；（2）被分的元素的个数不小于分得的组数；（3）每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式：将　 　　　个相同元素分成　 　　　份　 　　　时，有　 　　　种分配方法　　 训练: 将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种?　　 8 定序问题缩倍法　　 　　例8　a、b、c、d、e五个人并排站成一排，如果b必须站在a的右边（a、b可以不相邻），那么不同的排法的种数是（）　　 　　（a）24　　（b）60　　（c）90　　（d）120　　 　　解：b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 60种，故选（b）。　　 　　点评：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。　　 训练: 从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?　　 9 有序分配问题逐分法　　 例9　有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?　　 (1)平均分给甲、乙、丙三人；　　 (2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；　　 解：（1）每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有　 　　　种，再由乙在余下的书中取2本，取法有　 　　　种，最后由丙取余下的2本，有　 　　　种取法，所有取法为　 　　　种。　　 （2）选取方法同（1），所以共有取法数为　 　　　种。　　 　点评：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步分组法求解。　　 训练：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们能组成两个翻译小组，其中4名翻译英语，另外4名翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？　　 10 匹配问题配对法 　　 例10 从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？　　 解：先在6双鞋中任取一双有　 　　　种取法，再在余下的5双中任取两双，每双中各取一只有　 　　　种取法，所以总取法有　 　　　种。　　 点评：&配对法&就是将两个相关元素之间建立一一对应关系，如鞋子配对，钥匙和锁配对，比赛选手和比赛场次配对等，利用这些对应关系，使得比较杂乱的问题简单化，解答思路明晰化，能够将难度分步化解，提升解答准确度。　　 训练：有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠军?　　 11 选排问题先选后排法　　 && 例11& 有6名男医生，4名女医生，从中选3名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区a，共有多少种不同的分派方法？　　 解：分两类：　　 第一类：甲被选，共有　 　　　种分派方法；　　 第二类：甲未被选，共有　 　　　种分派方法；　　 所以共有　 　　　种分派方法。　　 && 点评：本题中不仅要选出5名医生（元素），还要求分配到5个地区（空位），因此是一道&既选又排&的排列组合综合问题，解决这类问题的方法是&先选后排&，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。　　 训练:从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数，试问：　　 （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？　　 （2）上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个？　　 （3）（1）中的七位数当中，偶数排在一起奇数也排在一起的有几个？　　 12、至少问题间接法　　 && 例12 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长当选的选法有多少种？　　 解：在选取的人员当中，总的选法有　 　　　种，不包含队长在内的有　 　　　，所以总的选法有　 　　　种。 　　 训练： 从甲、乙等10名同学当中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有多少种？　　 点评：含&至多&或&至少&的排列组合问题，通常用分类法,但是往往分类较多,讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。　　 13多排问题单排法　　 　　例13　两排座位，第1排3个座位，第2排5个座位。若8名学生入座（每人1个座位），则不同的座法有多少种？　　 解：因8名学生可以在前后两排座位中随意入座，再无其他条件，所以两排座位可以看成一排来处理，故不同的座法有　 　　　种。　　 　　点评：把元素排成几排的问题，限定条件若不影响问题归结为一排考虑，那么就将多排问题化为一排，再分段处理。　　 训练：12名同学合影，站成前排4人，后排8人。　　 （1）总共有多少种不同的站法？　　 （2）摄影师要从后排8人中抽调2人到前排，其他人顺序不变，总共有多少种调整方法？ 　　 14交叉问题集合法　　 　　例14　从6名运动员中选出4名参加4&100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？　　 　　解：设全集i={6人中任取4人参赛的排列}，a={甲跑第一棒的排列}，b={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有：　 　　　（种）。　　 　　说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：　 　　　来求解。　　 训练：从7名运动员当中选出4人参加4&100米接力，求满足下列条件的安排方法数：（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。　　 15 多排问题剔重法　　 例15 用5个数字0，1，1，2，2，组成的五位数总共有多少个？　　 解：特殊元素0先排，不能排在万位，有　 　　　种排法，1与2共有　 　　　种排法，剔除掉11与22的重复排列，共得五位数有　 　　　个。　　 点评：元素在排列过程当中出现重复排列称之为多排，所以在总排列数当中应该剔除掉重复排列。　　 训练：从1，2，3，4，&，100这100个自然数当中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法有多少种？　　 由于排列组合问题考察思维灵活，因而这里所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。　　
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求教一个含指数函数定积分问题
如下形式定积分数值解法如何求：
{\int_{0}^{\infty}\frac{b-c}{a}e^{-\frac{a}{2}(g-\frac{b-c}{a})^2}dg}
where a, b, c are constant.
变元替换，写成k*Integrate的形式
/input/?i=Integrate%5Bexp%28-x%5E2%29%2C+%7Bx%2C+0%2C+inf%7D%5D&dataset=&equal=Submit 可以用概率积分解决，即标准正态分布的积分。 调用matlab命令如下： syms a b c x
&& d=(b-c)/a;
&& y=d*exp(-a/2*(x-d)^2);
&& y1=int(y,x,0,inf)
即可 这个是高等数学二的下册上用二重积分来算的啦！ 得到一个定积分的平方倍，然后用夹逼准则来得到的，好像是二分之根号二然后乘以与abc 有关的一个常数项 见附件
无标题.png 求一个定积分：
其中a,b,c都是常数,&&*是乘号
var cpro_id = 'u1216994';
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五年级数学求组合图形的面积还有什么方法？
这一节课教材的内容呈现分为以下几部分：
l&&情境与问题：情境是一个客厅的形状，任务是先让学生估计一下、再算一算这个客厅的面积。
l&&给出的提示：“把这个图形转化成已学过的图形，就容易计算出它的面积了。”
l&&转化的方法：有三个，两个是分割图形，一个是补充图形。
l&&预留的问题是：“还有别的方法吗？”
l&&教学方法，建议先由学生自己解决这个问题。
这一节的展开顺序与新世纪小学数学教材其他内容的展开风格是一致的。也是采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”，先是提出问题，基于一个现实的情境，从中提出数学问题，再让学生想办法解决这个问题，通过讨论、交流不同有方法，使问题得以解决，从而找到解决这类问题的方法。
不过从教材的呈现看，教师在教学中要补充一些内容，做好适当的引导，如：在学生各自给出不同的方法后，老师要引导学生交流自己的方法，教师要在同学们交流的基础上，对这些方法预以总结、点评、解释，使之得以升华。然后再让学生动手实际算一算，当然，如果学生在探索算法、交流方法时，已经算出结果了，教师也不必刻意回避，可以再出几个变式题做一个练习。
那么这一节课在数学上有什么可以点评的地方呢？孙晓天老师曾说过，在数学中等量关系有两类，一类是关于数的，是等式的性质，反映的是数的守恒；一类是关于形的，出入相补的原理，体现的是面积的守恒。组合图形正是反映了这第二个重要的关系。这个关系我们可以分为三句话：把已有的图形分割为几个部分，在已有的图形上补充一部分，在原有的图形上割下一部分补在另一处。
上面的三句话对应下面的三个等式：
l& &已有图形的面积＝分割后各部分图形面积之和
l& &已有图形的面积＝补充后的图形面积－补充的图形的面积
l& &移补前的图形的面积＝移补后的图形的面积
教材中给出了两种方法，另一种方法可留待学生去自己发现。当然，从更高位的思想上看，他们都体现的是“转化”的思想，把不规则的图形转化为规则图形，把陌生的问题转化为熟悉的问题。&&
在上面的过程中，由情境提出问题，然后由学生自主探索方法，在交流争辩中找到解决问题的方案，是不能省略的重要环节。我们一直在呼吁要培养学生的创新能力。那么创新能力中什么是重要的？应该是判断能力。面对一个情境，我们需要做出一个判断，从中能否提出有价值的问题？这个问题是不是一个新的问题？面对问题我们也要判断，这个问题能不能解？需要什么样的条件？面对众多的方案，我们还需要做出判断，哪个方案是可取的？这些方案有什么共性的地方？哪个是创新的方案？如果不能做出对与不对，好与不好的判断，何谈创新？而上面的几个环节都是可以培养学生判断能力的宝贵沃土，我们不能不珍惜。
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