请教一个数列极限的问题
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请教一个数列极限的问题
{u(n)}是一个数列，若对于任意n恒有u(n)&u(n+1)&0，则lim n(u(n)-u(n+1))=0，对不对？如果不对请给出具体的反例。
另外lim n(u(n)-u(n+1))是否一定存在？（假设无穷大也算是存在的一种，而类似v(n)=(-1)^n这类震荡的情况视为不存在），如果有这种可能请给出具体的例子。
Keep it simple,but not too simple.
看到百度贴吧里一群高中生的数学比我强几百倍，真是汗颜。。。
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本帖最后由
13:53 编辑
单调递减而且有下界肯定收敛啊，收敛肯定有极限啊，所以lim（un）==lim（un+1）所以un-un+1可以构造成n^k(k&0)，当k&-1时，极限=0，当0&k&-1时，极限=正无穷。
而且n和un-un+1都是正的，不可能出现交错的问题。
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& &谢谢解答。不过我后来问了，有极限不存在的可能（我举(-1)^n只是为了说明极限不存在不包括无穷大）
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an好像不满足你说的un&un+1，另外an的求和公式是怎么推出来的？我把n等于2带入好像结果不对，还有我觉得只要满足你说的条件的话，n(un-un+1)的极限一定是确定的(不是0就是正无穷)，我也想知道到底有没有反例。
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本帖最后由 数学憎恨者 于
18:22 编辑
& &你看清楚，an要通过一系列变换才能变成un，而不是把an直接作为un！！！我举的这个例子满足un&un+1&0，但lim n(un-un+1)=lim nan不存在。
& &另外n=2代入是什么意思？显然n-&∞的时候那个式子才有意义，你取有限个的话，看起来当然会少了一些项。n=k^2时an=(1/k)^2，把所有这些项单独提出来凑成一个级数，正好是1+(1/2)^2+(1/3)^2+...+(1/k)^2，你取有限个n，那么k也有限，显然由于n&k，项数不相等你才会觉得不成立。但n-&∞时必有k-&∞，此时∑(1/n)^2和∑(1/k)^2还有任何区别么？？？所以这个部分就是∑(1/n)^2。
& &把n=k^2的项全部提出来之后，原来的级数就有了空缺，可以先加上∑(1/k)^4填充成另一个∑(1/n)^2，再减去∑(1/k)^4即∑(1/n)^4（同理n-&∞时没有区别）。所以最终就是2∑(1/n)^2-∑(1/n)^4。
&&结论就是un&un+1&0时，lim n(un-un+1)要么不存在，要么为0，绝对不可能是非0常数或者∞。
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本帖最后由 数学憎恨者 于
18:31 编辑
最重要是搞清楚n-&∞和n有限的区别！！！
∑an=1+(1/2)^2+(1/3)^2+1/4+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+1/9+...
=((1/2)^2+(1/3)^2+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+...)+(1+1/4+1/9+...)
=((1/2)^2+(1/3)^2+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+...)+(1+(1/2)^2+(1/3)^2+...)
=((1/2)^2+(1/3)^2+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+...)+∑(1/n)^2& &（因为n-&∞且n=k^2，所以k-&∞，则∑(1/k)^2=∑(1/n)^2）
而其中(1/2)^2+(1/3)^2+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+...
=(1+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+(1/6)^2+(1/7)^2+(1/8)^2+(1/9)^2+...)-(1+(1/4)^2+(1/9)^2+...)
=∑(1/n)^2-(1+(1/2)^4+(1/3)^4+...)
=∑(1/n)^2-∑(1/n)^4& &（因为n-&∞，同理）
所以∑an=(∑(1/n)^2)+(∑(1/n)^2-∑(1/n)^4)=2∑(1/n)^2-∑(1/n)^4
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本帖最后由
19:38 编辑
& &你看清楚，an要通过一系列变换才能变成un，而不是把an直接作为un！！！我举的这个 ...
数学憎恨者 发表于
& &你解释这么多，我只想问两个问题：1、由an通过一系列变换成的那个un到底是啥？那个变换又是啥？
2、你从Ean级数里抽出无数个项之后求出两个级数再求和，这种运算在哪讲的？
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& &1.变换不是给出来了么？3L那幅图你真的看不懂？？？难道哪个是an，哪个是un都看不清？？？还是an变换到un的哪个步骤有疑问？？？
& &2.为什么可以这样拆？很简单，只要证明级数收敛就行了，然后就可以任意拆分。
& &为什么收敛？设an的部分和为Sn，显然Sn单调递增且Sn&∑(1/n)^2+∑(1/k)^2（其中k^2&=n），显然∑(1/n)^2+∑(1/k)^2有上界，所以Sn单调递增且有上界，所以lim Sn存在，即∑an收敛（当然对于这题的证明，甚至只需要证明收敛而不需要求具体值，直接用S表示∑an就行了）
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数学憎恨者
& &我再上传一次图片，要是你还看不懂就当我没说。顺便说一下这个例子是一个高一的学生构造的。。。
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这回看懂了。。。。之前没仔细看
把un-un+1理解为n^（-k）本来就不对
本来以为挺简单的，没想到这么复杂。
哎~~数学真麻烦~~
UID119662&帖子428&积分750&王道威望30 &王道贡献99 &考研年份2012&报考学校四川大学&本科学校四川大学&注册时间&最后登录&
从函数的角度考虑吧，F(x)是一个正值 函数，F（x） 是一个单调递减函数 ;F(x+1)-F(x)=f(seta)；x&seta&x+1;&&这个时候我只需要考虑&&f(seta) 是一个无穷小，或者无穷大的阶数 就可以了啊，&&f&&是F 的导函数
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从函数的角度考虑吧，F(x)是一个正值 函数，F（x） 是一个单调递减函数 ;F(x+1)-F(x)=f(seta)；x&seta&x+1;&&这个时候我只需要考虑&&f(seta) 是一个无穷小，或者无穷大的阶数 就可以了啊，&&f&&是F 的导函数
UID119662&帖子428&积分750&王道威望30 &王道贡献99 &考研年份2012&报考学校四川大学&本科学校四川大学&注册时间&最后登录&
哥们儿不错啊，很能钻研，不过这个对你的考试分数不一定有太大的提升。 我就是个反面教材，提前40分钟做完了卷子，检查了好几遍，答案也基本全算对了，结果考了超低的分数，世事难料啊， 数学这东西看看就行了，别搞的太深，把时间向其它几科分配一些。。。
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本帖最后由 数学憎恨者 于
23:35 编辑
xuzhengyu135
& &其实没有钻研多久，要证明极限要么不存在要么为0是很容易的，但我不确定“不存在&这种情况会不会真的出现。然后我去百度贴吧问了一下，结果一个高一的学生给了这个反例，相当汗颜。。。我看到这个例子就明白了，自己倒没花多少时间
当然构造这个级别的反例远远超出了我的能力范围，所以平时是平时，考试是考试。平时尽可能完全理解，考试尽可能针对题目的弱点，能投机取巧就投机取巧（特别是选择题）
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UID165724&帖子32&积分92&王道威望10 &王道贡献0 &考研年份2013&报考学校&本科学校河北师大&注册时间&最后登录&
可以这样考虑：令a(n)=u(n)-u(n+1)&0
只要正项级数∑an收敛即可；
要举反例只要只要能找出自然数列的子列
n(k)，使na(n)不趋于0，且∑a(n(k))收敛即可，其他项可任取一收敛级数，
LZ的例子中n(k)=k^2,a(n(k))=1/k^2，当然也可取
n(k)=2^k,a(n(k))=1/2^k。
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楼解答程我太明白否更详细点
提问者采纳
-1/2+1/3&0-1/4+1/5&0-1/6+1/7&0直......-1/58+1/59&0-1/60&0
推所于01加于0数 结肯定于1S&1
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