来源： 作者：孟旭东;
任意方向上的方向导数与偏导数之间的关系
对于多元函数的偏导数、方向导数和可微分等基本概念及其内在联系,既是多元函数微分学中的重难点知识,同时也是我们学习与教学过程中容易出现误解和错误的盲点.本文就该问题以二元函数为例来加以阐述,以做到加强理解和灵活掌握的目的.1.定理1:函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x,y的一阶偏导数存在且连续,则在该点处必可微分.2.定理2:函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分,则在该点处沿任意方向的方向导数存在.3.定理3:函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿任意方向的方向导数存在,则在该点处偏导数必存在.证明zl(x0,y0)=lρi→m0=z(x0+Δx,y0+ρΔy)-z(x0,y0).当Δy=0时,有z x(x0,y0)=Δlxi→m0z(x0+Δx,yΔ0)x-z(x0,y0)=lz(x0,y0).同理,xz(x0,y0)=zl(x0,y0)存在.4.z=f(x,y)在点(x0,y0))处偏导数存在,但在该点沿任意方向的方向导数不一定存在.例1函数z=xy(x2+y2)2,x2+y2≠0,0,x2+y2=0在点(0,0)处对x,y的偏导......(本文共计1页)
　　　　　　　
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