关于斐波那契数列的问题_百度知道
关于斐波那契数列的问题
问题来自于一道题目：“人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级，2级，3级，4级，5级，6级，7级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次是1，2，3，5，8，13，21……这就是著名的斐波那契数列，那么小聪上这9级台阶共有几种不同方法？”憨胆封感莩啡凤拾脯浆这道题目的答案很清楚，是55，但是我不知道为什么会排成这种数列呢？最好不要说是先算前几级台阶，然后摸出规律，
不好意思的告诉你 这个问题就是通过前面几个列举发现规律是和斐波那契数列一样的，从而进行计算的。和斐波那契数列有关的数学问题有：1.排列组合.有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个憨胆封感莩啡凤拾脯浆斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。3.求递推数列a(n)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
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设这个数列为{an},他要上到第n即台阶，最后一步可能上1级台阶或2级台阶两种选择，如果最后一步是上1级台阶，则最后一步之前是a（n-1），如果最后一步是上2级台阶，则憨胆封感莩啡凤拾脯浆最后一步之前是a(n-2),所以an=a(n-1)+a(n-2)
1+2=3,2+3=5,3+5=8,8+13=21,依次类推
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出门在外也不愁斐波那契数列_百度百科
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，又称数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n&=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。外文名Fibonacci Sequence所属学科数论
斐波那契数列指的是这样一个 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，，，1，2
自然中的斐波那契数列特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契的发明者，是数学家（Leonardo Fibonacci），
生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是。他被人称作“的”。1202年，他了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了和数学理论的人。他的被的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的地区，列昂纳多因此得以在一个老师的指导下研究数学。他还曾在、、、和等地研究。斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...[1]
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]
显然这是一个递推数列。[1](如上，又称为“比内公式”，是用表示的一个范例。)
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n&=3,n∈N*）方法一：利用特征方程（解法）
线性的为：　　X^2=X+1　　解得　　X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n　　∵F(1)=F(2)=1　　∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1　 　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
方法二：构造1（解法）
设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
=(s^n - r^n)/(s-r）。
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法三：构造2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n&=3），求数列{an}的。
解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法四：母函数法。
对于{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n&2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}有趣的是：这样一个完全是的数列，通项公式却是用来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近0.618）
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.368÷0339886…...
越到后面，这些比值越接近黄金比.a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
则lim[n-&；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n-&；；∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比..从第二项开始，每个项的都比前后两项之积多1，每个项的平方都比前后两项之积少1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是列的本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)斐波那契数列的第n+2项同时也代表了{1,2,...,n}中所有不相邻正的个数。
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏和
21………………………紫宛
34、55、89……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为（源自词，意即叶子的排列）比。多数的比呈现为斐波那契数的比。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近的数值0...…将左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m&=n-1-m)斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个连续的数中有且只有一个被2整除，
每4个连续的数中有且只有一个被3整除，
每5个连续的数中有且只有一个被5整除，
每6个连续的数中有且只有一个被8整除，
每7个连续的数中有且只有一个被13整除，
每8个连续的数中有且只有一个被21整除，
每9个连续的数中有且只有一个被34整除，
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？斐波那契数列的个位数：一个60步的
进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。[1]斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的的头部
这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是0.……的，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。1992年，两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验，证实了在系统保持最低能量的状态下，花朵会以斐波那契数列长出花瓣。[2]三角形的三边关系和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n&2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144&143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道~在FOX热播美剧《》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。斐波那契—卢卡斯数列
数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。
卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n
这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
斐波那契数列F(n)
卢卡斯数列L(n)
类似的数列还有无限多个，我们称之为。
如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。
斐波那契—卢卡斯数列之间的广泛联系
①任意两个或两个以上斐波那契—卢卡斯数列之和或差仍然是斐波那契—卢卡斯数列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
F[1,4]n-F[1,3]n
F[1,4]n+F[1,3]n
②任何一个斐波那契—卢卡斯数列都可以由斐波那契数列的有限项之和获得，如
F[1,1](n-1)
F[1,1](n-1)
黄金特征与孪生斐波那契—卢卡斯数列
斐波那契—卢卡斯数列的另一个共同性质：中间项的平方数与前后两项之积的差的是一个恒值，
斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31
斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近最快，我们称为黄金特征，黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。前两项的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。
而F[1，4]与F[2，5]的黄金特征都是11，是孪生数列。F[2，7]也有孪生数列：F[3，8]。其他前两项互质的斐波那契—卢卡斯数列都是孪生数列，称为孪生斐波那契—卢卡斯数列。
广义斐波那契数列
斐波那契数列的黄金特征1，还让我们联想到佩尔数列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（该类数列的这种称为勾股特征）。
数列Pn的递推规则：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
据此类推到所有根据前两项导出第三项的通用规则：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，称为广义斐波那契数列。
当p=1，q=1时，我们得到斐波那契—卢卡斯数列。
当p=1，q=2时，我们得到佩尔—勾股弦数（跟边长为整数的有关的数列集合）。
当p=2，q=-1时，我们得到等差数列。其中f1=1，f2=2时，我们得到列1，2，3，4…。自然数列的特征就是每个数的平方与前后两数之积的差为1（等差数列的这种差值称为）。
具有类似黄金特征、勾股特征、自然特征的广义——斐波那契数列p=±1。
当f1=1，f2=2，p=2，q=0时，我们得到1，2，4，8，16……有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。
类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的
由可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。斐波那契数列又因数学家以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是中世纪数学家斐波那契在&算盘全书&中提出的，这个的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）对于斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定义
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
对于以下乘法
F(n+1) = 11 F(n)
F(n) 10 F(n-1)
它的运算就是右边的矩阵 11乘以矩阵 F(n) 得到：
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
可见该矩阵的乘法完全符合斐波那契数列的定义
设矩阵A=1 1 迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*1
1 0 F(n) F(0) 0
这就是斐波那契数列的矩阵乘法定义。
另矩阵乘法的一个运算法则A^n(n为偶数) = A^(n/2)* A^(n/2)，这样我们通过二分的思想，可以实现对数复杂度的矩阵相乘。
因此可以用递归的方法求得答案。
数列值的另一种求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距离 x 最近的整数。斐波那契弧线，也称为斐波那契扇形线。第一，此以二个端点为准而画出，例如，最低点反向到最高点线上的两个点。然后通过第二点画出一条“无形的（看不见的）”垂直线。然后，从第一个点画出第三条趋势线：38.2%， 50%和61.8%的无形垂直线交叉。
斐波纳契弧线，是潜在的支持点和阻力点水平价格。斐波纳契弧线和斐波纳契扇形线常常在图表里同时绘画出。支持点和阻力点就是由这些线的交汇点得出。
要注意的是弧线的交叉点和价格曲线会根据图表数值范围而改变，因为弧线是圆周的一部分，它的形成总是一样的。
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比萨的列奥纳多，又称斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），意大利数学家，是西方第一个研究的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。外文名Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo别&&&&名斐波那契职&&&&业数学家主要成就西方第一个研究斐波那契数
列奥纳多的父亲Guilielmo（威廉），外号Bonacci（意即「好、自然」或「简单」）。因此列奥纳多就得到了外号斐波那契 (Fibonacci，意即filius Bonacci，Bonacci之子）。威廉是商人，在北非一带工作（今Bejaia），当时仍是小伙子的列奥纳多已经开始协助父亲工作。于是他就学会了。有感使用比更有效，列奥纳多前往一带向当时著名的阿拉伯数学家学习，约于1200年回国。1202年，27岁的他将其所学写进（Liber Abaci）。这本书通过在记帐、重量计算、利息、汇率和其他的应用，显示了新的数字系统的实用价值。这本书大大影响了欧洲人的思想，可是在三世纪后印制术发明之前，十进制数字并不流行。（例子：1482年，Ptolemaeus世界地图 ，Lienhart Holle在Ulm印制）列奥纳多曾成为热爱数学和科学的腓特烈二世 (神圣罗马帝国）的坐上客。
欧洲数学在希腊文明衰落之后长期处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的迹象。这种复苏开始是受了翻译、传播希腊、阿拉伯著作的刺激。对希腊与东方古典成就的发掘、探讨，最终导致了文艺复兴时期（15～16世纪）欧洲数学的高涨。文艺复兴的前哨意大利，由于其特殊地理位置与贸易联系而成为东西方文化的熔炉。意大利学者早在12～13世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的文献。欧洲，黑暗时代以后第一位有影响的数学家斐波那契（约），其拉丁文代表著作《算经》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的，斐波那契，即比萨的列昂纳多（Leonardo of Pisa），早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（Liber Abac·1202，亦译作《算盘书》）。《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。现传《算经》是1228年的修订版，其中还引进了著名的“”。《几何实践》（Practica Geometriae， 1220）则着重叙述希腊几何与三角术。斐波那契其他数学著作还有《书VLiberQuadratorum， 1225）、《花朵》（Flos， 1225）等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程/十2x2十10x～－20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解（J一1． ）。微积分的创立与解析几何的发明一起，标志着文艺复兴后欧洲近代数学的兴起。微积分的思想根源部分（尤其是积分学）可以追溯到古代希腊、中国和印度人的著作。在牛顿和莱布尼茨最终制定微积分以前，又经过了近一个世纪的酝酿。在这个酝酿时期对有直接贡献的先驱者包括开普勒、卡瓦列里、费马、笛卡）U、和巴罗（1．Barrow，）等一大批数学家。斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔总数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
依次类推可以列出下表：
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个序列。这个有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的，这个级数的通项公式，除了具有an+2=an+an+1的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√5 [（1/2+√5/2）^ n-（1/2-√5/2）^n](n=1,2,3.....）（√5表示根号 5）
这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一
些无理数表示出来的。
即在较高的序列，两个连续的“斐波纳契数”的序列相互分割
将接近黄金比例（1.618:1或1:0.618）。
例如：233/144，987/610、、、、
斐波那契数列还有两个有趣的性质
⒈斐波那契数列中任一项的平方数都等于兔子问题跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1;
⒉任取相邻的四个斐波那契数，中间两数之积（内积）与两边两数之积（外积）相差1.斐波那契质数由斐波那契序列中的质数组成，是整数质数序列.
第一组质数序列是：,,,,,,,1215073,....Liber Abaci（算盘全书，1202年）。
Practica Geometriae（），和概论
Flos（），Johannes of Palermo提出的问题的答案
Liber quadratorum，关于的问题on Diophantine problems,that is,problems involving Diophantine equations.
Di minor guisa（关于商业运算；己佚）
《》第十卷的注释（已佚）
拉丁文代表著作《珠算原理》
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斐波那契数列与股市时间窗
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&从斐波那契数列到黄金分割
从斐波那契数列到黄金分割
在数学史上，斐波那契数列和黄金分割是十分有名的。它们不但有丰富的数学含义，还有深厚的文化内涵。
哈佛大学一位符号学专家兰登，在巴黎出差期间的一个午夜接到紧急电话，赶到卢浮宫博物馆后，得知年迈的馆长在博物馆里被人杀害。人们在馆长的尸体旁，发现了一串难以捉摸的数字13-3-2-21-1-1-8-5。馆长的孙女奈芙是一位颇有天分的密码破译专家，她意识到这是祖父在向她传达信息。奈芙将数字从小到大排列，也就是1-1-2-3-5-8-13-21，她发现，这就是斐波那契数列的前几项。后来，在开启祖父的银行保险柜时，试了好多密码都不成功，但试了这串数字就打开了。
奈芙和兰登经过调查后发现，一连串的线索就隐藏在达•芬奇的艺术作品中。这些线索被画家巧妙地隐藏起来。兰登在无意中发现，已故馆长竟然是郇山隐修会的重要成员。郇山隐修会是一个真实存在的组织，其成员包括牛顿、雨果与达•芬奇等多位历史名人。兰登的直觉告诉他，他和奈芙是在寻找一个石破天惊的历史秘密……
近年畅销全球的小说《达•芬奇密码》。
这就是“达•芬奇密码”的来由。《达•芬奇密码》是一本宗教题材的历史小说，也包含很多数学和科学方面的内容，近年来极为畅销。
斐波那契数列的故事
对于斐波那契数列的发现者斐波那契，我们并不陌生，他是第一位研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，对把印度和阿拉伯数学引入欧洲做出了很大贡献。列昂纳多•斐波那契是意大利人，生于1170年，卒于1240年。斐波那契的籍贯是比萨，所以还被人称做“比萨的列昂纳多”。小时候，由于父亲被派驻到非洲，斐波那契就在非洲接受教育，并在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。在欧洲和小亚细亚四处游历后，斐波那契回到比萨定居。1202年，他完成了巨著《计算之书》（Liber
Abaci），斐波那契数列便是出自这本著作，它来自一个“兔子繁殖”问题。
第一位研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲数学家斐波那契。
假定兔子在出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖多少对兔子？
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对。
两个月后，生下一对小兔子，共有两对。
三个月后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。
于是，我们有：
每月的兔子对数＝上一月的兔子对数＋该月新生的兔子对数＝上一月的兔子对数＋上上月的兔子对数。
也就是说，若记第n个月的兔子对数为Fn，则F1＝F2＝1，且对n＞2，有Fn＝Fn-1＋Fn-2，于是我们得到如下的斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…。
斐波那契数列就是从“兔子繁殖”这个问题中衍生出来的。
斐波那契数列并不是因为好玩才被引入的，它有许多极其重要的性质，否则不会受到后世数学家如此青睐。最先使用斐波那契数列进行数学研究的人是19世纪的法国数学家卢卡斯（F．&E．A．Lucas）。卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他还发明了另一种类似的数列——卢卡斯数列。卢卡斯的生平有些不寻常，他一开始在巴黎天文台工作，后来成为一名专业数学家，期间曾在陆军服役。在法国科学进步协会的年度会议宴会上，一名侍者掉了一个餐盘，其中一块碎瓷片将卢卡斯的脸划破。几天后，他就死于可能由败血症引起的严重皮肤感染。
黄金分割的来历
一般地，我们称\(\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ - 1}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}0.{\rm{618}}0{\rm{3398}}\)……为黄金分割数。黄金分割数的历史远比斐波那契数列来得悠久。在古希腊，公元前6世纪，毕达哥拉斯学派就研究过正五边形和正十边形，这些正多边形与黄金分割关系极为密切。他们还发现，音阶也跟黄金分割有关。因此人们猜测，毕达哥拉斯学派已经了解了黄金分割方面的知识。公元前4世纪，大数学家欧多克斯在研究比例问题时，也注意到了黄金分割。
正五角星是毕达哥拉斯学派的秘密标志，他们以该标志来相互识别。
公元前3世纪问世的堪称“数学第一书”的《原本》，也是第一部流传至今的提到黄金分割的著作。在其第2篇中提到，分已知线段为两部分，使它与其中一条线段所构成的矩形面积等于另一条线段为边长的正方形面积，在几何上就是将线段分成“中外比”，后来叫做“黄金分割”。欧几里得在论述立体几何时，也不时提到黄金分割。可见，当时的古希腊人已非常重视这个比例。
雅典有座大理石砌成的神庙，其中有一尊雅典娜神像，由象牙和黄金雕制而成，姿态优美。研究发现，雕像从肚脐到脚底的距离与身高的比值约等于0.618。芭蕾舞演员虽然身材修长，但该比值平均约为0.58，只有在踮起脚尖时才能提高这个比值，展现0.618的魅力。报幕员在报幕时，往往不会站在舞台正中，而是站在舞台的黄金分割点上，以便给观众留下更协调的印象。正五角星中也蕴含着黄金比：正五角星的每条边恰好被与之相交的另外两条边黄金分割。
首次将这种比例冠以“黄金”美称的是达•芬奇。在“现代会计之父”帕乔利（L．Pacioli）的《神奇的比例》一书中，达•芬奇作了插图，还对各种图形中的黄金分割数作了精彩的描述。比如，将3个黄金矩形对称地互相交叉，每个都与另外两个垂直，则这三个矩形的顶点恰好是一个正二十面体的12个顶点，也是一个正十二面体的各个面的中心。
稍后的德国著名科学家开普勒对黄金分割也极为着迷，他曾经说道：“几何学有两大财富：一个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），一个是按中外比划分一条线段。第一大财富可称得上是黄金定理，第二大财富称得上是珍珠定理。”最早明确使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M．欧姆（M．Ohm），他是发现电学欧姆定律的欧姆（C．S．Ohm）的弟弟。在著作《纯粹初等数学》（1835年）中，他用“黄金分割”来表述中外比，后来这一称呼就逐渐流行起来。
20世纪中叶，美国数学家巴尔（M．Barr）给比率\(\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ + 1}}}}{{\rm{2}}}\)起名为Φ（也有人写作φ，读作Phi），这是古希腊雕塑家菲迪亚斯（Phidias）名字的第一个字母。但是，这一称呼并没有像π和e一样得到数学家的公认。另外，也有不少人用τ表示黄金分割数。
在达•芬奇的名画《维特鲁威人》中，人体比例的确定也与黄金分割息息相关。画名取自古罗马杰出的建筑师维特鲁威（Marcus Vitriivius Pollio）之名。这位建筑师在他的著作《建筑十书》中曾盛赞人体比例和黄金分割。我们前面提到过的小说《达•芬奇密码》中，馆长临死前全身赤裸，把自己摆成画作《维特鲁威人》中的形象，为破案提供了线索。现代西班牙超现实主义画家达利（S．Dali）的《最后的圣餐》，也是画在一个黄金矩形（长和宽之比为黄金分割数的矩形）上的。在给人物定位时，达利还采用了另一些黄金矩形，而画作的顶端则是一个巨大的正十二面体的一部分。
达•芬奇的著名画作《维特鲁威人》。
1884年，蔡辛（A．Zeising）出版了一本经典德语著作《黄金分割比》。作者认定黄金分割是所有比例中最富艺术感的一种，把黄金分割比看成是一切形态学（如人体）、艺术、建筑和音乐的基础。
斐波那契数列与黄金分割
1753年，格拉斯哥大学的数学家西摩松（R．Simson）发现，随着数字的增大，斐波那契数列两数间的比值越来越接近黄金分割率，即随着n的无限增大，\(\frac{{{F_{n{\rm{ + }}1}}}}{{{F_n}}}\)越来越接近于\(\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ + 1}}}}{{\rm{2}}}\)；反之，\(\frac{{{F_n}}}{{{F_{n{\rm{ + }}1}}}}\)以\(\frac{{\sqrt{\rm{5}} {\rm{ - 1}}}}{{\rm{2}}}\)为极限。这提示我们，斐波那契数列是一个与黄金分割数关系异常密切的数列。
其实，斐波那契数列的通项公式为：
\[{F_n}{\rm{ = }}\frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}}\right)}^n}{\rm{ - }}{{\left( {\frac{-{\sqrt 5 {\rm{ + }}1}}{2}} \right)}^n}} \right]\]
原来它竟然是用黄金分割数表达的！18世纪中叶，著名数学家棣莫佛（A．de Moivre）和欧拉已经知道这个公式。
如果从中切掉一个正方形（边长等于原矩形的宽），剩下的部分仍是黄金矩形。依此继续切割，就会得到越来越小的黄金矩形。黄金矩形被这样切割后，矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上。斐波那契数列与此相似，你可以用边长1的正方形做反向操作。加上一个同样的正方形，得到一个新的矩形。若不断在长边上添加正方形，新产生的长边就会遵循斐波那契数列，每一个比前一个的形状更为接近黄金矩形。
把黄金矩形不断切割后，矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上。
据说，德国一位名叫费希纳（G．Fechner）的心理学和物理学家，曾专门召开过一个“矩形展览会”，特地邀请了592位朋友到会参观，要求每位参观者在看完之后投票选出自己认为最完美的矩形，结果下面四种规格的矩形得票最多：5×8，8×13，13×21，21×34。这些矩形的短边与长边之比均为斐波那契数列的相邻两项之比，很接近黄金分割数。费希纳还测量了数以千计的窗框、扑克、书本等矩形物体，甚至还检测了墓地十字架的分隔点位置，发现它们的平均比例均接近黄金分割数。
科学家还注意到，自然界中很很多例子都和斐波那契数列或黄金分割有关。例如，向日葵花盘和松果的螺线、种子发育和动物犄角的生长方式等。开普勒和其后的一些数学家发现，如果把位于枝干或茎的同一方向上的最近两片叶子分别看成一个周期的开始和结束，在这个周期内的叶子数字为m，绕圈数为n，那么m与n都是与斐波那契数有关的数。例如，榆树：n＝1，m＝2；山毛榉：n＝1，m＝3；樱桃、橡树：n＝2，m＝5（也就是说，每个周期有5片叶子，绕2圈才结束一个周期）；梨树：n＝3，m＝8；柳树：n＝5，m＝13，这些数都是斐波那契数。真是太神奇了！
从向日葵的花盘里，我们也能看到斐波那契数列的踪迹。
现代建筑与斐波那契数列或黄金分割也有密切的关系。巴黎的埃菲尔铁塔、加拿大的多伦多电视塔都是根据斐波那契数列或黄金分割的原理来设计和建造的。上海的东方明珠电视塔，高468米，为了美化塔身，设计师巧妙地在上面设计了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱。从上球体到塔顶的距离与其到地面的距离之比大约是5：8，这样的比例使塔体看上去匀称挺拔。
古希腊的帕特农神庙，它的高和宽的比是0.618。建筑师们发现，按这一比侧设计的殿堂，会显得更加雄伟、美丽。
位于以色列耶路撒冷的著名黄金分割雕塑，重达50吨。
在生活中的应用
1939年，艾略特（R．N．Elliot）发现了斐波那契数列与股市的关系。他提出著名的“艾略特波动原理”，指出股票的变化是一个个“小周期”的不断重复：牛市和熊市被最大的波动分成2（=1＋1）部分；而第二波（较大的波动）中，牛市共有5个，熊市则有3个；第三波（中等大小的波动）中，牛市共有21个，熊市则有有13个；第四波（小波动）中，牛市、熊市分别有89和55个。于是有人戏称，要想赚钱，还得弄懂斐波那契数列。
在股市波动里，人们也发现了斐波那契数列。
当然，关于股市与斐波那契数列的论述不一定绝对精确，但运用这一数列乃至分形来研究股票和金融市场的想法由来已久，也卓有成效。
黄金分割律还为最优化方法的建立提供了依据。假设在区间[0，1]上有一个连续函数f(x)，它只有一个最大值f（x0），如何求出这个x0呢？这个问题具有非常大的实用价值，但f（x）往往没有表达式和具体图象，因此需要寻找一种方法进行搜索。“二分法”是首选，即寻找中点，再在剩下的区间分别找中点，如此一直继续下去，把不是最大值的点逐一淘汰。但是对分法的计算量太大。如果将实验点定在区间的黄金分割点，那么实验的次数将大大减步。实验统计表明，用“0.618法”做16次实验，就可取得“对分法”做2500次试验所达到的效果。1953年，美国的基弗（J．Kiefe。）提到“0.618法”已经被大量应用于生活中，特别在工程设计方面。中国著名数学家华罗庚成功地在中国推广了“0.618法”。
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谢谢提醒，已修正。
通项公式有误............,少了个负号
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