无理数是怎样被证明的？_百度知道
无理数是怎样被证明的？
无理数这种数是怎么被证明的？
我有更好的答案
假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0&x&a/b,则
0&f(x)&(∏^n)(a^n)/(n!)
以上两式相乘得：
0&f(x)sinx&(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0&∫f(x)sinxdx &[∏^(n+1)](a^n)/(n!)&1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f&(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F&(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F&(x)sinx+F(x)sinx
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
&无理数&的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无...
是证明类似根号2这样的数是无限不循环小数
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出门在外也不愁数学（学科）_百度百科
[shù xué]
（mathematics或maths），是研究、、、以及等的一门学科，从某种角度看属于形式的一种。而在人类发展和生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
高考必考试题
语文：古诗词填空
左手定则用于判断安培力：伸开左手，使拇指与其余四个手指垂直且与手掌在同一平面内；让磁感线从掌心进入，四指指向电流的方向，拇指所指的方向就是通电导线所受安培力的方向。
板块运动一般是指地球表面一个板块对于另一个板块的相对运动。地球的岩石层被划分为六个大板块，这些板块都随着软流层发生相应的水平运动。
2:数理逻辑与数学基础
　　a:演绎逻辑学(亦称符号逻辑学)b:论 (亦称元数学) c:递归论 d:模型论 e:公理集合论 f:数学基础 g:数理逻辑与数学基础其他学科 　　3:数论 　　a:初等数论 b:解析数论 c:代数数论 d:超越数论 e:丢番图逼近 f:数的几何 g:概率数论 h:计算数论 i:数论其他学科 　　4:代数学 　　a:线性代数 b:群论 c:域论 d:李群 e:李代数 f:Kac-Moody代数 g:环论 (包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结 合代数等) h:模论 i:格论 j:泛代数理论 k:范畴论 l:同调代数 m:代数K理论 n:微分代数 o:代数编码理论 p:代数学其他学科　　5:代数几何学　　6:几何学 　　a:几何学基础 b:欧氏几何学 c:非欧几何学 (包括黎曼几何学等) d:球面几何学 e:向量和张量分析 f:仿射几何学 g:射影几何学 h:微分几何学 i:分数维几何 j:计算几何学 k:几何学其他学科
7:拓扑学 　　a:点集拓扑学 b:代数拓扑学 c:同伦论 d:低维拓扑学 e:同调论 f:维数论 g:格上拓扑学 h:纤维丛论 i:几何拓扑学 j:奇点理论 k:微分拓扑学 l:拓扑学其他学科 　　8:数学分析
a:微分学 b:积分学 c:级数论 d:数学分析其他学科 　　9:非标准分析 　　10:函数论 　　a:实变函数论 b:单复变函数论 c:多复变函数论 d:函数逼近论 e:调和分析 f:复流形 g:特殊函数论 h:函数论其他学科 　　11:常微分方程 　　a:定性理论 b:稳定性理论 c:解析理论 d:常微分方程其他学科 　　12:偏微分方程 　　a:椭圆型偏微分方程 b:双曲型偏微分方程 c:抛物型偏微分方程 d:非线性偏微分方程 e:偏微分方程其他学科 　　13:动力系统 　　a:微分动力系统 b:拓扑动力系统 c:复动力系统 d:动力系统其他学科 　　14:积分方程 　　15:泛函分析 　　a:线性算子理论 b:变分法 c:拓扑线性空间 d:希尔伯特空间 e:函数空间 f:巴拿赫空间 g:算子代数 h:测度与积分 i:广义函数论 j:非线性泛函分析 k:泛函分析其他学科 　　16:计算数学 　　a:与 b:常微分方程数值解 c:偏微分方程数值解 d:积分方程数值解 e:数值代数 f:连续问题离散化方法 g:值实验 h:误差分析 i:其他学科 　　17:概率论 　　a:几何概率 b:概率分布 c:极限理论 d:随机过程 (包括正态过程与平稳过程、点过程等) e:马尔可夫过程 f:随机分析 g:鞅论 h:应用概率论 (具体应用入有关学科) i:概率论其他学科　　 18:数理统计学 　　a:理论 (包括抽样分布、抽样调查等 )b:假设检验 c:非参数统计 d:方差分析 e:相关回归分析 f:统计推断 g:贝叶斯统计 (包括参数估计等) h:试验设计 i:多元分析 j:统计判决理论 k:时间序列分析 l:数理统计学其他学科 　　19:应用统计数学 　　a:统计质量控制 b:可靠性数学 c:保险数学 d:统计模拟 　　20:应用统计数学其他学科 　　21:运筹学 　　a: b:非线性规划 c:动态规划 d:组合最优化 e:参数规划 f:整数规划 g:随机规划 h:排队论 i:对策论 亦称博弈论 j:库存论 k:决策论 l:搜索论 m:图论 n:统筹论 o:最优化 p:运筹学其他学科 　　22:组合数学 　　23:模糊数学
24：量子数学
25:应用数学 (具体应用入有关学科)
26:数学其他学科
古巴比伦泥板上的数学题
数学（：shù xué；：μαθηματικ；：Mathematics），源自于的μθημα（máthēma），其有学习、、科学之意．学者视其为哲学之起点，“学问的基础”．另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“”．即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的．
其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematica），由译自希腊文复数τα μαθηματικ?（ta mathēmatiká）．
在中国古代，数学叫作，又称，最后才改为数学．中国古代的算术是之一（六艺中称为“数”）．
数学起源于人类早期的生产活动，人从开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题．从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献．
的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分．其基本概念的精炼早在、及内的文本内便可观见．从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展．但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态．
可以说是最为人们广泛接受的“数学”．可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学．而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一．几何学则是最早开始被人们研究的数学分支．
直到的文艺复兴时期，创立了解析几何，将当时完全分开的和几何学联系到了一起．从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的．而其后更发展出更加精微的．
西方最原始math（数学）应用之一，奇普
现时数学已包括多个分支．创立于二十世纪三十年代的法国的则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论．，就是以初始概念和出发的演绎系统．他们认为，数学有三种基本的母结构：（，环，，格……）、（，……）、（，，，……）．[1]
数学被应用在很多不同的上，包括、、和等．在这些领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展．数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标．虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用．
具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：由逻辑、（）、至不同科学的经验上的数学（应用数学）、以较近代的对于的研究（、）．
就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦越发深入．
图中数字为二级学科编号．
许多如数、、等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构．数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示．此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构．因此，我们可以学习、环、域和其他的抽象系统．把这些研究（通过由代数运算定义的结构）可以组成抽象代数的领域．由于抽象代数具有极大的通用性，它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题，例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗理论解决了，它涉及到域论和群论．代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的做出了一般性的研究．这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性．组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法．
的研究源自于．则结合了空间及数，且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、及．数和空间在解析几何、微分几何和中都有着很重要的角色．在微分几何中有着及上的计算等概念．在代数几何中有着如方程的等几何对象的描述，结合了数和空间的概念；亦有着的研究，结合了结构与空间．被用来研究空间、结构及变化．
为了弄清楚数学基础，和等领域被发展了出来．德国数学家（）首创集合论，大胆地向“”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献．
集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，，及数理科学中必不可少的工具．20世纪初，数学家在德国传播了康托尔的思想，把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”．英国哲学家把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”
数学逻辑专注在将数学置于一坚固的架构上，并研究此一架构的成果．就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果．现代逻辑被分成、和，且和有着密切的关联性．
也许我国古代的是世界上最早使用的符号之一，起源于的占卜．
我们现今所使用的大部分都是到了16世纪后才被发明出来的．在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序．现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作，但初学者却常对此感到怯步．它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息．如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码．
数学语言亦对初学者而言感到困难．如何使这些字有着比日常用语
更精确的意思，亦困恼着初学者，如开放和等字在数学里有着特别的意思．亦包括如及等专有名词．但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的．数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”．
严谨是数学证明中很重要且基本的一部分．数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去．这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或&证明&，而这情形在历史上曾出现过许多的例子．在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨．牛顿为了解决问题所作的定义，到了才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理．今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度．当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨．
数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及
整数与被描述在算术内的有理和无理数．
另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较．
西方数学简史
数学的演进大约可以看成是的持续发展，或是题材的延展．而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术．第一个被抽象化的概念
大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破．除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年．算术（）也自然而然地产生了．
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如或于使用的．历史上曾有过许多各异的记数系统．
古时，数学内的原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算．数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的．这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究．
西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，、以及等已大体完备．但尚未出现的概念．
17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换．在的建立过程中，结合了几何精密思想的的方法被发明．随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的和等领域也开始慢慢发展．
中国数学简史
数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合．
中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及
的思想方法，近现代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的：
【】数学家在求和方面的研究成果，在国际上被命名为“”（或李氏恒等式）．
【】数学家关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“”；另外他与数学家提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”．
【】数学家在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“”．
【】数学家关于与无穷级的的研究成果被国际数学界誉为“”．
【】数学家关于示性类的研究成果被国际上称为“”．
【】数学家在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”．
【】数学家关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“”；另外还有以他命名的“吴氏公式”．
【】数学家关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“”．
【】数学家关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”．
【】数学家在研究中提出的命题被国际数学界誉为“”．
【杨—张定理】数学家和在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”．
【陆氏猜想】数学家关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”．
【夏氏不等式】数学家在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”．
【姜氏空间】数学家关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”．
【】数学家关于的研究成果被国际上命名为“”．
【】数学家关于分布的研究成果被国际上命名为“”．
【】数学家关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“”．
【袁氏引理】数学家在非方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”．
【景氏算子】数学家在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏”．
【陈氏文法】数学家在组学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文法”．
万物皆数．——
几何无王者之道．——
数学是上帝用来书写宇宙的文字．——[2]
我决心放弃那个仅仅是抽象的几何．这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何．——（Rene Descartes ）
数学家们都试图在这一天发现素数序列的一些秩序，我们有理由相信这是一个谜，人类的心灵永远无法渗入。——
数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深．数学是科学之王．——
这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉．——(Pierre Simon Laplace )
如果认为只有在里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误．——（Augustin Louis Cauchy ）
数学的本质在于它的自由．——（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ）
音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切．——克莱因（Christian Felix Klein ）
只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡． ——（David Hilbert ）
问题是数学的心脏．——（Paul Halmos ） 　　时间是个常数,但对勤奋者来说,是个‘变数’．用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍．——雷巴柯夫
事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已．又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣．——
迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推．——（429-500）
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要．——
数学表达上准确简洁、逻辑上抽象普适、形式上灵活多变，是宇宙交际的理想工具．——[3]
科学需要实验．但实验不能绝对精确．如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了．这科学不能离开数学的原因．
许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示．所以数学家有饭吃了，但不能得诺贝尔奖，是自然的．数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事．诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注于自己的研究．——
现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量．——
看书和写作业要注意顺序．我们要养成良好的学习方法，尽量回家后先复习一下当天学习的知识，特别是所记的笔记要重点关照，然后再写作业，这样效果更佳．[4]
我国初等及以上数学的标点
数学是一门国际性的学科，对各个方面都要求严谨．
我国规定初等及以上的数学已可以算作是科技类文献[5]
我国规定文献类文章句号必须用“．”，数学采用的目的一是为此，二是为了避免和下脚标混淆，三是因为我国曾在国际上投稿数学类研究报告，人家却不采用，因为外国的句号大多不是“。”．
在证明题中，∵（因为）后面要用“，”，∴（所以）后面要用“．”，在一道大题中若有若干小问，则每小问结束接“；”，最后一问结束用“．”，在①②③④这样的序号后都应用“；”表连接，最后一个序号后用“．”表结束．[6-7]
具有数学一级学科国家重点学科的大学[8]
（注：一级学科国家重点学科所覆盖的二级学科都是国家重点学科．[9]
具有数学二级学科国家重点学科的大学（不包括以上列表）[4]
是数学重要部分。例如……
世界七大数学难题
P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和中最突出的问题之一。它是·考克（StephenCook）于1971年陈述的。
霍奇(Hodge)猜想　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。断言，对于所谓这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作的几何部件的(有理线性)组合。
庞加莱(Poincare)猜想（已被证明）　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
黎曼(Riemann)假设　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕的许多奥秘带来光明。
杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口　量子物理的定律是以的对宏观世界的方式对世界成立的。大约半个世纪以前，和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克、、和。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
哥德巴赫猜想
在日给欧拉的信中，提出了以下猜想：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个之和。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题&任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和&记作&a+b&，猜想就是要证明&1+1&成立。1966年陈景润证明了&1+2&成立，即&任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和&。
．数学传播第 17 卷第1期[引用日期]
．百度文库．[引用日期]
．加拿大华人网 ．[引用日期]
．中国教育网[引用日期]
．搜狐新闻．[引用日期]
．毕业论文．[引用日期]
．百度文库．[引用日期]
．中国教育网[引用日期]
．中华人民共和国教育部[引用日期]第三次数学危机_百度百科
第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现造成的。由于已经渗透到众多的数学分支，并且实际上成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
悖论的产生　---　第三次数学危机
1897年，福尔蒂揭示了中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，又发现了一个悖论，它除了涉及本身外不涉及别的概念。曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：&理发师是否自己给自己刮脸？&如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道：&一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地&。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的，促使了这门学科诞生。
十九世纪七十年代创立的集合论是的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对及进行化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是在1899年对于初等几何的公理化。
为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与、与等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
人类最早认识的是自然数。从引进零及就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使有了——，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现就导致了，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
的解导致了的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分、倍、不能通过、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了的大发展。
这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。是由的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定的严整系统。
对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。}