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关于无理数的稠密性的一个问题
例1(1117) 设\mathbb{Q}表示有理数的集合，\mathbb{R}表示实数的集合，试证：
\overline{\mathbb{Q}^c}=\mathbb{R}
PS:本题若用\LaTeX编辑数学公式，额外奖励2----10金币。
插一句题外话：第一个发现的无理数是\sqrt{2}，是由欧帕希斯发现的，他是毕达哥拉斯的学生。
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扫描下载送金币三个著名的无理数:e、π、Φ--《中学数学教学参考》2003年Z1期
三个著名的无理数:e、π、Φ
【摘要】：
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G633.6【正文快照】：
ｅ、π和Φ是三个著名的无理数 ,其中数ｅ是三个著名无理数中惟一一个不为古人所知的无理数 .由于它被用作自然对数的底 ,因此它在微积分学中起着关键作用 .ｅ跟我们日常的事情有什么关系呢 ?事实上它在我们日常生活中跟任何一个特定的整数一样被经常使用 ,尽管人们并不总能察
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数学不是“数”学——话说无理数.doc5页
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数学不是“数”学――话说无理数 “数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行，这可能与恩格斯著作的长期影响有关。对于数学，今天人们更加认同于如下的说法：
“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”（《科学技术百科全书》[麦格劳-希尔图书公司]第1卷数学，科学出版社6页）； “到1900年，数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权，因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了”（ 克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社页）。
照此说法，数学就不是“数”学了。然而，数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。既是抽象的又有实在的一面，人们逐渐形成了对数学的主流看法――数学的现状“一方面是其内在的统一性，另一方面是外界应用的更高的自觉性”，数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”（美国国家研究委员会《振兴美国数学――90年代的计划》，叶其孝等译，世界图书出版公司1993），而不再局限于给数学下一个定义。
毕达哥拉斯
无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例。从数学发展史看，人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前582-497）学派，但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义；从当今教育的知识体系看，学生在初中阶段开始接触无理数，直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质含义。历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征，应用性使得它是常见的数学工具之一，而抽象
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