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定积分证明题 ——请证明：【积分区间为0到π】∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
国安菜妥60
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移到一边,积分限内：(x-π/2)f(sinx)令x-π/2=ppf(Cosp),P积分限为-π/2至π/2,p为奇函数,f(Cosp)为偶函数,pf(Cosp)为奇函数,对称区间中积分为0.
你好，我有一个疑问就是——p为奇函数？是怎么看出的？
x-π/2=p，那么P不就是单调递增的直线吗？
f(-p)=-p=-f(p),奇函数
变量代换后，积分已经由针对x变为针对p了，并针对[-π/2,π/2]区间进行积分。
可以这样理解吗？
针对积分区间p [-π/2,π/2]区间,
f(p)=f(π/2)=π/2,
f(-p)=f(-π/2)=-π/2=-f(π/2)=-f(p)
f(-p)=-f(p),这是奇函数的特征，不针对某区间成立，对整个定义域都成立。奇函数沿Y轴反对称，【积分区间沿Y轴对称时】积分时两侧面积相同，符号相反，互相抵消。
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∫(0-->π)xf(sinx)dx=∫(0-->π/2)xf(sinx)dx+∫(π/2-->π)xf(sinx)dx对后面这个积分令t=π-x
可以化为∫(0-->π/2)(π-t)f(sint)dt再相加就得到右边
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设f(x)连续,证明（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
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证明：令x=π-t,则x由0到π,t由π到0,dx=-dt原式记为I则I=-（积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt=-(积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt=(积分区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt-I所以2I=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt即I=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx
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