加载中，请稍候...
加载中，请稍候...
京 东 价：
￥7.30 [6.2折][定价：￥11.80]
温馨提示：
其它类似商品
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
高考大问题：数学（解析几何初步圆锥曲线和方程解决方案A-07）
查找同类商品
金星教育?高考研究所成立于2001年，始终致力于高考同步复习、高考试题、模拟题、全国各省市命题规律及趋势的全面、全程研究，有200余名专、兼职教研员，聘请全国各地1000余名重点高中一线教师为信息员。对各省市高考一轮复习、二轮专题复习、三轮模拟冲刺以及各大考点、各种高考题型专项突破的系列课题研究，取得了很好的研究成果。其中《搜题天下?高考系列》、《中学第二教材?高考总复习》、《高考备考工具书》取得了很好的市场销售业绩，得到全国高三师生的认可。
“木桶理论”告诉我们：一个水桶无论有多高，它盛水的高度取决于其中最低的那块木板。同样，要在高考中取胜，必须最大限度地解决你的“短板”问题。为此，《高考大问题》项目组，诚邀全国名师，针对不同专题制定了一整套解决方案，精心打造了《高考大问题解决方案》系列丛书。同学们可以针对自己的“短板”，各取所需，实现超越。
名师导航优选好方案解决大问题专题纵览考纲链接考情回眸解决方案一直线与方程二圆与方程三椭圆四双曲线五抛物线六直线与圆锥曲线的位置关系方法技巧常用思想方法技巧模拟过关高考模拟专题过关参考答案三年真题答案高考模拟答案专题过关答案
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
正在加载中，请稍候...
七日畅销榜
新书热卖榜圆锥曲线高考题常见类型及破解方法--《中学生数理化(高考版)》2008年03期
圆锥曲线高考题常见类型及破解方法
【摘要】：正圆锥曲线是历年高考必考内容,也是热点内容.综观各地试题,以下面四类题型为主.现举例说明各类题型的破解方法,供同学们参考.一、轨迹问题
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
圆锥曲线是历年高考必考内容,也是热点内容.综观各地试题,以下面四类题型为主.现举例说明各类题型的破解方法,供同学们参考.一、轨迹问题中学生数理化高考版例1已知点M在椭圆x362+y92=1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的坐标轴,垂足为P′,并且M为线段PP′的中点,求点P的轨迹方程.
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
沈建仪;;[J];中学数学;1985年12期
郑一平;[J];中学理科;1994年10期
陶维林;[J];数学通讯;1999年12期
李迪淼;[J];数学通报;2000年10期
李朝闻;[J];数学教学研究;2002年07期
杨艳慧,阚志学;[J];数理化学习(高中版);2003年07期
尤新建;[J];数理天地(高中版);2004年01期
于先金;;[J];福建中学数学;2005年11期
玉邴图;;[J];数学通报;2006年03期
李建潮;;[J];中学数学教学;2006年06期
中国重要会议论文全文数据库
陈艾英;;[A];国家教师科研基金“十一五”成果集（中国名校卷）（五）[C];2009年
郭信波;;[A];全国教育科研“十五”成果论文集（第二卷）[C];2005年
陈艾英;;[A];国家教师科研基金十一五阶段性成果集（广西卷）[C];2010年
吴锦安;;[A];国家教师科研基金十一五阶段性成果集（福建卷）[C];2010年
刘忠;;[A];中国教育技术协会2004年年会论文集[C];2004年
康桂金;;[A];国家教师科研基金十二五阶段性成果集（华北卷）[C];2012年
中国重要报纸全文数据库
湖北省枣阳市高级中学
杨道云;[N];学知报;2011年
河南省淅川县第一高级中学
张秀英;[N];学知报;2011年
河南省南阳市第八高级中学校
书苗;[N];学知报;2010年
江苏省丰县华山中学
潘德春;[N];学知报;2011年
福建师大附中
倪政翔;[N];福州日报;2005年
李刚;[N];中国电脑教育报;2002年
解忠良;[N];中国电脑教育报;2004年
张思明;[N];北京日报;2007年
杭州师范学院美术学院教授、学术委员会主任
陆琦;[N];美术报;2006年
王国华;[N];甘肃日报;2008年
中国硕士学位论文全文数据库
田茂峰;[D];山东师范大学;2010年
原慧芳;[D];陕西师范大学;2011年
徐忠才;[D];西北师范大学;2004年
刘凯丰;[D];重庆师范大学;2011年
刘丽萍;[D];苏州大学;2010年
周志圣;[D];华中师范大学;2008年
周明;[D];山东师范大学;2008年
袁小幼;[D];华中师范大学;2008年
范梅芳;[D];华东师范大学;2009年
任芳芳;[D];东北师范大学;2007年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
同方知网数字出版技术股份有限公司
订购热线：400-819-82499
在线咨询：
传真：010-
京公网安备74号高考中用参数方程解决圆锥曲线问题好还是常规方法好？哪种更快，如果用参数方程解错了，给不给步骤分？_百度知道
高考中用参数方程解决圆锥曲线问题好还是常规方法好？哪种更快，如果用参数方程解错了，给不给步骤分？
提问者采纳
参数慢，最好不要用
提问者评价
太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
其他类似问题
我们老师说圆锥曲线题最后答案只占很少的分给步骤分，最后解错了也能拿绝大部分分了。我觉得参数方程就算常规方法了
参数方程不是常规方法。。常规方法是联立方程韦达定理之类的
参数方程的相关知识
按默认排序
其他1条回答
自己看着办吧，那个顺手怎么做
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁您的位置：&&
&&2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-9 圆锥曲线的热点问题
2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-9 圆锥曲线的热点问题
地区：全国
上传人：TmzD****@
版本：通用
下载扣点：1点
上传时间：
已有5052人下载该资源
2015年高考数学（理）一轮复习讲义：8-9 圆锥曲线的热点问题
第9讲　圆锥曲线的热点问题
[最新考纲]
1．理解数形结合的思想．
2．了解圆锥曲线的简单应用.
知 识 梳 理1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0直线与圆锥曲线C无公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．
2．圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.
学生用书?第157页
辨 析 感 悟
1．对直线与圆锥曲线交点个数的理解
(1)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有两个公共点．(√)
(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(×)(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(√)
2．对圆锥曲线中有关弦的问题的理解
(4)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为＋＝1.(√)
(5)已知点(2,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程为x＋4y－6＝0.(×)
(6)(2014·潍坊一模改编)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于.(√)
[感悟·提升]
两个防范　一是在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况，如(2)；
二是中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ＞0或说明中点在曲线内部，如(5).
考点一　直线与圆锥曲线位置关系【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．
解　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.
把点P(0,1)代入椭圆＋＝1，得＝1，即b＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.
联立消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，
整理得2k2－m2＋1＝0.
消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.
整理得km＝1.
综合，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法 将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于中
Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程得，x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
(＋)，(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得k＝－，由(1)知k2＞，与此相矛盾，
所以不存在常数k使＋与垂直.
学生用书?第158页
考点二　圆锥曲线中的弦长问题
【例2】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当AMN的面积为时，求k的值．
解　(1)由题意得解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以AMN的面积为S＝|MN|·d＝.
由＝，解得k＝±1.规律方法 直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．
【训练2】 (2013·新课标全国卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ABCD面积的最大值．
解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P0(x0，y0)，
则＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1.
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
所以x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝.
所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．
所以a2＝2b2，
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
所以a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)将x＋y－＝0代入＋＝1，
解得或所以可得|AB|＝；
由题意可设直线CD方程为y＝x＋m，
所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将y＝x＋m代入＋＝1得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，则|CD|＝＝，
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<mb>0)的离心率e＝，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
审题路线　(2)写出直线BP的方程与椭圆方程联立解得P点坐标写出直线AD的方程由直线BP与直线AD的方程联立解得M点坐标由D，P，N三点共线解得N点坐标求直线MN的斜率m作差：2m－k为定值．
(1)解　因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3得，c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)，
①代入＋y2＝1，解得P.
直线AD的方程为y＝x＋1.
①与联立解得M.
由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知
＝，解得N.
所以MN的斜率为m＝
则2m－k＝－k＝(定值)．
规律方法 求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【训练3】 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
(1)解　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由e＝＝，得a＝2c，
a2＝b2＋c2，b2＝3c2，
则椭圆方程变为＋＝1.
又椭圆过点P，将其代入求得c2＝1，
故a2＝4，b2＝3，
即得椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，
(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
＋＋＋4＝0，
7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
由，得3＋4k2－m2＞0，
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，
直线过定点，
直线l过定点，定点坐标为.
学生用书?第159页
考点四　圆锥曲线中的范围与最值问题【例4】 已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．审题路线　(2)设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得关于x的一元二次方程解得|x1－x2|由直线AM的方程与直线l联立解得点M的横坐标由直线ON的方程与直线l联立解得点N的横坐标|MN|＝|xM－xN|换元、分类求|MN|的最小值．
解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.
又y＝x，且y＝x－2，
解得点M的横坐标xM＝＝＝.
同理点N的横坐标xN＝.
所以|MN|＝|xM－xN|＝
令4k－3＝t，t≠0，则k＝.
当t>0时，|MN|＝2>2.
当tb>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解　(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.
又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
1．涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与　　　　　　　　　　　　　　　　　　
系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
2．关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下三种类型：(1)求中点弦所在直线方程问题；(2)求弦中点的轨迹方程问题；(3)弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等．
3．圆锥曲线综合问题要四重视：
(1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用；(3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．
答题模板12——圆锥曲线中的探索性问题【典例】 (14分)(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[规范解答]　(1)因为e＝ ＝＝，
所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.(2分)
设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，
＝(－b≤y≤b)．(3分)
当－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；
当－b>－1，即b<1，dmax＝＝3得b＝1(舍)．
b＝1，a＝，(5分)
故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分)
(2)存在点M满足要求，使OAB的面积最大．(7分)
假设存在满足条件的点M，因为直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d＝<1.(8分)
因为点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1<m2＋n2，
于是0b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)由P在椭圆上，得＋＝1
依题设知a＝2c，则b2＝3c2，
②代入，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)法一　由题意可设AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，
代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，并整理，得
(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝，x1x2＝，
在方程中令x＝4，得M的坐标为(4,3k)．
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，
即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋
＝2k－·，
得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常数λ＝2符合题意．
法二　设B(x0，y0)(x0≠1)，
则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
则直线PA的斜率为k1＝，
直线PB的斜率为k2＝，
所以k1＋k2＝＋
故存在常数λ＝2符合题意.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)．
解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或1.
2．(2014·济南模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)．A．(1,2)
解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝(　　)．
如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，e2＝＝5－2，故应选C.
二、填空题
6．(2014·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．
解析　由题意，得
解得椭圆C的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
7．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P(2,1)为P1P2的中点，则此直线方程是________．
解析　设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
答案　4x－y－7＝0
8．(2014·青岛调研)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是________．
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OPOQ(O为原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围．
(1)证明　由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，Δ＞0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0a2b2(a2＋b2－1)＞0，
a＞b＞0，a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程的两实根．
x1＋x2＝，x1x2＝.
由OPOQ得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.
式代入式化简得a2＋b2＝2a2b2.
(2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数
由e＝b2＝a2－a2e2，
代入式，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
≤e≤，≤a2≤.
∵a＞0，≤a≤.
∴长轴长的取值范围是[，]．
10．(2014·佛山模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.
(1)求椭圆方程；
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：·为定值．
解　(1)化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，
则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.
可求得A，B.
此时，·＝·＝－.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为·＝·＝＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋
＝(1＋k2)·＋＋k2＋
＝＋＝－2＋＝－.
所以，·为定值，且定值为－.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·石家庄模拟)若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)．
解析　法一　(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
kAM·kBM＝·＝
法二　(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.
2．(2014·兰州诊断)若直线mx＋ny＝4和O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)．
A．至多一个
解析　直线mx＋ny＝4和O：x2＋y2＝4没有交点，
>2，m2＋n2<4，＋<＋0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即4－62＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.
二、填空题
11．(2014·兰州一模)已知抛物线x2＝4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是________．
解析　由抛物线定义知，yP＋1＝5，即yP＝4，所以有x＝16，解得xP＝±4.
12．(2013·上海卷)设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．
解析　设D在AB上，且CDAB，AB＝4，BC＝，CBA＝45°，所以有CD＝1，DB＝1，AD＝3，所以有C(1,1)，把C(1,1)代入椭圆的标准方程得＋＝1，a2＝b2＋c2且2a＝4，解得，b2＝，c2＝，则2c＝ .
13．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且·＝0，则M到x轴的距离为________．
解析　设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
则可得mn＝4.
由MF1F2的面积可得M到x轴的距离为＝.
14．(2014·淄博二模)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为________．
解析　抛物线的焦点坐标为，由题意知
＝，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝c，所以e＝＝＝.
三、解答题
15．(2013·广东卷改编)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．
解　(1)依题意，设抛物线C的方程为x2＝4cy，
则＝，c>0，解得c＝1.
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为x2＝4y，
求导得y′＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－＋y1，
即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，
又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，
所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0 的两组解，
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
16．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解　(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，|PM|＋|PN|＝4>|MN|，P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆(左顶点除外)，且2a＝4,2c＝2，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
P的轨迹曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)由(1)知2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，
圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．
圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.
当l的倾斜角为90°，方程为x＝0时，|AB|＝2，
当l的倾斜角不为90°，
设l的方程为y＝kx＋b(kR)，
l的方程为y＝x＋，y＝－x－.
联立方程化简得7x2＋8x－8＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或.
17．(2014·东北三校联考)如图，已知点E(m,0)(m＞0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是AB，CD的中点．
(1)若m＝1，k1k2＝－1，求EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
解　(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，
k1k2＝－1，AB⊥CD.
设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4.
同理，点N(2k＋1，－2k1)，
S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，当且仅当k＝，即k1＝±1时，EMN的面积取得最小值4.
(2)设直线AB的方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1m＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
同理，点N，
kMN＝＝k1k2.
直线MN的方程为
y－＝k1k2，即y＝k1k2(x－m)＋2，
直线MN恒过定点(m,2)．
18．(2013·重庆卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQP′Q，求圆Q的标准方程．
解　(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则＋＝1，从而e2＋＝1.
由e＝，得b2＝＝8，从而a2＝＝16.
故该椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8＝(x－2x0)2－x＋8(x[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意知，P是椭圆上到Q的距离最小的点，
因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.
因为PQP′Q，且P′(x1，－y1)，所以·＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0，
得x－8＝0，
解得x1＝±，x0＝＝±.
从而|QP|2＝8－x＝.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
2＋y2＝，2＋y2＝.
版权所有：中华资源库}