设点F是抛物线L:y2=4x的焦点.P1(x1.y1).P2(x2.y2).-Pn(xn.yn)是抛物线L上的n个不同的点n(n≥3.n∈N*)(1)若抛物线L上三点P1.P2.P3的横坐标之和等于4.求的值,(2)当n≥3时.若.求证:,(3)若将题设中的抛物线方程y2=4x推广为y2=2px.写出一个一般化的命题及其逆命题.并判断其逆命题的真假．若是真命题.请予以证明,若是 题目和参考答案——精英家教网——
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设点F是抛物线L：y2=4x的焦点，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）（1）若抛物线L上三点P1、P2、P3的横坐标之和等于4，求的值；（2）当n≥3时，若，求证：；（3）若将题设中的抛物线方程y2=4x推广为y2=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．
解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+3∵x1+x2+x3=4，∴=7（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn∴=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n∵ ∴x1+x2+x3+…+xn=n∴=n+n=2n（3）当n≥3时，若，求证：；逆命题：当n≥3时，“若，则”设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（xn+）=x1+x2+x3+…+xn+∵ ∴x1+x2+x3+…+xn=∴=+=np逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，∴=x1+x2+x3+x4+2p=4p∴x1+x2+x3+x4=2p不妨取，，，，则故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义，结合x1+x2+x3=4，可得结论；（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证=2n（3）当n≥3时，若，求证：；逆命题：当n≥3时，“若，则”取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
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科目：高中数学
过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x0，y0）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN
科目：高中数学
已知抛物线方程C：y2=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，|MF|+|MN|的最小值为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且PF=λ1FA=λ2FB，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．
科目：高中数学
来源：0108 模拟题
题型：解答题
已知抛物线方程C：y2=2px（p＞0），点F为其焦点，点N（3，1）在抛物线C的内部，设点M是抛物线C上的任意一点，的最小值为4，（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点F作直线l与抛物线C交于不同两点A、B，与y轴交于点P，且，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由。
科目：高中数学
来源：模拟题
题型：解答题
已知抛物线C的方程为y2=2x，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l。（1）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且|FA|=2|FB|，求k的值；（2）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆（x- 1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN面积的最小值。
科目：高中数学
来源：2010年安徽省合肥一中高考数学冲刺最后一卷（理科）（解析版）
题型：解答题
过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x，y）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！> 【答案带解析】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|...
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（ ）A．B．C．D．2
设∠AFx=θ（0＜θ＜π，利用AF|=3，可得点A到准线l：x=-1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
设∠AFx=θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=-1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∵m=2+mcos（π-θ）
∴△AOB的面积为S==
考点分析：
考点1：抛物线的几何性质
考点2：直线与圆锥曲线的位置关系
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设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30&的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．
在△ABC中，AB=2，AC=3，o=1，则BC=（ ）A．B．C．2D．
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直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（ ）A．（）B．（-，）C．（，-）D．（-，）
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题型：选择题
难度：中等
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可以插入公式啦！&我知道了&
(12分)如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N．
(I)若点C的纵坐标为2，求|MN|；
(II)若|AF|2=|AM|•|AN|，求圆C的半径．
正在获取……
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&&&&&解：(I)抛物线E：y2=4x的准线l：x=1，
由点C的纵坐标为2，得C(1，2)，故C到准线的0y=0，由x=1得y22y0y+1+=0，
设M(1，y1)，N(1，y2)，则
，
由|AF|2=|AM|•|AN|，得的距离d=2，又|OC|=，
∴|MN|=2==2．
(II)设C(，y0)，则圆C的方程为(x)2+(yy0)2=，
即x2+y22y1y2|=4，
∴1+=4，解得y0=，此时△＞0
∴圆心C的坐标为(，)，|OC|2=，
从而|OC|=．
即圆C的半径为．
分析：&&&&(I)由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出|MN|的长；|2=|AM|•|AN|，得|y1y2|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆的半径．
点评：&n；
(II)设C(，y0)，表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M(1，y1)，N(1，y2)，利用韦达定理表示出y1y2，利用|AF&&&此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键．
　(点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案)
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