设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足：对称轴为x=-1，且x∈R时x2+x+5≤f（x）≤2x2+5x+9恒成立．（1）求f（-2）的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）已知函数f（x）-kx的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，问是否存在实数k满足？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．【考点】；．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件：x2+x+5≤f（x）≤2x2+5x+9，便可得到7≤f（-2）≤7，所以便得到f（-2）=7；（2）根据f（x）的对称轴是x=-1，能够得到f（x-2）=f（-x），从而得到f（0）=f（-2）=7，所以f（x）可设成f（x）=ax（x+2）+7．所以根据x∈R时，x2+x+5≤f（x）可得到（a-1）x2+（2a-1）x+2≥0，所以a需满足2-8(a-1)≤0，解该不等式可得a=，这样便可得f（x）的解析式；（3）设g（x）=f（x）-kx=2+(3-k)x+7，设A（x1，0），B（x2，0），由可以得到x2=3x1，而x1，x2是方程g（x）=0的两实数根，根据韦达定理即可求出k的值，并验证k是否符合条件即可．【解答】解：（1）令x=-2，则7≤f（-2）≤7，所以f（-2）=7；（2）由f（x）的对称轴为x=-1得，f（x-2）=f（-x），∴f（0）=f（-2）=7；故可设二次函数f（x）=ax（x+2）+7；对于x∈R，x2+x+5≤ax2+2ax+7，即（a-1）x2+（2a-1）x+2≥0则（2a-1）2-8（a-1）≤0且a＞1，化简得（2a-3）2≤0，∴；∴函数f（x）的解析式为2+3x+7；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（3）设g（x）=f（x）-kx，2+(3-k)x+7；设A（x1，0），B（x2，0）；由有x2=3x1；∵x1，x2是方程2+(3-k)x+7=0的两实数根；由韦达定理可得，1+x2=4x1=2k-63，x1x2=3x12=143；∴1=±143，；解得，经检验符合．【点评】考查二次函数的对称性，并且由f（x）的对称轴是x=-1能够得到f（x-2）=f（-x），并且设出f（x）=ax（x+2）+7是求解本题的关键，以及韦达定理．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：wkl197822老师　难度：0.62真题：1组卷：1
解析质量好中差
&&&&，V2.18197知识点梳理
【一元二次的解法】①将原不等式化为标准形式{{ax}^{2}}+bx+c>0或{{ax}^{2}}+bx+c0\)；②画出对应函数{{y=ax}^{2}}+bx+c的图象简图；③由图象得出．
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如果ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为{x|x＜-2或x...”，相似的试题还有：
关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞-\frac{1}{2}}，求关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集．
设二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-1＜x＜\frac{1}{3}}，则不等式bx2+ax-1＜0的解集为_____．
已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或x＞-\frac{1}{2}}，不等式ax2-bx+c＜0的解集是_____．任写一个非单调函数f(x)=ax^2+bx+c,a≠0,要求定义域与值域均为[-1,2]
先不妨令 b=0,f(x)=ax^2+c,a>0最小值为f(0)=c=-1,最大值为f(2)=4a-1=2,得：a=3/4因此f(x)=(3/4)x^2-1即满足要求.
定义域也是[-1,2]呀
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利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数），一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。2、偶函数在定义域内关于y的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。3、奇±奇=奇&偶±偶=偶&奇X奇=偶&偶X偶=偶&奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数.若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数.若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数.5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0...”，相似的试题还有：
设函数f(x)=ax2-bx+1(a，b∈R)，F(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)，(x＞0)}\\{-f(x)，(x＜0)} \end{array} \right.(Ⅰ)若f(1)=0且对任意实数均有f(x)≥0恒成立，求F(x)表达式；(Ⅱ)在(1)在条件下，当x∈[-3，3]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围；(Ⅲ)设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f(x)为偶函数，证明F(m)＞-F(n)．
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，F(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)&，&x＞0}\\{-f(x)&，&x＜0} \end{array} \right.．(1)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；(2)设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)是否大于0？(3)设g(x)=\frac{lnx+1}{e^{x}}，当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[F(x)-1]g′(x)＜1+e-2(其中g′(x)是g(x)的导函数)．
设函数f(x)=ax2-bx+1(a，b∈R)，F(x)=\left\{ \begin{array}{l} {f(x)，x＞0}\\{-f(x)，x＜0} \end{array} \right.(1)如果f(1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0，求F(x)的解析式；(2)在(1)在条件下，若g(x)=f(x)-kx在区间[-3，3]是单调函数，求实数k的取值范围；(3)已知a＞0且f(x)为偶函数，如果m+n＞0，求证：F(m)+F(n)＞0．已知g（x）=-x2-3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．
（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a-1）x2+bx+c-3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=-h（-x），∴（a-1）x2-bx+c-3=-（a-1）x2-bx-c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x2+bx+c-3，∵h（x）为奇函数，∴a-1=0，c-3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；当，即-4≤b＜2时，min＝f(-b2)＝b24-b22+3＝1，解得或（舍）；当，即b＜-4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴2-22x+3．
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（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x2+bx+c-3，由（a-1）x2-bx+c-3=-（a-1）x2-bx-c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x2+bx+c-3，由奇函数可得a-1=0，c-3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．
本题考点：
函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．
考点点评：
本题考查了函数的奇偶性的应用与及二次函数的最值的求法，属于基础题．
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