在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1B1,A1D1的中点，则对角线BD代平面AMN的距离是？_百度知道
在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1B1,A1D1的中点，则对角线BD代平面AMN的距离是？
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用等积法求高即求点B到平面AMN的距离，记为h，V N-ABM = V B-AMNV N-ABM=1/3*S ABM*NA1=1/3*(1/2*3*3)*3/2=9/4易得AM=AN=3/2*根号5，MN=3/2*根号2，MN边上的高为9/4*根号2，S AMN=27/8V B-AMN=1/3*27/8*h所以9/4=1/3*27/8*h，h=2
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看了一下题目，画了一下图，感觉直接做还是很麻烦，所以还是用向量法比较简单。算出平面AMN的法向量，然后再根据DB向量算出结果，详细的嘛，就是通过该法向量与DB向量算出两个向量之间的夹角，那么距离就是DB的值乘以该夹角的余弦值~~~
V N-ABM = V B-AMNV N-ABM=1/3*S ABM*NA1=1/3*(1/2*3*3)*3/2=9/4易得AM=AN=3/2*根号5，MN=3/2*根号2，MN边上的高为9/4*根号2，S AMN=27/8V B-AMN=1/3*27/8*h所以9/4=1/3*27/8*h，h=2
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出门在外也不愁在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE
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P为CC1中点P为CC1中点，则C1E⊥B1PA1B1⊥C1EC1E⊥面A1B1PC1E属于面C1DE平面A1B1P⊥平面C1DE
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＞＞＞如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的..
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G，（Ⅰ）求证：EG∥D1F；（Ⅱ）求二面角C1-D1E-F的余弦值；（Ⅲ）求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1-DCFD1的体积。
题型：解答题难度：中档来源：0127
（Ⅰ）证明：在正方体中，∵平面∥平面，平面∩平面=EG，平面∩平面=， ∴EG∥。
（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为 x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1）， ∴，，设平面的法向量为，则由和，得，取x=1，得y=-2，z=-4，∴，又平面ABCD的法向量为（0，0，2），故；∴截面与底面ABCD所成二面角的余弦值为；
（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V， ∵∽，， ∴，， ∴，，故V棱台， ∴V=V正方体-V棱台。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的..”主要考查你对&&平面与平面平行的判定与性质，柱体、椎体、台体的表面积与体积，二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
平面与平面平行的判定与性质柱体、椎体、台体的表面积与体积二面角
面面平行的定义：
如果两个平面无公共点，则称这两个平面平行。
图形表示：
面面平行的判定定理：
（1）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （线面平行面面平行）， （2）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行）， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（4）平行于同一个平面的两个平面平行。
符号语言：（1） ；（3） ；（4）
面面平行的性质定理：
（1）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行） （2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平行）（3）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线。
符号语言：（1） ；（2） ；（3）
线线平行、线面平行、面面平行间的关系：
由于三者之间相互沟通、相互联系，因此立体几何问题的解决往往一题多解（证）。证明面面平行的常用方法：
(1)反证法，即(2)判定定理或推论，即 (3)“垂直于同一直线的两个平面平行”这一性质，即&(4)向量法，两个平面的法向量平行，则这两个平面平行。侧面积和全面积的定义：
(1)侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．(2)全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积，&
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
柱体、锥体、台体的体积公式：
多面体的侧面积与体积：
旋转体的侧面积和体积：
&半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
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年高中一轮数学复习教案《立体几何初步》
　　立体几何初步
1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．
2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．
3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．
6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．
7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．
　　本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．
平面的基本性质
如果一条直线上的
在同一个平面内，那么这条直线上的
都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．
如果两个平面有
个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
(证明多点共线的依据)．
的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．
经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．
直线，有且只有一个平面．
直线，有且只有一个平面．
例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
求证：点C1、O、M共线．证明：A1A∥CC1确定平面A1C
O∈面A1CO∈A1C面BC1D∩直线A1C＝O
O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上
∴C1、O、M共线
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．
提示：反证法．
例2. 已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面．
证明：设a∩l＝A
a∥b a、b确定平面α
A∈a, B∈b
b∥cb、c确定平面β
同理可证lβ
所以α、β均过相交直线b、l α、β重合 cα a、b、c、l共面
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．
证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，
即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．
∴P、Q、R共线，共线于直线l．
例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；
(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．
证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴ABα，A1B1α，∴AB、A1B1在同一个平面内
同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内
(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．
变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，
求证：(1) E、C．D1、F四点共面；
(2) CE、D1F、DA三线共点．
证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B
∴E、F、D1、C四点共面
(2) 面D1A∩面CA＝DA
∴D1F与CE相交
又D1F面D1A，CE面AC
∴D1F与CE的交点必在DA上
∴CE、D1F、DA三线共点．
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点pd，由d和其外一点可确定一个平面α
同理可证：b、cα
∴a、b、c、d共面
(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点
∴a与b可确定一个平面β
同理c∩a＝F
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上
同理可证：dβ
故a、b、c、d共面
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面内，则A、B、C、D.由公理1知,.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。
1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．
3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．
1．空间两条直线的位置关系为
2．相交直线
一个公共点，平行直线
没有公共点，
异面直线：不同在任
平面，没有公共点．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角
5．异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内
的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)
6．异面直线的距离：和两条异面直线
的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在
的长度，叫两异面直线的距离．
例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2) 求AB和CD间的距离．
证明：(1) 连结CE、DE
同理CD⊥EF
∴EF是AB和CD的公垂线
(2) △ECD中，EC＝＝ED∴EF＝变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中
∴∠EGF＝120°
∴AD与BC成60°的角。
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
∴COS∠QNB＝
∴∠QNB＝arc cos
变式训练2：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离；
(2) 求异面直线SA和EF所成角．
例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；
(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．
解：(1) D1P与AM成90°的角
CN与AM所成角为arc cos.
(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1.
变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，
若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝，
cos∠GNA＝。
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．
（1）证明：∵EF∥CD
∴ AM∥EF，又AM＝EF
∴ AMFE为平行四边形
∵ AB⊥PA，AB⊥AD
∴ AB⊥面PAD
∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF
又∵AE⊥PD
∴ AE⊥面PCD
∴ MF为AB与PC的公垂线．
(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得＝(0，，)，
＝(1，0，0)
面MFEA的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos&，&＝．∴ AC与面EAM所成的角为－arc cos，其正弦值为．
变式训练4：如图，在正方体中，
E、F分别是、CD的中点．
（１）证明；
（２）求与所成的角。
（1）证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1
又DF1DC1，所以AD⊥D1F.
（2）取AB中点G，连结A1G，FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。
1．求两条异面直线所成角的步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；
　(3)求角．
2．证明两条直线异面的常用方法：反证法、定义法(排除相交或平行)、定理法．
3．求异面直线间距离的方法：作出公垂线段，向量法．
直线和平面平行
1．直线和平面的位置关系
直线在平面内，有
直线和平面相交，有
直线和平面平行，有
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外
和这个平面内
平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行
3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面
平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行
例1．如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，
试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．
解：在平面PBC内过M点作MN∥BC，交PC于N点，
连AN则平面AMN为所求
根据线面平行的性质定理及判定定理
变式训练1：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．
求证：MN∥平面BB1C1C．
证明：在面BA1内作MM1∥A1B1交BB1于M1
在面AC内作NN1∥AB交BC于N1
例2. 设直线a∥，P为内任意一点，求证：过P且平行a的直线必在平面内．
证明：设a与p确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a
l∩a'＝p
∴a与a'重合
变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
解：已知α∩β＝l
求证：a∥l
证明：过a作平面γ交平面α于b，交平面β于C，
∵a∥α，∴a∥b
同理，∵a∥β
又平面α经过b交β于l
∴b∥l且a∥b
例3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB；
( 2 ) 求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(1 ) 证明：提示，连结AC交BD于点O，连结EO．
( 2) 解：作EF⊥DC交DC于F，连结BF．
设正方形ABCD的边长为a．∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC．
∴ EF∥PD，F为DC的中点．∴EF⊥底面ABCD，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF＝
∵ EF＝PD＝，∴ 在Rt△EFB中，
tan∠EBF＝．所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为．
变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH平行于对棱
AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？
解：易证截面EFGH是平行四边形
∠FGH＝α(a、b为定值，α为异面直线AB与CD所成的角)
∴y＝(a－x)
∴S□ EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)sinα
且x＋(a－x)＝a为定值
∴当且仅当
即x＝时(S□ EFGH)max＝
例4．已知：ABC中，ACB＝90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将ADE折起使A到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE，M是A'B的中点，求证：ME∥面A'CD．
证明：取A'C的中点N，连MN、DN，
又ME面A'CD
ND面A'CD
∴ME∥面A'CD
变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
( 1 ) 求证：AC⊥BC1；
(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
解：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5．
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∴DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；
（3）∵DE∥AC1，∴CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED =
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．
直线和平面垂直
1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的
直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的
直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
3．直线和平面垂直性质
若a⊥，b则
若a⊥，b⊥则
若a⊥，a⊥则
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
4．点到平面距离
过一点作平面的垂线
叫做点到平面的距离．
5．直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上
到这个平面的距离叫做直线到平面距离．
例1. OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心．求证：OG平面ABC．
证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直
∵OA⊥平面OBC
又G为△ABC的垂心
∴ AG⊥BC, ∴ BC⊥面OAG∴BC⊥OG同理可证：AC⊥OG
又BC∩AC＝C
∴OG⊥平面ABC
变式训练1：如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
证明：(1) BC⊥面SAB
(2) 由(1)有AE⊥面SBC
(3) 由(2)有SC⊥面AEFSC⊥EF
如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．
(1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
证明：(1) 连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R
∵N为PC中点
∴NO为△PAC的中位线
而PA⊥平面ABCD
∴NO⊥平面ABCD
∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形
M为AB中点，O为AC中点
∴MO⊥CD∴CD⊥MN(2) 连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA
又O为MR的中点，且NO⊥MR
∴△MNR为等腰三角形 且∠NRM＝∠NMR＝45°
∴∠MNR＝90°
∴MN⊥平面PCD
变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．
求证：① ABCD是正方形；② PC⊥BC．
例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
(1) 证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在
平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC，
∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE
∵F为PB中点，∴EF⊥PB．
由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，
∴EF⊥FA．
∵ PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．
(2) 解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．
∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝．
由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝
∴sin∠GAH＝
∴AC与面AEF所成的角为arc sin．
变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D点到平面ABC的距离d．
(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6，
又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝d，
VA－BCD＝VD－ABC，则d＝6，解得d＝.
例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；
(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；
(3) 求点P到平面ABD1的距离．
答案： (1) ∠APB＝arctan
(2) AP在面AC上的射影为AC
而BD∥B1D1
∴B1D1⊥AP
而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H
(3) 面ABD1⊥面BC1
过P作PM⊥BC1于M则PM＝变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．
(1) 求证H是△ABC的垂心；(2) ．(1) 证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，
∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，
∴VA⊥VBC面，又BCVBC面，∴BC⊥VA．
∵VH⊥ABC面，BCABC面，
∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．
又ADVHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB，
∴H是△ABC的垂心．
(2) 连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×EC
AB2×VE2＝AB2×EH×EC，即．线面垂直的判定方法：(1) 线面垂直的定义；
(2)判定定理；
(3) 面面垂直的性质；
(4) 面面平行的性质：若∥，a⊥则a ⊥
三垂线定理
1．和一个平面相交，但不和这个平面
的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做
2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的
叫做点在平面内的射影；
(2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的
斜线上任意一点在平面上的射影一定在
垂线在平面上的射影只是
直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线
的一条直线．
3．如图，AO是平面斜线，A为斜足，OB⊥，B
为垂足，AC，∠OAB＝，BAC＝，
∠OAC＝，则cos＝
4．直线和平面所成的角
平面的斜线和它在这个平面内的
叫做这条直线和平面所成角．
斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中
5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的
垂直，那么它也和
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
垂直，那么它也和这条
例1. 已知RtABC的斜边BC在平面内，A到的距离2，两条直角边和平面所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD和平面所成的角；
(2) 点A在内的射影到BC的距离．
答案：(1) 60°
变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．
解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝10
例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1
分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿
BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1BC1；
求证：A2CA1B1．
解：取A2B1中点D1
∵A2C1＝B1C1
∴C1D1⊥A2B1
又A1A2⊥面A2B1C1
∴C1D1⊥A1A2
∴C1D1⊥面A1A2B1B
∴BD1是BC1在面A2B上的射影
由A1B1⊥BC1
∴BD1⊥A1B1
取A1B中点D
同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影
∴A2DBD1是平行四边形
由BD1⊥A1B1
∴A1B1⊥A2D
∴A2C⊥A1B1
变式训练2：如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长，设这条最短路线与CC1交点N，求：
(1) PC和NC的长；
(2) 平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)大小．
解：将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面
AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，
连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线
设PC＝x，则P1C＝x，在Rt△MAP1中，由勾股定理得x＝2
∴PC＝P1C＝2
(2) 连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，又CC1⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得CH⊥PP1
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成的平面角(锐角)
在Rt△PHC中
∵∠PCH＝∠PCP1＝60°
在Rt△PHC中
故平面NMP与平面ABC所成二面角大小为arctan
例3.如图在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
(1) 试确定点F的位置，使得D1E面AB1F；
(2) 当D1E面AB1F时，求二面角C1－EF－A大小．
解：(1) 连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影
∵AB1⊥A1B
∴D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F
连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影
∴D1E⊥AFDE⊥AF
∵ABCD是正方形，E是BC的中点
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF
即当点F是CD的中点时，D1E⊥面AB1F
(2) 当D1E⊥平面AB1F时，由(1) 知点F是CD的中点，又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD连AC，设AC与EF交点H，则CH⊥EF，连C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影
即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角
在Rt△C1HC中
∴tan∠C1HC＝
∴∠C1HC＝arctan 2
∴∠AHC1＝π－arctan2
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1中棱长a，点P在AC上，Q在BC1上，AP＝BQ＝a，
(1) 求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；
(2) 求证：PQ⊥AD．
(1) 解：过Q作QM∥CC1交BC于M
则QM⊥面ABCD
∴∠QPM就是所求角
在Rt△PQM中
∴tan∠QPM＝＝＝＋1
(2) 由(1) 可知PM⊥BC
PQ在面ABCD内的射影是PM.
例4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1) 证明：D1E⊥A1D；
(2) 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
(3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．
(1) 证明：∵ AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E．
(2) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC＝CD1＝，AD1＝，＝··＝，而＝·AE·BC＝．
∴＝·DD1＝·h
∴×1＝×h，
(3) 过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1－EC－D的平面角．设AE＝x，则BE＝2－x
在Rt△D1DH中，∵∠DHD1＝，∴DH＝1
∵在Rt△ADE中，DE＝，∴在Rt△DHE中，EH＝x，在Rt△DHC中，CH＝，CE＝，则x＋＝，解得x＝2－．
即当x＝2－时，二面角为D1－EC－D的大小为．
变式训练4：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝a．
(1) 求证：PD⊥面ABCD；
(2) 求直线PB与AC所成角；
(3) 求二面角A－PB－D大小．
证明：(1) ∵PC＝a
∴PD2＋DC2＝PC2
∴△PDC是直角三角形
同理PD⊥DA
又∵DA∩DC＝D
∴PD⊥平面ABCD
∵ABCD是正方形
又∵PD⊥平面ABCD
AC⊥PB(三垂线定理)
∴PB与AC所成角为90°
(3) 设AC∩BD＝0
作AE⊥PB于E，连OE
PD⊥平面ABCD
∴AC⊥平面PDB
又∵OE是AE在平面PDB内的射影∴OE⊥PB∴∠AEO就是二面角A－PB－O的平面角
∵PD⊥面ABCD
在Rt△PAB中
AE·PB＝PA·AB
∴sin∠AEO＝
∴∠AEO＝60°
1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．
2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．
３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面线⊥线；向量法．
平面与平面平行
1．两个平面的位置关系：
2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条
直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时
的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的
，两个平行面的公垂线段的
，叫做两个平行平面的距离．
例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN
又MN∩AN＝N
∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD
∴∠AMN为AM与BD所成角
cos∠AMN＝
变式训练1：如图，∥，AB交、于A、B，
CD交、 于C、D，ABCD＝O，O在两平面之间，
AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．
解：依题意有AC∥DB
∴CD＝＋6＝
例2 . 已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．
证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC
β∩γ＝BD
∴EF∥AC∥BD
∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD
在AA'截点O，使
∴EO∥BA'
OF∥A'D
∴平面EOF∥α∥β
∴EF与α、β无公共点
∴EF∥α∥β
变式训练2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：(1) APMN；
(2) 平面MNP∥平面A1BD．
证明：(1) 连BC1
易知AP在BCC1B1内射影是BC1
(2) ∵面MNP∥面A1BD
例3.已知a和b是两条异面直线．
(1) 求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β；
(2) 求证：a、b间的距离等于平面α与β的距离．
(1) 在直线a上任取一点P，过P作b'∥b，在直线b上取一点Q
过Q作a'∥a
设a, b'确定一个平面α
a', b确定平面β
a'∥a
∴a'∥α
又a'、bβ
因此，过a和b分别存在两个平面α、β
(2) 设AB是a和b的公垂线，则AB⊥b，AB⊥a
∴AB⊥a'
a'和b是β内的相交直线，∴AB⊥β
同理AB⊥α
因此，a, b间的距离等于α与β间的距离．
变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．
解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，
∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC．
S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．
例4.如图，平面∥平面，ABC．A1B1C1分别在、内，线段AA1、BB1、CC1交于点O，O在、之间，若AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，OA:OA1＝3:2．
求A1B1C1的面积．
解：∵α∥β
AA1∩BB1＝O
∴AB∥A1B1
同理AC∥A1C1
∴△ABC∽△A1B1C1
S△ABC＝AB·AC·sin60°＝∴∴＝
变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E是PD的中点．
（1）证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．
（1）证：因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以AB＝AD＝AC＝a，
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2知PA⊥AB，
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因为＝＋＋＝2＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋
∴ 、、共面．
PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．
（2） 解：作EG∥PA交AD于G，由PA∥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG＝a，AG＝a，GH＝AG sin 60°＝a，
所以tanθ＝．
1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理．
2．正确运用两平面平行的性质．
3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线线∥面面∥面．
两个平面垂直
1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为
二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面
有一条直线
另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面
的垂直于它们的
的直线垂直于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF＝，其中：d是异面直线a、b的
，θ为a、b
，m、n分别是a、b上的点E、F到
AA'与a、b的交点A，A'的距离．
如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．
变式训练1：如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
⑴ 求证：AB⊥BC；
⑵ 若设二面角S－BC－A为45°，
SA＝BC，求二面角A－SC－B的大小．
证明：(1) 作AH⊥SB于H，则AH⊥平面SBC
∴AH⊥BC， 又SA⊥BC
∴BC⊥平面SAB
(2) ∠SBA是二面角S－BC－A的平面角，∠SBA＝45°，作AE⊥SC于E，连结EH，EH⊥SC，∠AEH为所求二面角的平面角，∠AEH＝60°
例2.在120°的二面角P－a－Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B，已知点A和点B到棱a的距离分别是2和4，且线段AB＝10，求：
(1) 直线AB和棱a所成的角；
(2) 直线AB和平面Q所成的角．
答案：(1) arc sin
(2) arc sin
变式训练2：已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
（1） 证明：平面PED⊥平面PAB；
（2） 求二面角P－AB－F的平面角的余弦值．
（1）证明：连BD．∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ADB为等边三角形，∴E是AB中点．∴AB⊥DE，∵PD⊥面ABCD，AB面ABCD，∴AB⊥PD．
∵DE面PED，PD面PED，DE∩PD＝D，
∴AB⊥面PED，∵AB面PAB．∴面PED⊥面PAB．
（2）解：∵AB⊥平面PED，PE面PED，∴AB⊥PE．连结EF，∵ EF面PED，∴AB⊥EF．
∴ ∠PEF为二面角P－AB－F的平面角．
设AD＝2，那么PF＝FD＝1，DE＝．
在△PEF中，PE＝，EF＝2，PF＝1
∴cos∠PEF＝
即二面角P－AB－F的平面角的余弦值为．
例3.如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．
⑴ 求证：AF∥平面PEC；
⑵ 求证：平面PEC⊥平面PCD；
⑶ 设AD＝2，CD＝2，求点A到面PEC的距离．
证明：(1) 取PC的中点G，易证EG∥AF，从而AF∥平面PEC
(2) 可证EG⊥平面PCD
(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC⊥平面PCD，过F作FH⊥PC于Ｈ，则FH即为所求，由△PFH～△PCD得FH＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
⑴ 证明：AB⊥平面VAD；
⑵ 求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
（1）证明：
平面VAD⊥平面ABCD
AB⊥平面VAD
AB平面ABCD
AD＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD的中点E，连结AE、BE．
∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD．
∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE．
又由三垂线定理知BE⊥VD．
于是tan ∠AEB＝＝,
即得所求二面角的大小为arc tan
例4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.
⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；
⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；
(3) 求点C1到平面A1CB的距离．
证( 1) 因为四边形BCC1B1是矩形，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1．
（2）过A1作A1D⊥B1B于D，连结DC，
∵BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D．
∴ A1D⊥平面BCC1B1，
故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，
在矩形BCC1B1中，DC＝，因为四边形A1ABB1是菱形．
∠A1AB＝60°，CB＝3，AB＝4，∴ A1D＝2
∴ tan∠A1CD＝．
（3）∵ B1C1∥BC，∴B1C1∥平面A1BC．
∴ C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离．
连结AB1，AB1与A1B交于点O，∵四边形A1ABB1是菱形，∴B1O⊥A1B．
∵ 平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，
∴ B1O即为C1到平面A1BC的距离．
∴ C1到平面A1BC的距离为2．
变式训练4：如果在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
⑴ 若G为AD边的中点，求证BG⊥平面PAD；
⑵ 求证AD⊥PB；
⑶ 求二面角A－BC－P的大小；
⑷ 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
答案 (1) 略
(4) F为PC的中点
在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．&线线垂直&、&线面垂直&、&面面垂直&间的转化是解决这类问题的关键．
1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'
a，b'
b，把直线a'和b'所成的
叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的
角，叫做这条斜线和平面所成的角．
规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是
角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是
公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是
3．二面角：从一条直线出发的
所组成的图形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上
一点为端点，在两个面内分别作
棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是
例1. 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求EF与平面PAD所成角的大小；
（2）求EF与CD所成角的大小；
（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F-AB-D的大小．
解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；
(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；
(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．
变式训练1：如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1
-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成
的角的大小．
答案：arccos
例2. 在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为2，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求：
⑴ AC1的长；
⑵ AC1与MN所成的角；
⑶ AC1与平面ADMN所成的角．
答案：(1) 16
(2) arcsin
(3) arcsin
变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面ABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：
⑴ 二面角S－CB－A的大小；
⑵ 直线SC与AB所成角的大小．
答案：(1) arctan
(2) arccos
例3. △ABC和△DBC所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：
⑴ AD与平面DBC所成的角；
⑵ 二面角A－BD－C的正切值．
解：(1) 作AE⊥BC交BC的延长线于E，
由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°
(2) 作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2
变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．
⑴ 求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
⑵ 求证：AB1∥平面BEC1；
⑶ 若，求二面角E－BC1－C的大小．
答案：(1) 略
例4: 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1) 当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°；
(2) 在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.
解(1) 取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，
由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.
∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，
设C1M＝x，B1N1＝a.
sin & B1MN1＝, 解得x＝a，
则C1M＝C1C, ∴M为C1C的中点.(2) arccos变式训练4：已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、
CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二
面角A-DE-C的大小为，若△ACD
为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G
是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．
解：点A在平面BCDE内的射影在直线EF上，
过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，
连结GC、GD．
∵△ACD为正三角形，
∴AC＝AD，∴GC＝GD，
∴G在CD的垂直平分线上，又∵EF是CD的垂直平分线，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE．∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG＝，
设原正方形ABCD的边长为2a，由直角三角形的射影定理，
可得AH＝，GH＝，∴．1．两异面直线所成角的作法：
① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择&特殊点&，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线；
② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．
2．作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．
3．平面角的作法：
① 定义法；② 三垂线法；③ 垂面法．
4．二面角计算，一般是作出平面角后，通过解三角形求出其大小，也可考虑利用射影面积公式 S'＝Scosθ来求．
5．空间角的计算有时也可以利用向量的求角公式完成．
1．点与点的距离：两点间
2．点与线的距离：点到直线的
3．平行线间的距离：从两条平行线中一条上
一点向另一条引垂线，这点到
之间的线段长．
4．点与面的距离：点到平面的
5．平行于平面的直线与平面的距离：直线上
一点到平面的
6．两个平行平面间的距离：从其中一个平面上
一点向另一个平面引垂线，这点到
之间的线段长．
7．两条异面直线的距离：与两条异面直线都
的直线夹在两
间线段的长．
例1. 已知正六边形ABCDEF的边长为a，PA⊥平面AC，PA＝a．求：
⑴ P到直线BC的距离；
⑵ P到直线CD的距离．
变式训练1：
已知平面外不共线的三点A、B、C到α的距离相
等．求证：存在△ABC的一条中位线平行α或在α内．
提示：分A、B、C在的同侧与异侧讨论
例2．如图， 直线l上有两定点A、B， 线段AC⊥l，BD⊥l，
AC＝BD＝a，且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离．
解：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE＝AC，
则ABEC为矩形．
∴AB∥CE，∴AB∥平面CDE．
则AB与CD的距离即为B到DE的距离．
过B作BF⊥DE于F，易求得BF＝，∴AB与CD的距离为．
变式训练2：ABCD是边长为a的正方形，M、N分别为DA、BC边上的点，且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角．
⑴ 求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，∠AOC的大小不变；
⑵ 当MN在怎样的位置时，点M到平面ACD的距离最大？
并求出这个最大值．
解(1) 120°；
(2) 当且仅当MA＝MD时，点M到平面ACD的距离最大，最大值为a．
设MD＝x，M到AD的距离h即是M到平面ACD的距离：
h＝≤＝≤a(当x＝时两不等式同取等号)
例3. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解：连结AC、BD、AC∩BD＝0，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴B到平面EFG的距离即0到平面EFG的距离，AC∩EF＝K，连结KG，
∵EF⊥KC，∴EF⊥平面KGC，过O作OH⊥KG于H，则OH⊥平面EFG，
∴OH即为O到平面EFG的距离，KC＝AC＝3，KG＝，OK＝AC＝，由Rt△OHK∽Rt△CKG得OH＝．
变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，Ｅ、F分别是BB1、CD的中点.
⑴ 求证：AD⊥D1F；
⑵ 求证：AE与D1F所成的角；
⑶ 求点F到平面A1D1E的距离．
答案：(1) 略
(3)将F移至AB中点研究．
例4．在正北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为100千米/小时，一架飞机在一定高度上的一条直线上飞行，速度为100千米/小时，从汽车里看飞机，在某个时刻看见飞机在正西方向，仰角为30°，在36秒后，又看见飞机在北偏西30°、仰角为30°处，求飞机飞行的高度.
解：如图A、C分别是汽车、飞机开始时的位置，
B、D分别是经过36秒后的位置，ABEF是水平面，
CFED是矩形，且CD＝×100＝(千米)，
AB＝×100＝1千米，CF(或DE)则为飞机的飞行高度，设其为x千米，在Rt△CFA中，AF＝x；在Rt△DEB中，BE＝x. 作EG⊥AB于G，EH⊥AF于H，则EG＝AH＝x，EH＝AG＝1＋，FH＝x. 在Rt△FHE中，EF2＝FH2＋EH2，即()2＝(x) 2＋(1＋)2，∴ x＝1. 故飞机飞行的高度为1千米．
变式训练4：如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（1）若点D到平面ABC的距离不小于3，求二面角A-BC-D的取值范围；
（2）当二面角A-BC-D的平面角为时，求点C到平面ABD的距离．
解(1)(提示：D到平面ABC的距离d∈[3，] )
(2)取BC中点E，连结EA、ED，则∠AED＝
∴AD＝AE＝∵又，设C到平面ABD的距离为h．则1．对于空间距离的重点是点到直线、点到平面的距离，对于两异面直线的距离一般只要求会求给出公垂线段时的距离．
2、求点到平面的距离的方法：
⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．
⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.
(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.
3．距离问题有时也可以利用向量的模的计算解决．具体见第11节的小结4、5两点.
1．定义：如果一个多面体有两个面互相
，而其余每相邻两个面的交线互相
，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的
，其余各面叫做棱柱的
，两侧面的公共边叫做棱柱的
，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的
2．性质：① 侧棱
；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的
多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是
3．分类：① 按底面边数可分为
；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．
5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的
1．定义：如果一个多面体的一个面是
，其余各面是有一个公共顶点的
，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的
；余下的那个多边形，叫做棱锥的
．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的
，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的
；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的
2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面
，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的
3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是
多边形，且顶点在底面的射影是底面的
，这样的棱锥叫做正棱锥．
4．正棱锥的性质：
① 正棱锥各侧棱
，各侧面都是
的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高
（它叫做正棱锥的
② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个
三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个
例1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，
点E为CC1的中点，点F为BD1的中点.
⑴ 证明：EF为BD1与CC1的公垂线；
⑵ 求点F到面BDE的距离.
答案(1)略；
变式训练1：三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，
BC、AC、AA1长均为a，A1在底面ABC上的射影O在AC上．
⑴ 求AB与侧面AC1所成的角；
⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．
答案(1) 45°；(2)
例2. 如图，正三棱锥P-ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．
（1）求侧PAB与底面ABC成角大小；
（2）若E为PC中点，求AE与BC所成的角；
（3）设AB＝，求P到面ABC的距离．
(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；
(3)P到平面ABC的距离为．
变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成的角；
（3）求点E到平面ACD的距离．
答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；
(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．
例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．
⑴ 求证：PA⊥BD；
⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；
⑶ 求直线PD与BC所成的角．
答案：(1)略；(2)；(3)60°
变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点．
⑴ 求证：AD⊥BC1；
⑵ 求二面角A－BC1－D的大小；
⑶ 求点C到平面ABC1的距离．
提示：(1)证AD⊥平面BB1C1C；(2) arc tan；(3) a．
例4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1，M为AB的中点，A1D＝3DB1．
（1）求证：平面CMD⊥平面ABB1A1；
（2）求点A1到平面CMD的距离；
（3）求MD与B1C1所成角的大小．
提示(1)转证CM⊥平面A1B；
(2)过A1作A1E⊥DM，易知A1E⊥平面CMD，∴求得A1E＝1；
(3)异面直线MD与B1C1所成的角为
变式训练4：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝，O为对角线A1C的中点．
⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；
⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A1CD？并证明你的结论．
答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A1CD．
柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．
1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．
2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．
3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．
1．球：与定点的距离
定长的点的集合．
2．球的性质
(1) 用一个平面去截一个球，截面是
(2)球心和截面圆心的连线
(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系：
(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫
．被不经过球心的平面截得的圆叫
(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫
3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝
；球的体积V＝
例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：
(1) 的大小；
(2) 球心O到截面ABC的距离．
解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以
(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．
变式训练1：
球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积．
解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．
例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．
(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；
(2) 若求B、D两点间的球面距离．
解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．
取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．
(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：
所以B、D两点间的球面距离是.
变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．
(1) 求证：MA2＋MB2＋MC2为定值；
(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．
解：(1) 易求得MA2＋MB2＋MC2＝4R2！
(2) S△MAB＋S△MAC＋S△MBC＝(MA·MB＋MA·MC＋MB·MC)≤(MA2＋MB2＋MC2)＝2R2(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).
例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面（如图），则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（
）A．B．C．D．
解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，
故选（C）．
变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
(1) 证明：PC⊥平面PAB；
(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；
(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.
解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC
∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF
∵AC平面PCF
∴PC⊥平面PAB.
(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF
∴∠PFC为所求二面角的平面角
设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝,
∴cos∠PFC＝.
(3) 设PA＝x, 球半径为R
∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB
∵4πR2＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x2＝x·2R.
得△ABC的边长为2.
1．因为&球&是&圆&在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．
2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化&球&为&圆&来解决问题．
3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．
4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用&AB既是小圆的弦，又是大圆的弦&这一事实，其一般步骤是：
(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；
(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；
(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；
(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．
立体几何初步单元测试
一、选择题
1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是
A．异面直线
B．相交直线
C．平行直线
D．以上都有可能
2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 （
A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n
C．若mα，nα，m∥n，则n∥α
D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β
3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
4． 点P到ΔABC三边所在直线的距离相等，P在ΔABC内的射影为O，则O为ΔABC的（
D．以上都不对
5． 已知ABCD为四面体，O为△BCD内一点（如图），则是O为△BCD重心的（
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
6． 已知△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 （
7． A、B两地在同一纬线上，这两地间的纬线长为pRcosa，（R是地球半径，a是两地的纬度数），则这两地间的球面距离为
8． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为
9．空间四边形ABCD的各边与对角线的长都为1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P和Q的最短距离为
10．若四面体的一条棱长为x，其余棱长为1，体积为F(x)，则函数F(x)在其定义域上 （
A．是增函数但无最大值
B．是增函数且有最大值
C．不是增函数且无最大值
D．不是增函数但有最大值
二、填空题
11．在长方形ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是
12．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底面的边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角为
13．已知球的两个平行截面面积分别是5、8，它们位于球心的同侧，且相距为1，那么这个球的半径是
14．已知PA、PB、PC两两垂直且PA＝，PB＝，PC＝2，则过P、A、B、C四点的球的体积为
15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为4cm，过BC作一个截面，截面与底面ABC成60°角，则截面的面积是
三、解答题
16．设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心．
(1) 证明：PQ∥平面AA1B1B；
(2) 求线段PQ的长．
17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a，求
(1) 异面直线与所成的角；
(2) 当为何值时，使？
18．如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点．
(1) 求异面直线B1O与AM所成角的大小．
(2) 求二面角B1－MA－C的正切值．
19．底面为等腰直角三角形的直三棱柱，，D为上的点，且，求二面角的大小．
20．如图，α⊥β,α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝，求：
（1）直线AB与平面β所成角的大小；
（2）二面角A1-AB-B1的大小．
21．直四棱柱A1B1C1D1-ABCD底面是边长为1的菱形，侧棱长为
(1) 求证：平面A1DC1⊥平面BB1DD1；
(2) 若异面直线B1D与A1D1所成角为60°，求二面角A1－DB1－C1的平面角的余弦值；
(3) 判断∠DB1C1能否为钝角？请说明理由.
立体几何初步单元测试参考答案：
16．（本题考查证明线面平行的方法）
证法二：连结AD1，AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B的中点
∴PQ∥AB1，且PQ＝AB1
∵ PQ面AA1B1B，AB1AA1B1B
∴ PQ∥面AA1B1B
证法三：取A1D1的中点R，则PR∥DD1∥BB1，OR∥A1B1，平面PQR∥平面AA1B1B，PQ∥平面AA1B1B
(2) 方法一：PQ＝MN＝
方法二：PQ＝AB1＝
评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到&线线平行&，从而证得&线面平行&；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到&线线平行&，从而证得&线面平行&．本题证法较多．
17．解：以D为坐标原点，以DA为轴，DC为轴，为轴建立空间直角坐标系，则有：
所以，．从而
所以异面直线与所成的角为．
(2) 当时，．18．(1)方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.
易证AM⊥A1N
∴AM⊥B1O（三垂线定理）
方法三：建立空间真正坐标系（以A为原点，岔以AB、AD、AA为x轴、y轴、z轴，设正方体棱长为1）
则A(0, 0, 0)，M(0, 1, )，O(，，0)，B1(1, 0, 1)
概率 （一）事件与概率 1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率...第五章 立体几何初步 必修2 2011高考导航 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构...上海市03-08年高考数学试题汇编 立体几何 (一 )填空题 1、有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形... 年高三级一流精品讲、练、测学案-- 函数导数专题 【命题趋向】函数是高考考查能力的重要...学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料 第4讲 基本初等函数 一．【课标要求】 1．指...2011版高三数学一轮精品复习学案： 等差数列与等比数列 【高考目标定位】 一、数列的概念与简单表示...南涧民中2010年高三上学期第一次月考试卷 理科数学试题 命题人：自庭秀、龙金保 审题人：马子红 班...重庆市高-2010学年度上期高三期末考试 数学（文科） 重庆市高-2010学年度上期高三期末考试 数学（理科）
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