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1 rpc_queries证明费马点
证明费马点
费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.对于任意三角形△ABC，若三角形内某一点P令PA+PB+PC三线段有最小值的一点，P为费马点。作法*当三角形的内角都小于120度时o向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'o连接CC'、BB'、AA'*当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。费马点的另外一种解法:在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的符合条件的三角形（任意顶角小于120度）在三个顶点和费马点处打洞（无限小，壁光滑）用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过三个顶点的洞再打个结系在一起。（结当然也是理想的啦，无限小）松手让整个系统自由运动。那么，绳结一定会落在费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）所以三根绳子之间的夹角均为120度。若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小
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理工学科领域专家费马点的证明_百度知道
费马点的证明
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以后不懂就搜索百度百科，懂么！？
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1&A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
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怎样做出费马点
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若有一个内角大于等于120度，就是这个顶点。 若没有的话，就是到三边张角均为120度的角。 你可以用尺规在一个边AB外做一个正三角形。找出它的重心（AB边中线距顶点2/3处）。以这点为圆心，过A,B两点做圆，同理作BC,CA边的圆，交点即为费马点。
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费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点） 这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli ）考虑的一个几何难题。
托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？ 先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。 这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.
以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是
P'A +P'B +P'C &P'A'+P'B'+P'C' =PA +PB +PC
其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法
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