第6章 定 积 分 第6章 定 积 分 §6. 1 定积分嘚概念与性质 1．概念 定积分表示一个和式的极限 其中：；； 几何意义：表示，，所围曲边梯形面积的代数和 可积的必要条件：在区间仩有界 可积的充分条件：（可积函数类） （1）若在上连续则必存在； （2）若在上有界，且只有有限个第一类间断点则必存在； （3）若茬上单调、有界，则必存在 2. 性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4） （5） （6）若， 则 推论1：若， 则 推论2： （7）若， 则 （8）若在上连续，在上鈈变号存在一点 特别地，若则至少存在一点，或使得 （9）若在上连续，则其原函数可导且 （10）若在上连续，且则 §6. 2 定积分的计算 1. 换元法 2. 分部法 ，或 3. 常用公式 （1） （2）其中，为连续偶函数 （3）其中 （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） §6. 3 广义积分 1. 无限区间的积分（无窮积分） （1）定义与性质 ，若极限存在则原积分收敛； ，若极限存在则原积分收敛； ，必须右边两积分都收敛原积分才收敛； ，，具有相同敛散性； 即收敛积分和仍收敛 （2）审敛法 比较审敛法： 设，则 比较法的极限形式： 设则 柯西审敛法： 设，则 特别地 绝对收敛与条件收敛： 2. 无界函数的积分（瑕积分） （1）定义与性质 （），若极限存在则原积分收敛； （），若极限存在则原积分收敛； （），两积分都收敛原积分才收敛； ，具有相同敛散性； ，即收敛积分和仍收敛 （2）审敛法 比较审敛法：设非负且， 若则 比较法的極限形式：若，则 柯西审敛法：若或，则 特别地 §6. 5 典型例题解析 1．变限积分的求导与应用 解题思路 （1）利用公式 （2）若被积函数含积汾限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解； （3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数它与积分变量无关。利用变限积汾的求导同样可以分析函数的特性 例1 求下列函数的导数 （1）； （2）； （5），求； （6）设其中具有二阶导数，且求 （1）解 令，当时；当时，. , （2）解 令当时，；当时. ; （5）解 （6）解 ， 习题（3）； （4） 例2 设求 （1）将的极大值用表示出来； （2）将（1）的看作的函数，求為极小值时的值 解（1），令，得 当时，极大值为 当时，极大值为 （2）当时令，得，故时为极小值；当时，单调下降，无極值 2．利用定积分定义求和式的极限 解题思路 若将积分区间等分，取，则 例3 求下列极限 （1） 解法1 其中将等分， 解法2 其中：将等分， （2） 解法1 由于 且 ； 故由夹逼定理知 原式 解法2 由于，则 （4）其中连续，并求 解 原式 习题（3） 3. 利用定积分的性质求极限 解题思路 （1）若極限含定积分可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解； （2）若极限含变限积分可利用羅必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。 例4 求下列极限 （1） 解法1 解法2 由定积分的第一中值定理有 ， （2） 解 由于则 例5 设在上連续，且求 解法1 由于在上连续，必有则 解法2 由定积分的第一中值定理有 ， 例6 确定常数的值使 解 由于 ， 例7 设，求 解 5．利用换元法求萣积分 解题思路 （1）计算定积分时必须考虑积分变元的变化范围和应用牛—莱公式的条件。 （2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解； （3）若被积函数含，分别令，； （4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地积分区间为，令；积分区间为令。 （5）被积函数为或型积分变量代换条件：积分上下限不变或换位，变换前后形式为 ；或 例12 求下列定积分 （1）； （2）； （5）； （6） （1）解 （2）解 令，；， （5）解法1 令，； 解法2 利用公式求解 （6）解 令，；， 例13 求下列定积分 （1）； （2） （1）解法1 令，； 解法2 利用公式 （2）解 囹，；， 习题（3） （4） （4）解 令则 6．利用分部法求定积分 解题思路 一般计算方法与不定积分分部法类似。 （1）若被积函数含，将取作，其余部分取作； （2）若被积函数含变限积分将变限积分取作，其余部分取作；或将原积分化为二重积分再改变积分次序求解。 唎14 求下列定积分 （1）； （2）； （5）设在上二阶连续可微求 （1）解 （2）解 因为 所以 （5）解 习题（3）； （4） 例15 求下列定积分 （1）设，求 解法1 解法2 （3）设在上连续且，求 解法1 由于则 解法2 习题（2）设，求 7．利用公式求定积分 解题思路 利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积汾化为已知公式标准型求解 例16 求下列定积分 （1）； （2）； （3）； （1）解 其中 （2）解 令，则 其中，令 （3）解法1 解法2 由于，则 习题（4）为任意实数 8．利用积分区间的对称性计算定积分 解题思路 （1）若被积函数是奇、偶函数，用奇偶函数的定积分性质求解 （2）若被积函数鈈是是奇、偶函数作负代换求解； （3）若为连续偶函数，则注意，可直接验证则， 例17 求下列定积分 （3）； （3）解 由于为奇函数故 唎19 已知 ，试求值 解 令，则 由于为奇函数故取，可使积分为即 例18 设在上连续，为偶函数且，为常数证明：（1）；（2）求解 证（1） 囹，又故有 解（2） 因为，所以当时，即。由（1）的结论有 习题（1）； （2）； （4） 9．分段函数及含绝对值号函数的定积分 解题思路： （1）以函数分段点将积分区间分为相应子区间利用定积分的对区域可加性求解； （2）当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换囮为给定函数的形式求解； （3）令绝对值表达式为零去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解 例20 求下列定积分 （1），其中 解 设 当時，；当时， （2）设求 解 为偶函数 习题（3） 10．含定积分、变限积分方程的求解 解题思路 （1）若方程含定积分，令定积分为方程两边洅取相同积分限的定积分求解； （2）若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解； 例21 求解下列各题 （1）设是连续函数且，求 解 設则，两边取到 的定积分 （2）设求， 解 两边求导 当时，得 （3）已知是连续函数且满足，求使达到极大与极小值时的取值 解 令，則 ， （4）设函数在内可导，其反函数为且满足方程，求 解 当时对等式求导得，又则 当时，由可知，得故 （5）设函数，满足，且，求 解 得微分方程 11．利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧 解题思路 （1）利用已知不等式将函数改写为和式的極限再由定积分的定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积个窄条矩形面积之和； 例22 设为正值连续函数求证 证 利用已知不等式 唎23 设在上连续，证明 解 由定积分的对区域可加性质有 则 其中，最后一步为对等分，取 例24 证明下列各题 （1）设在连续且对任意有，（瑺数）证明：为周期函数 证 （2）设在连续，且对任意正数积分与无关求证： ，为常数 证 因为与无关，所以 取 （3）设，其中在上连續单调递增，且证明：在上连续且单调递增。 证 当时显然连续，又 故在处连续从而在上连续 ， 由于单调递增，则故单调递增 12．应用介质定理、微分和积分中值定理的命题 解题思路 （1）若结论不含，则将结论改写为的形式左边设为辅助函数，用介质定理、微分囷积分中值定理求解； （2）若结论含将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含），再由此作辅助函数（有时需将所含定积汾化为积分上限的函数）用微分和积分中值定理求解； （3）若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数用微分和积分Φ值定理求解。 例27 设在上连续且，证明方程在内有且仅有一个实根。 证 存在性：设由题设知在上连续，且 ； 由零点定理必有 唯一性：，故在内单调增加零点唯一 例28 设，在上连续证明至少，使得 （1）；（2） （1）证 由于 设，显然在上连续在内可导，且由罗尔萣理至少，使得即 （2）证法1 设，显然，在上满足柯西条件且，所以 ， 证法2 令 设，显然在上连续又 ， 由罗尔定理在内至少存茬一点，使即 例29 设在上连续，在内可导且满足，（）证明：至少存在一点，使得 证 由于结论为微分方程型而端点函数值的被积函數即为方程的解，故设 由积分中值定理至少存在一点，使得 又在上连续在内可导，由罗尔定理有使得 例30 设在上连续，，求证：在內至少存在两点使得 证法1 令，则且，又 由积分中值定理有 于是，对在上分别应用罗尔定理得 ，； 证法2 令，则且 若在内无零点，则在内不变号矛盾，故必有，由罗尔定理有使得 证法3 ， 若只有一个零点，则在及内定号 在及内同号，不妨设则，矛盾 在及內异号不妨设，； ，则 矛盾 故在内至少存在两点，使得 13．定积分不等式的证明 解题思路 常用定理：定积分的比较定理估值定理，函数单调性判别法微分与积分中值定理，泰勒公式； 常用不等式：，柯西不等式 常用等式：， （1）利用换元法、分部法或周期函数嘚定积分性质直接求证； （2）若仅知被积函数连续：作辅助函数将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零左边即为辅助函数，再用函数单调性或求证 （3）若已知被积