定积分及其应用
本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.
定积分的概念与性质
定积分问题举例 1.1.1 曲边梯形的面积 曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?
求曲边梯形的面积的近似值?
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1） a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,
把?a,b?分成n个小区间 ?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,
它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?
经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1,xi?为底、f(?i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形，i?1,2,3,?,n，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值? 即 A?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn??f(?i)?xi.
求曲边梯形的面积的精确值?
显然? 分点越多、每个小曲边梯形越窄? 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值? 因此? 要求曲边梯形面积A的精确值? 只需无限地增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 记??max??x1,?x2,?,?xn?,于是? 上述增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 相当于令??0.所以曲边梯形的面积为 A?lim?f(?i)?xi. ??0i?1n1
变速直线运动的路程
设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔?T1,T2?上t的连续函数? 且v(t)?0,计算在这段时间内物体所经过的路程S ?
求近似路程?
我们把时间间隔?T1,T2?分成n个小的时间间隔?ti ? 在每个小的时间间隔?ti内? 物体运动看成是均速的? 其速度近似为物体在时间间隔?ti内某点?i的速度v(?i)? 物体在时间间隔?ti内 运动的路程近似为?si?v(?i)?ti.把物体在每一小的时间间隔?ti内 运动的路程加起来作为物体在时间间隔?T1,T2?内所经过的路程S的近似值? 具体做法是?
在时间间隔?T1,T2?内任意插入若干个分点 Ti?t0?t1?t2???tn?1?tn?T2,
?T1,T2?分成n个小段 ?t0,t1?,?t1,t2?,??tn?1,tn?,
各小段时间的长依次为 ?t1?t1?t0,?t2?t2?t1,?,?tn?tn?tn?1.
相应地? 在各段时间内物体经过的路程依次为 ?s1,?s2,?,?sn.
在时间间隔?ti?1,ti?上任取一个时刻?i(ti?1??i?ti), 以?i时刻的速度v(?i)来代替?ti?1,ti?上各个时刻的速度? 得到部分路程?si的近似值? 即
?si?v(?i)?ti(i?1,2,?,n).
于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值? 即 S??v(?i)?ti?
记??max??t1,?t2,?,?tn?,当??0时? 取上述和式的极限? 即得变速直线运动的路程 S?lim?v(?i)?ti?
定积分的概念
抛开上述问题的具体意义? 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括? 就抽象出下述定积分的定义?
设函数y?f(x)在?a,b?上有界? 在?a,b?中任意插入若干个分点 a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b, 把区间?a,b?分成n个小区间 ?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?, 各小段区间的长依次为 ?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1. 在每个小区间?xi?1,xi?上任取一个点?i,作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积 f(?i)?xi(i?1,2,?,n)并作出和 S??f(?i)?xi?
i?1n记??max??x1,?x2,?,?xn?,?如果不论对?a,b?怎样分法? 也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i,怎样取法? 只要当??0时? 和S 总趋于确定的极限I? 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间?a,b?上的定积分? 记作?af(x)dx? 即 blim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bn3
其中f(x)叫做被积函数? f(x)dx叫做被积表达式? x叫做积分变量? a 叫做积分下限? b 叫做积分上限? ?a,b?叫做积分区间?
根据定积分的定义? 曲边梯形的面积为A??af(x)dx?
变速直线运动的路程为S??T2v(t)dt?
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关? 而与积分变量的记法无关? 即 ?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du?
(2)和?f(?i)?xi通常称为f (x)的积分和?
(3)如果函数f(x)在?a,b?上的定积分存在? 我们就说f(x)在区间?a,b?上可积?
函数f(x)在?a,b?上满足什么条件时? f(x)在?a,b?上可积呢？
设f(x)在区间?a,b?上连续? 则f (x) 在?a,b?上可积?
设f(x)在区间?a,b?上有界? 且只有有限个间断点? 则f(x) 在?a,b?上可积?
定积分的几何意义?
设f(x)是?a,b?上的连续函数，由曲线y?f(x)及直线x?a,x?b,y?0所围成的曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义易知道定积分有如下几何意义： （1）当f(x)?0时，（2）当f(x)?0时，??babaf(x)dx?A f(x)dx??A （3）如果f(x)在?a,b?上有时取正值，有时取负值时，那么以?a,b?为底边，以曲线 y?f(x)为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有 ba?f(x)dx?A1?A2?A3 其中A1,A2,A3分别是图5-2中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数. 4
例1. 利用定义计算定积分?0x2dx?
解 把区间[0? 1]分成n等份??分点和小区间长度分别为 1xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n) ? nn
取?i?ni(i?1,2,?,n),作积分和 nn?f(?i)?xi??i?1i?1?i2?xini121??()??3?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)? nni?1n66nni?1nn
因为??1? 当??0时?n??? 所以?n?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1? ?f(?i)?xi?nlim??6nn3 图5-3
例2 用定积分的几何意义求?0(1?x)dx??
函数y?1?x在区间?0,1?上的定积分是以y?1?x为曲边??以区间?0,1?为底的曲边梯形的面积? 因为以y?1?x为曲边??以区间?0,1?为底的曲边梯形是一直角三角形? 其底边长及高均为1? 所以 15等级：书童 |
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2017考研高数定积分核心考点：定积分在极限中的应用
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　　定积分是考研数学考察重点，也比较有难度，考生需注意把握其中的每一个核心考点，注意结合相关题目来理解。下面分享定积分在极限中的应用的相关知识点，大家注意看。
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高等数学5-6 定积分的物理应用(新)
关注微信公众号第五章定积分及其应用；习题5-1；1.如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意；?1?1?1xdx,（2）??RRR2?x2dx；1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?ba；x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积.若x?；a上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及；yyRA11-1A1O1xA2?ROR-1(1)；x(2)；yy11A3A5
第五章 定积分及其应用 习 题
5-1 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）?1?1?1xdx,
（2）??RRR2?x2dx,
（3）?20cosxdx,
（4）??xdx. 1解：若x??a,b?时,f(x)?0,则?baf(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围成平面图形的面积. 若x??a,b?时，f(x)?0,则?bf(x)dx在几何 a上表示由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，?1?1xdx?(?A1)?A1?0.
1 A 3 A 5 π
( 3 ) A6?1
A6O 1 ?1 (4) x （2）由上图（2）所示，?R?RπR2R?xdx?A2?. 222（3）由上图（3）所示，?0cosxdx?A3?(?A4)?A5?A3?A5?(?A3?A5)?0. （4）由上图（4）所示，??1xdx?2A6?2?12π1?1?1?1. 22. 设物体以速度v?2t?1作直线运动，用定积分表示时间t从0到5该物体移动的路程S. 解：s??50(2t?1)dt 3. 用定积分的定义计算定积分?cdx,其中c为一定常数. ab解：任取分点a?x0?x1?x2???xn?b,把[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi] (i?1,2?n)，小区间长度记为?xi=xi-xi?1(i?1,2?n),在每个小区间?xi?1,xi? 上任取一点?i作乘积f(?i)??xi的和式：n?f(?)??x??c?(xiii?1i?1nni?xi?1)?c(b?a), 记??max{?xi}, 则1?i?n?bacdx?lim?f(?i)??xi?limc(b?a)?c(b?a). ??0i???04. 利用定积分定义计算?10x2dx. 解：f(x)?x2在[0,1]上连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对?0,1? n等分，分点xi?i,i?1,2,?,n?1;?i取相应小区间的右端点，故 nnnni1122
?f(?i)?xi???i?xi??xi?xi=?()?3nnni?1i?1i?1i?1
=n2?ii?1n2 11111?n(n?1)(2n?1)(1?)(2?)
=n366nn112当??0时（即n??时），由定积分的定义得： ?xdx=． 035. 利用定积分的估值公式，估计定积分43?1?1(4x4?2x3?5)dx的值. 解：先求f(x)?4x?2x?5在??1,1?上的最值，由 32
f?(x)?16x?6x?0,
得x?0或x?3. 8比较 f(?1)?11,f(0)?5,35093f()?,81024fmin?f(1)?7的大小，知 fmax?11，1?1 由定积分的估值公式，得fmin?[1?(?1)]?即
?(4x4?2x3?5)dx?fmax??1?(?1)?, 15093??(4x4?2x3?5)dx?22. ?15126. 利用定积分的性质说明? 1 0edx与?edx，哪个积分值较大？
0x 1x2解：在?0,1?区间内：x?x?e?e
由性质定理知道： 2xx2? 1 0edx??exdx
0x 127. 证明：2e?121???212e?xdx?2。 2证明：考虑????12,1??x2?x2?上的函数，则，令y??0得x?0 y?ey??2xe?2?当x?????1??1?,0?时，y??0，当x??0,?时，y??0 2?2???x2∴y?e1?x2在x?0处取最大值y?1，且y?e121?在x??121122处取最小值e?12.
故??212edx???e?xdx??21dx，即2e????212e?xdx?2。 8.
求函数f(x)?1?x2在闭区间[-1，1]上的平均值. 111π?12π2解：平均值??1?xdx??? 1?(?1)??12249. 设f(x)在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何a?(0,1)有证明：
?1aa0f(x)dx?a?f(x)dx. 01?a 0f(x)dx?a?f(x)dx=?f(x)dx?a?f(x)dx?a?f(x)dx
?(1?a)?a0f(x)dx?a?f(x)dx=(1?a)af(?)?(1?a)af(?) a1
?(1?a)a[f(?)?f(?)]，其中
0???a,a???1 又f(x)单调减，则f(?)?f(?)，故原式得证.
5.2 1. 计算下列定积分 （1）?402? （2）?x2|x|
（3）?|sinx|
(4) ?max{x,1?x}dx.?20012π1解：（1）?40112?xdx??(2?x)dx??(x?2)dx?(2x?x2)?(x2?2x)?4 （2）?1?2x2|x|dx=?(?x3)dx+?x3dx=??x441=4+0117?. 44（3）?102π0|sinx|dx=?π0sinxdx+?2ππ(?sinx)dx=(?cosx)0?cosxπ2ππ=2+2=4. (4) ?max{x,1?x}dx=?(1?x)dx??1xdx?. . 计算下列各题： （1）?10x100dx，
（2）?41xxdx，
（3）?exdx,
（4）?10100dx, 021x（5）?sinxdx,
（6）?10xedx,
（7）?sin(2x?π)dx, 1e11lnxdxtanx4dx,
（10）?, （11）?0cos2xdx
0100?x22xπ20π20π（8）?0x(1?x)dx,（9）?114x?解：（1）?xdx=.
（2）?xdx=x4?114. xx11x?（3）?0edx?e0?e?1.
（4）?0100dx=. ln（5）?sinxdx??cosxπ20π20π20xxedx??1.
（6）?10211xe?0ed(x2)?222x21?0e?1. 2（7）?sin(2x?π)dx=11sin(2x?π)d(2x?π)?cos(2x?π)=?1. =2?20eπ20π2 (8) ?e1lnx1e11dx=?lnxd(lnx)=ln2x?. 2x2144111dx(10) ?=?011xdx11arctan=arctan=. x?()10π241（10）?π40tanx(tanx)tanxd(tanx)dx==?cos2x2π40=01. 23. 求下列极限 1?cosπxx?10解：（1）此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得 0x?1x???2?（1） limx1sinπtdt?arctant??.
（2）lim0x2dt. limx?1x?x1sinπtdt=limx?1(?sinπtdt)?1x1?cosπx2(1?cosπx)?=limsinπx11?lim()?? x?1?πsinπxx?1?ππx2?1?arctanx?x2（2）lim?0?arctant?x?12dt?型?x???x???lim?arctanx?21?12x?1?22x?2?limx???
x1??limx???1arctanx2?2?1?22x?lim1?2?arctanx?? x???x4x4. 设y??x0(t?1)dt，求y的极小值 解： 当y??x?1?0，得驻点x?1，y''?1?0.x?1为极小值点， 11y(1)?(x?1)dx?- 极小值 ?02?x?1,x?12?5. 设f?x???12，求?f?x?dx。 0x,x?1??2解：?f?x?dx???x?1?dx???1?xdx??x2?x??x3? 2?2?x?sinx,0?x??6. 设f?x???2，求??x???f?t?dt。 0?其它?0,解：当x?0时，??x???f?t?dt??0dt?0 0011?cosxsintdt? ?022x?0xx当0?x??时，??x??x当x??时，??x???f?t?dt??0f?t?dt??f?t?dt???x?0x1sintdt??0dt?1， ?2x?0?0,?1?故??x????1?cosx?,0?x?? ?2x????1,7. 设f?x?是连续函数，且f?x??x?2解：令即A??f?t?dt，求f?x?。 0111?10f?t?dt?A，则f?x??x?2A，从而?0f?x?dx??0?x?2A?dx?1?2A 211?2A，A??，∴f?x??x?1 22三亿文库3y.uu456.com包含各类专业文献、生活休闲娱乐、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、中学教育、专业论文、应用写作文书、93大学高等数学第五章 定积分及其应用答案等内容。　
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