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不定积分 计算题
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习题课说明，各助教露面say hi。
导数定义，仔细讨论导数的定义。
讨论导数的图像。
利用导数使得分段函数保持光滑性。
介绍了求导的一个法则。
多项式函数的求导。
正弦函数和余弦函数的求导。
讨论n个函数情况的乘法法则。
用除法法则求正切函数的导数。
应用链式法则求包含三个函数的复合函数的导数。
应用线性逼近求隐式函数在某一特定点的值。
应用反函数理论对反正切函数作图。
求反余弦函数的图像与导数。
通过三个例题强化训练对数和指数的求导方法。
四个对数法则及其应用。
通过和三角函数的对比，更直观地理解双曲三角函数。
应用隐式微分法则求由隐式方程给出曲线上某点的切线。
求复合函数的二次逼近的两种方法。
给出求两个函数乘积在某点的二次逼近的简单方法。
运用导数知识进行曲线作图。
优化问题——求曲线上距离原点最近的点。
优化问题——求过定点的直线与坐标轴围成三角形的最小面积。
优化问题——对体积固于定圆柱体，求使得表面积最小的半径与高之比。
对于一个膨胀的球体，求其半径和表面积关于时间的变化率。
利用微分求瞬时速度。
用牛顿法求方程的近似解。
用中值定理证明tanx&x。
用中值定理证明分析问题。
求一个不连续函数的反微商，并作出其图像。
计算多项式和三角函数的微分。
通过微分的方法求√21的近似值
[第32课]不定积分的计算
求一个函数的不定积分
应用换元法和“猜想法”求不定积分
求解一个无初值条件的微分方程
求满足带有两个初值条件的微分方程的函数
关于求和号使用的三道习题。
利用子区间及相应的左端点估计定积分的值。
用积分就算抛物面所围成立体的体积。
利用积分的黎曼和定义解决实际问题。
用微积分基本定理计算正切函数的定积分。
用两种变量替换的方法解定积分。
应用第二微积分基本定理求函数在定点的值。
求d/dx(∫costdt)[从0到x^2]。
用f表示F(x)=∫f(t)dt[从0到x]的二次逼近。
用积分计算sin和cos在π/4和5π/4之间围成区域的面积。
用积分计算函数y=x^3和y=3x-2围成区域的面积。
用圆盘法求抛物面的体积。
用壳层法求旋转体的体积。
利用积分计算变速运动过程中某段时间内的平局速率。
利用积分求给定区域的x坐标的平均值，并计算一个随机点落入给定区域的概率。
Simpson法则中的系数的由来。
利用梯形法则和辛普森法则近似y=sinx在区间[0,π]的积分。
计算带有三角函数的积分。
用三角积分计算旋转体的体积。
用替换的方法求偶数次幂正切函数的积分。
用双曲三角变量替换计算图形的面积。
用配方法求积分：用配方法求不定积分∫(1/(x^2-8x+1))dx。
部分分式分解：应用部分分式分解方法将分式化成容易积分的形式。
通过四道分部积分法的习题体会函数u和v'的选取。
求解积分Fn=∫sin^(n)dx。
利用弧长公式计算曲线y=x^(3/2)在[0,4]上的弧长。
通过积分球圆环面的表面积。
介绍了计算用参数表示的曲线弧长的计算方法。
通过计算两个例子，介绍了极坐标和直角坐标（笛卡尔坐标）的变换。
对r=1+cos(θ/2)进行作图并计算其包围图形的面积。
熟悉积分技巧，包括部分积分法、三角换元等。
熟悉积分技巧，包括对三角函数的积分以及分部积分法。
熟悉积分技巧，包括分部积分法和换元法。
熟悉积分技巧，包括分部积分法、换元法、部分积分法等。
通过一些例子来熟悉洛必达法则的应用。
用例子说明，应用洛必达法则的时候并不是适用于所有情况。
介绍了几种常见的不定式，特别计算了1^∞型的一个例子。
介绍了令人惊讶的f（x）=1/x绕x轴旋转得到的几何体的结论——体积有限，但截面面积无限。
积分学习的深入，介绍了反常积分的概念。
计算x^ne^(-x)的积分。
介绍了级数的敛散性。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——比较判别法。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——比值判别法（又名达朗贝尔判别法）。
介绍了判别级数收敛抑或发散的办法——积分判别法。
积分判别法除了可以判别级数的敛散性，还可以作为一种工具估计级数的大小。
利用比值判别法，探究“收敛半径”。
求解一些幂级数问题。
求解一些函数的泰勒级数。
探究多项式的泰勒级数。
求解sec(x)的泰勒级数。
泰勒级数与积分相结合的联系。
黎曼和作为积分的定义手段，它也是一个无穷级数。
学校：麻省理工学院
讲师：多人
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：这是MIT数学课程单变量微积分的配套习题课。内容涉及了单变量微积分课堂上教授布置的习题，也补充讲解了课堂上没有涉及的内容。因此，本课程不仅只是原课堂的补充，而且是它的内容拓展。课程安排参照了单变量微积分内容的顺序，循序渐进地为观看者提供了完整的微积分入门所需的必要主题，包括：1、微分；2、微分应用；3、定积分及其应用；4、积分技巧；5、“无穷”观点。
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一题不定积分
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∫1/a^2+x^2dx=∫1/a^2×1/[1+(x/a)^2]dx=∫1/a×1/[1+(x/a)^2]d(x/a)=1/a×arctan(x/a)+C
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浅谈分式函数的不定积分计算技巧
　　摘 要 分式函数求解过程中，分析分式函数积分的类型，大致遵循“分子迎合分母”原则，采用凑微分法或凑因子法，获得解题方法。 中国论文网 http://www.xzbu.com/1/view-7263356.htm　　关键词 分子迎合分母 凑微分 凑因子 分部积分中图分类号：O172.2 文献标识码：A 　　0引言 　　积分学的学习与训练既有利于锻炼学生的逆向思维和逻辑思维能力，又提高学生的发散思维。因此，在教学过程中如何引导学生掌握不定积分的计算方法和技巧，尤为重要。对于上述问题，很多文献对其研究。下面主要通过对常见分式 函数的求解，引导学生分析分式函数，从较复杂的函数入手，掌握计算方法，从而得出处理相应函数的计算技巧，也为学生解决难度较大的问题提供解题思路。 　　1几种类型的函数的积分 　　1.1分式函数 　　对于这类函数，多项式与多项式相除，遵循的原则为”分子迎合分母”，方式大致分为两种：凑分母中的因子；分子凑分母中的微分。以下以例题的形式，说明“分子迎合分母”的方式与技巧。 　　例1：dx 　　解法一：通过加减项，凑分母中的因子 　　原式=dx=dx?Hadx 　　=ln|x|?Haln（1+x2）+C 　　解法二：欲使分母的两个因子的次幂一样，分子分母同乘x，然后凑微分 　　原式=dx=（?Ha）dx2 　　=ln+C 　　注：此题也可运用倒代换，三角代换，平方代换，有理函数的积分方法求解。 　　1.2带有根式的有理函数 　　若二次根式下为二次多项式时，先整理平方和或者平方差的形式，再选择方法计算：利用基本的积分表计算；使用三角代换=asect，=atant，=asint；若被积函数出现多项式减根式，考虑分子或分母有理化简化，再化简。 　　若根式下为三次多项式，主要寻找符不符合凑微分的条件，或者采用第二类换元法，直接代换； 　　原式=2costdt=tan2tdt=tant?Hat+C 　　=?Haarcsin+C 　　注：此题也可运用倒代换，三角代换，平方代换，有理函数的积分方法求解。 　　例2： 　　解法一：遵循“分子迎合分母”原则，分母中根式下为三次多项式，分子中为二次幂，有（1?Hax3）'=?Ha3x2，从而想到凑分母中的微分，则 　　原式=?Had（1?Hax3）= =?Ha+C 　　解法二：可直接代换，令t=，x=（1?Hat2），dx=?Hat=（1?Hat2）-， 　　原式=??Hat（1?Hat2）-dt=?Hat+C=?Ha+C 　　注：此题也可使用如下几个代换：t=x3 ，=sint求解。 　　1.3与其它函数的组合形式： 　　组合形式，引导学生从函数的层面，一般认为多项式函数是最简单的函数，从较为复杂的函数入手，考察复杂函数和多项式函数的关系：分析简单函数是不是复杂复杂函数的导数，两个函数的次数的大小，由此选择凑微分法，或者分部积分法求解。 　　例3： 　　解：直接采用分部积分，选择反三角函数作为u，计算中会引入反三角函数，因此要先整理，则 　　原式=arctanx（?Ha）dx 　　=?Haarctanx+?Ha（arctanx）2 　　=?Haarctanx+ln?Ha（arctanx）2+C 　　2总结 　　对于类似的分式函数，理清被积函数的复杂程度，遵照“分子迎合分母”原则，分析类型，从主要的复杂函数入手，寻求复杂函数和简单函数的关系：简单函数是复杂函数的导数或者两个函数的次数比较，由此考虑采用考虑凑微分、凑因子或者第二类换元法，再考虑分部积分。不定积分的计算是需要在多做练习的基础上逐渐灵活掌握其计算方法。在实际的解题过程中和教学过程中，主要通过多角度地分析函数，引导学生认清被积函数的特点，得出解题思路。 　　参考文献 　　[1] 同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，7. 　　[2] 吴维峰.对不定积分一题多解的分析[J].高等数学研究，）：11-13. 　　[3] 吉米多维奇.吉米多维奇数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社，. 　　[4] 上宏昌.关于不定积分的分部积分法运算技巧[J].廊坊师范学院学报：自然学版， 2014：14.
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