《高等数学(经管类)(第2版)上册 同济大学出版社 刘浩荣》【摘要 书评 试读】- 京东图书
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高等数学(经管类)(第2版)上册 同济大学出版社 刘浩荣
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iframe(src='//www.googletagmanager.com/ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')大学高等数学课程目录以及课后习题题解笔记_甜梦文库
大学高等数学课程目录以及课后习题题解笔记
第1课 前言 一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程 第一章 函数 第一节 函数的概念 一、区间、邻域 第2课 第一节 函数的概念 二 函数的概念 三 函数的几个简单性质 1 函数的有界性 第3课 三、函数的几个简单性质 1、函数的有界性 2、函数的单调性 3、函数的奇偶性 4、函数的周期性 四、复合函数、反函数 1、复合函数 第4课 复合函数例题 2、反函数 §2.初等函数 一、基本初等函数 二、初等函数 第5课 三、双曲函数 第二章、极限 13：50 §1.数列的极限 一、数列极限的定义 第6课 (接上节)数列极限的定义、例题 二、收敛数列的两个性质 1、定理一（唯一性） 第7课 例题 2、定理二（有界性） §2、函数的极限一、自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x)的极限（只是谈及） 第8课 （接一讲：自变量 x 趋于一个定值 x0 的 f(x)的极限） 分析，定义，几何意义，例题 第9课 左极限和右极限的定义，极限存在的条件 二、自变量 x 趋于无穷大的函数 f(x)的极限 三、无穷小量和无穷大量 1、无穷小量 2、无穷大量 第 10 课 第二章 极限 第二节 函数的极限 三、无穷小量与无穷大量 注意 2 点 例题 2、无穷大 3、无穷小与无穷大的关系 四、海涅定理 例题 第 11 课 第三节 函数极限的性质和极限的运算 （本章重点） 一、极限值与函数值的关系 1、极限值的唯一性 2、极限值与函数值的同号性 3、有界性 第 12 课 二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x) 三、无穷小的性质 1.有限个无穷小的代数和仍是无穷小 2.有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小 有限个无穷小的乘积仍是无穷小 3.无穷小与有界函数的商仍是无穷小 第 13 课 四、极限的四则运算 １、limf(x)+limg(x)=A+B ２、lim[f(x)g(x)]=AB３、lim[f(x)\g(x)]=A\B ４、f(x)&(x),A&B 第 14 课 例题 第四节 极限存在准则，两个重要极限 16:00 一、准则 1 夹挤准则 例1 第 15 课 例 2 重要极限之一 二、准则 2 单调有界准则 25：30 例 1 重要极限之二 第 16 课 例题 第五节 无穷小量的比较 39：00 第 17 课 第五节 无穷小量的比较 例题 等价无穷小代换定理 注意：加减不可替换，乘除可替换 第六节 连续函数 34：00 一、函数连续性的定义 第 18 课 一、函数连续性的定义 左连续，右连续 二、函数的间断点 24：30 第 19 课 三、初等函数的连续性 1、连续函数的和、积、商的连续性 2、反函数与复合函数的连续性 1) 反函数的连续性：单调且连续 2）复合函数的极限 第 20 课 2、反函数与复合函数的连续性 3）复合函数的连续性 3、初等函数的连续性 13:30 初等函数在定义域内连续。第 21 课 四、连续函数在闭区间上的性质 1、最大、最小值定理 06:06 2、有界性定理 3、零值点定理 4、介值定理 fenderdj 写道： 问下 零值定理为什么要求是闭区间 要 f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明 f(x)在 a 的右极限和 b 的左极限存 在且异号。 第 22 课 第 3 章、导数与微分 第一节 导数概念 一、两个实例 二、导数定义 第 23 课 三、导数的几何意义 11:48 （求曲线上某点的切线方程和法线方程） 四、函数的可导性与连续性关系 32:49 第 24 课 证明可导与连续性关系的逆命题不成立 五、几个基本初等函数的导数公式 14:45 1、常数 2、幂函数 3、正弦、余弦函数 4、对数函数 第 25 课 第二节 函数的微分法 一、函数的和、差、积、商的求导法则 （只讲到和、差、积） 第 26 课 续上 （函数商的求导法则） 推导出 tanx,cotx,secx,cscx 的导数公式 二、反函数的导数 23:30 推导出反三角函数的导数公式 arcsinx,arccosx, arctanx,arccotx,第 27 课 求指数函数的导数 三、复合函数的导数 5:33 复合函数的求导法则 第 28 课 例题 四、高阶导数(7') 多做练习 第 29 课 第三节、隐函数、参量函数的导数 一、隐函数的导数 隐函数的求导，包括幂指函数的求导 第 30 课 取对数微分法 例 2 二、参量函数的导数 05:10 三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38') 第 31 课 例 1：求心形线......某一点处切线的斜率 四、相关变化率(5'50) 两个例子 第四节、函数的微分(24') 一、微分的概念 第 32 课 二、可微与可导的关系（互为充要条件） 微分的几何意义 三、微分公式 1、基本初等函数的微分公式 2、函数的和、差、积、商的微分公式 四、复合函数的微分公式 微分形式不变性 第 33 课 第四章、微分中值定理 导数的应用 第一节、微分中值定理 一、Rolle 定理(罗尔定理) 6 二、Lagrange 定理(拉格朗日定理) 分析 第 34 课Lagrange 定理的证明 利用它做证明题。 第 35 课 三、Cauchy 定理(柯西定理) 四、Taylor 定理(泰勒定理)(23'30&) 其证明(未证完) 第 36 课 Taylor 定理继续证明 f(x)的 n 阶 Maclaurin 公式－麦克劳林公式 Peano 型余项 第 37 课 第二节、罗必塔法则 一、0/0 型不定式 法则 I 推论 I 第 38 课 二、8/8 型(7') 法则 II(不证，超出范围) 推论 II 三、其它类型未定式(24'30&) 0.8 型、8-8 型、0^0 型,1^8 型,8^0 型 解决方法：化为 0/0 或 8/8 型 第 39 课 第三节、函数的增减性与极值 1、函数单调增、减的必要条件 2、函数单调增、减的充分条件 第 40 课 例 2、3 二、函数的极值、及求法(21') 一、函数单调增、减的必要充分条件 2、函数单调增、减的充分条件 二、函数的极值及求法 1、极值的必要条件 第 41 课 极值存在的充分条件 第一充分条件 第二充分条件(37')第 42 课 例3 第四节、函数的最大、小值(11') 例（未完） 第 43 课 例（续） 利用函数的最值可以证明不等式 例3 第五节、函数的凹凸性、拐点 函数的凹凸性的定义 函数的凹凸性的判别 第 44 课 判定拐点的方法 第六节、函数图形的描绘 （42'） 第 45 课 一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘(34') 第 46 课 例子：作图(续) 第七节、曲率(14'30&) 一、弧的微分 光滑曲线 有向光滑曲线弧长的度量 一、弧微分 第 47 课 二、曲率及其计算公式(3') 直线的曲率为 0 圆的曲率为 1/R 第 48 课 例1 例2 第五章、不定积分(21') 第一节、不定积分概念 25 一、原函数与不定积分 第 49 课 二、不定积分的几何意义(9')三、不定积分性质 四、不定积分的基本公式－基本积分表 第 50 课 几个例子 第二节、换元积分法(20') 一、第一换元法 第 51 课 第一换元积分法的几个例子 第 52 课 二、第二换元法(0') 第 53 课 第二换元法的例子（5'） 第三节、分部积分法(42') 第 54 课 分部积分法的证明 分部积分法的几个例子 第 55 课 第四节、几类函数的积分法 一、有理函数的积分 第 56 课 部分分式(和)的积分 第 57 课 二、三角函数有理式的积分 举例 三、两种无理函数的积分 第一类 第 58 课 第二类 第六章、定积分(16') 第一节、定积分概念 一、实例 1、曲边梯形的面积 分割 作积 求和取极限 第 59 课 估计是 二、定积分的定义 上册 59 讲 asf 音频：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5886928.html 第 60 课 三、定积分的几何意义 例 1、利用定积分的几何意义来求定积分值 例 2、应用定积分的定义来求定积分值 第二节、定积分性质、定积分中值定理 一、定积分性质(24') 1、 2、 3、 第 61 课 定积分性质 4 5 6 二、定积分中值定理（38'） 1、定积分第一中值定理 第 62 课 1、定积分第一中值定理 2、定积分第二中值定理 第三节、定积分与原函数的关系(35') 一、变上限的定积分 第 63 课 (继) &定理& 二、牛顿－莱布尼兹公式(Newton-Leibniz) &定理 2& 第 64 课 举例 第四节、定积分计算法(32') 一、定积分的换元积分法 第 65 课 证明(定积分的换元积分法)举例 第 66 课 例 二、定积分的分部积分法(13') 第 67 课 第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0') 一、无穷限的广义积分(4'40&) 二、无界函数的广义积分(41') 第 68 课 三、T－函数(咖玛函数)(21'20&) 第 69 课 第七节、定积分在几何上的应用(6') 一、定积分元素法 二、平面图形面积(29') 1、直角坐标情形 第 70 课 例子 2、极坐标的情况(15') 三、求立体的体积(34') 1、平行截面面积为已知的立体的体积 第 71 课 例子 2、旋转体的体积(12') 第 72 课 四、平面曲线的弧长 1、直角坐标的情形 2、极坐标的情形(25') 第 73 课 五、旋转体的侧面积 第八节、定积分在物理上的应用(30') 一、变力做功 第 74 课 例子 电荷做功 抽水做功弹簧弹性力做功(19') 二、引力(35') 例 第 75 课 续例 三、液体的侧力(29'20) 推出公式 第 76 课 例子 四、函数值的平均值(22') 算术平均值 例子(37'33&) =====定积分全部结束=====? 第 77 课 第七章、空间解析几何 矢量代数 §1.空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 第 78 课 二、空间中两点间的距离 例1 例2 §2.矢量代数(24') 一、矢量概念 二、矢量运算 1.矢量加法 第 79 课 2.矢量减法(10') 3.矢量与数的乘法 第 80 课 三、矢量的坐标表达法 1.矢量在轴上的投影(6') 投影定理（32'） 第 81 课 2.矢量的坐标表达式 第 82 课 3.矢量的模和方向余弦(9')四、二阶及三阶行列式基本知识(30') 1.二阶行列式 2.三阶行列式 第 83 课 五、数量积，矢量积(19') 1.两矢量的数量积 第 84 课 2.两个矢量的矢量积(15') 第 85 课 例1 例 2(35') 例3 第 86 课 §3.平面及其方程 一、曲面方程的概念 例1 例2 例3 二、平面的点法式方程(26') 例1 例2 第 87 课 例3 三、平面的一般式方程 四、平面的截距式方程(44'20&) 第 88 课 五、两平面夹角(2'30&) 例1 六、平面外一点到平面的距离 §4.空间直线及其方程 一、空间曲线及其方程 第 89 课 二、直线的对称式和参量式方程 例1 三、直线的一般式方程 例2 四、直线的相互关系五、直线与平面的夹角 第 90 课 例3 例4 习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,13 §5.曲面与方程 一、柱面(36') 例1 第 91 课 二、旋转曲面 例1 例2 习题：7-5 1,3,4,6,8 第 92 课 §6.二次曲面 一、椭球面 二、抛曲面 第 93 课 三、双曲面(12') 1.单叶双曲面 2.双叶双曲面 例1 习题：7-6 1,2,3 第 94 课 §7.空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 例1 例2 二、空间曲线的参量方程 例3 第 95 课 三、空间曲线在坐标面上的投影曲线 例1 例2 例3 =====高数上册完=====＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝第 96 课 第 8 章、多元函数微积分 §1.多元函数概念 一、平面点集的基本知识 1.邻域 2.区域 3.聚点 第 97 课 4.n 维空间(5') 二、多元函数的概念 例1 例2 第 98 课 二元函数的几何意义 例1 例2 习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6) 三、二元函数的极限 第 99 课 例1 二元函数极限的四则运算(15') 例2 例3 四、二元函数的连续性 第 100 课 在有界闭区域上连续的多元函数性质 1.最大、最小值存在性定理 2.介值定理 §2.偏导数 一、偏导数概念(25') 第 101 课 例1 例2 例3 例4 二元函数偏导数的几何意义 二、高阶偏导数(42') 第 102 课例5 例6 习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15 §3.全微分 一、全微分概念(28') 第 103 课 例 全微分定义 定理 1 可微的必要条件（38'） 可微-&偏导存在 习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10) 第 104 课 二、可微的充要条件 例1 定理 2 可微的充分条件(26') 证明 第 105 课 （续证） 例1 总结 §4.多元复合函数微分法 一、多元复合函数微分法(21') 定理 证明 第 106 课 复合函数结构示意图 例1 例2 例3 例4 例5 第 107 课 一、多元复合函数微分法（续） 二、全微分形式不变性(4'15&) 三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容） 例1 例 2(40') 习题：8-4 17,18,19,20,22,23 第 108 课例3 §5.隐函数的微分法(21') 隐函数： （定义） 一、一个方程所确定的隐函数 隐函数存在定理 1 例1 第 109 课 一、一个方程所确定的隐函数（续） 例2 隐函数存在定理 2 (15'40&) 例 1(30') 例 2(40') 第 110 课 二、方程组所确定的隐函数 隐函数存在定理 3 例 1(22') 例 2(34'30&) 习题：8-4 17,18,19,20,22,23 8-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21 第 111 课 §6.方向导数，梯度 一、方向导数 定理 证 例1 第 112 课 二、梯度 ＜梯度定义＞ 例1 例 2(32') §7.偏导数在几何上的应用 一、空间曲线的切线和法平面(43') 第 113 课 （续前节） 例1 例 2(22'30&) 习题：8-6 2,3,4,5,7,9 8-7 2,3,4,6,8 二、曲面的切平面和法线(35')证明 第 114 课 结论 ＜定义＞切平面 曲面的法线 法线的方程 例1 例2 第 115 课 例 3(1')证明： §8.多元函数的极值和求法(15') 一、二元函数的极值和求法 ＜二元函数极值定义＞ 1、＜极值存在的必要条件＞ 2、＜极值存在的充分条件＞(39') 第 116 课 求二元函数极值的步骤 例 1(8') 二、求二元函数的最大值、最小值(19') 例 2(26') 习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23 第 117 课 §8.多元函数的极值和求法(续) 例 三、条件极值(22'30&)----Lagrange 系数法 解决条件极值的方法，有两种： 第 118 课 解决条件极值的方法（续） 例 1(20') 习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18 第 9 章、重积分(37') §1、二重积分的概念、性质 一、实例 1、曲顶柱体体积 第 119 课 §1.二重积分的概念、性质（续） 2、平面薄板质量 二、二重积分定义(29')第 120 课 三、二重积分性质(3'40&) 1、 2、 3、 4、 5、估值定理（介值定理）(14') 6、中值定理 §2.二重积分的计算(22') -- 化为两次单积分的计算 一、在直角坐标系下 第 121 课 （续） 计算二重积分步骤 例1 例2 第 122 课 （续） 例3 例4 例 5(36') 习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3) 9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4) 第 123 课 二、在极坐标下 1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式 2、极坐标下的累次积分(34') 第 124 课 例 1(4') 例2 例 3(25'18&) 例 4(40') 习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7) 第 125 课 例 5(2'20&) §3.三重积分(20'30&) 一、三重积分定义 二、三重积分性质(38'30&) 1、2、 3、 第 126 课 4、(4'30&) 5、 6、 例1 §4.三重积分的计算(21') 一、直角坐标系下(23') 第 127 课 例1 例2 例 3 (36') 习题 9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4) 第 128 课 二、在柱面坐标系下 例 1 (27'11&) 例2 第 129 课 续例 2 三、球面坐标系下 例 1 42' 习题：9-4 3(1)(2)(3)(5) 第 130 课 在球面坐标系下，三重积分化为三次积分 例 1 4' 例 2 20' 习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5) 第 131 课 第五节 重积分的应用 一、重积分在几何上的应用 1、封闭曲面所围立体的体积 例1 例2 2、曲面的面积(34'31&) 第 132 课 例 1 04'14''例 2 13'08'' 二、重积分在物理上的应用(29') 1、物体的质量 2、物体的重心(35') 习题 9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5) 第 133 课 （） 1 平面薄板的重心 2 空间立体的重心 例 1 28'26'' 第 134 课 续例 1 例 2 3'20'' 3 物体的转动惯量 25' 第 135 课 例1 例 2 17' 习题 9-5 6,7,8,10,12,14 第十章 曲线积分与曲面积分(27') 例1 第一节 第一类曲线积分 第 136 课 一、第一类曲线积分的概念和性质 二、第一类曲线积分的计算(13') 1、设空间曲线 L 由参量方程给出 证明 第 137 课 例1 例 2 8'30'' 例 3 18'50'' 习题 10-1 2,3,5,7,10,11,15 第二节 第二类曲线积分 24'50'' 一、矢量场的概念 矢量场、曲线方向的规定 二、第二类曲线积分概念、性质（43'30&） 例 第 138 课 概念 19'56'' 性质 1，2，3第 139 课 三、第二类曲线积分的计算 9'30'' 第 140 课 例1 例 2 11'30'' 例 3 28'24'' 第 141 课 四、两类曲线积分的关系 两类曲线积分可以互相转化 第三节 格林（Green）公式(19') 一、格林公式 证明(36') 第 142 课 证明 续 例 1(37') 第 143 课 例2 例 3(21') 二、平面曲线积分与路径无关的条件(44') 第 144 课 证明 第 145 课 证明 续 注意 (20') 例 1 (28') 第 146 课 例2 例 3(30') 第四节 第一类曲面积分(41') 一、第一类曲面积分的概念、性质 第 147 课 性质 1、2、3 二、第一类曲面积分计算（本节重点问题）(20') 例 1 (38')第 148 课 例2 第五节 第二类曲面积分(21') （和曲面的方向有关） 一、有向曲面的概念 第 149 课 二、第二类曲面积分的定义 两类曲面积分的关系(38') 第 150 课 三、第二类曲面积分计算法 例 1 (28') 第 151 课 例2 第六节 高斯公式 曲面积分与曲面积分无关的条件(33') 一、高斯公式 第 152 课 证明 例 1 (20') 例 2 (29') 第 153 课 二、曲面积分与路径无关的条件 （不考） 定理： 证明（略） 第七节 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件 一、斯托克斯公式(9') 证明（略） 例 1 (21') 二、空间曲线积分与路径无关的条件(40')（不考） 第 154 课 第 11 章 级数 第一节 常数项级数 一、级数基本概念 级数、级数的部分和、级数收敛 例 1、讨论几何级数的敛散性 (21') 例 2、(32') 例 3、(35'39&) 二、级数的基本性质(40') 性质 1、推论第 155 课 性质 2、 性质 3、 性质 4、 性质 5(一个必要条件，可用来证发散) 第 156 课 三、正项级数敛散性判别法 正项级数：定义、收敛的充要条件 1、比较判别法 (11') 例 1 讨论 P 级数的敛散性 例 2 根号里有平方 第 157 课 例3 例4 定理：比较判别法的极限形式 例1 例2 例3 第 158 课 2、比值判别法 例 1、 例 2、 例 3 很不错，是比值与比较两个判别法的综合 第 159 课 3、根值判别法 例 1 (14') 例 2 (17') 4、积分判别法(20') 例1 例2 小结 (38') 四、任意项级数敛散性的判别法 (42') 1、交错级数 第 160 课 R布尼定理 例 1 (21') 2、绝对收敛，条件收敛第 161 课 例1 3、绝对收敛级数的两个性质 (23') 第二节 幂级数 (31') 函数项级数基本概念 函数项级数 收敛域，发散域 第 162 课 一、幂级数及其收敛域 阿贝尔定理 收敛域 第 163 课 收敛半径的求法 定理 例 1 (22') 例 2 (30') 例 3 (32') 例 4 (35') 缺项则用比值判别法 第 164 课 例题 5 二、幂级数的性质 (10') 四则运算性质 分析运算性质 例 1 (34') 例 2 (42') 第 165 课 第三节 函数的幂级数展开 一、泰勒级数 泰勒展开式（幂级数展开式） 定理 1 n 阶导数存在是展开为幂级数的必要条件 定理 2 余项极限为 0 是幂级数展开的充要条件 (31') 第 166 课 二、函数展开为幂级数 1、直接展开法 例 1 (10') 例 2 (23') 2、间接展开法 (35') （1）逐项求导法 例1 （2）逐项积分法 (40') 例2第 167 课 （3）变量代换法 (6') 例3 例4 （4）四则运算法 例 5 (17') （5）求和函数法 例 6 (29') 第 168 课 例6 续 三、求幂级数的和函数 (10'34&) 记住几个重要的基本和函数 例 1 (17') 例2 例3 求数项级数的和 例4 第 169 课 四、欧拉公式 五、幂级数在近似计算上的应用 第 170 课 第五节 付里叶级数 (35') 一、三角函数系的正交性 (41') 第 171 课 二、傅立叶级数 (16') Dirichlet 定理 (39') --- 收敛条件 例 1 (43') 第 172 课 例1 续 例 2 (28') 第 173 课 三、正弦级数、余弦级数 1、奇、偶函数的傅立叶级数 证明 例 1 (22') 例 2 (28') 2、把函数展开成正弦级数或余弦级数 (41')第 174 课 例 1 (6'30&) 四、以 2l 为周期的周期函数的傅立叶级数 (13') 第 175 课 第 12 章 微分方程 第一节 微分方程基本概念 例 1 (6') 例 2 (10') 第 176 课 第二节 一阶微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 (38’) 第 177 课 可化为齐次的方程 (20') 三、一阶线性方程 (33') 第 178 课 例1 例2 四、伯努利方程 (14') 五、全微分方程 (27') 第 179 课 1、用曲线积分法 2、用不定积分法 例 1 (19') 六、一阶微分方程应用举例 (29') 例 1 （冷却问题） 例 2 （44'） 第 180 课 例2 续 （1）瞬态法 （2）微量法 第 181 课 第三节 可降阶的高阶方程 一、y'n'=f(x)型的方程 二、y&=f(x,y')型的方程 三、y&=f(y,y')型的方程第 182 课 第四节 线性微分方程解的结构 一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构定理 (37') 第 183 课 定理 3 第五节 常系数线性微分方程 (12') 一、常系数线性齐次方程 (16') 第 184 课 例题 1、2、3 （三种情况一样一个） 、4（多重） 二、常系数线性非齐次方程 (35') 第 185 课 求解两种情况 例 1 (34') 第 186 课 例 2、3、4 第二种情况 (含有 sin cos 的情形) (30') 例 1 (36') 第 187 课 例 2、3 小结 (34') 第 188 课 三、常系数线性微分方程应用举例 (21') 第 189 课 四、欧拉方程 (14'30&)蔡高厅高等数学教材配套课后习题题解(版本一 高等数学题解 天津大学数学系 2005 年 4 月第一章 习 题 1―1 x2 2．设 f (sin ) = cos x + 1 ，求 f (x) 及 f (cos ) 解 得 x 2 x x f (sin ) = cos x + 1 = 2(1 sin 2 ) . 2 2 f ( x) = 2(1 x 2 ), x ∈ [1, 1] . （或 1 cos x ） x x x f (cos ) = 2(1 cos 2 ) = 2 sin 2 . 2 2 2 3．若 f ( x) = 1 + x, x2, 当 - ∞ & x ? 0， 当 0 & x & +∞. 求 f ( 2), f (0), f (5)及 f ( x 1). 解 令 f (2) = 1, f (0) = 1, f (5) = 2 5 当 - ∞ & t ? 0, 当 0 & t & +∞ 则 1 + t , t = x 1 . 由于 f (t ) = t 2 , 1 + ( x 1), f ( x 1) = x 1 2 , x, = x 1 2 , 2 当 - ∞ & x 1 ? 0 当 0 & x 1 & +∞ 当 - ∞ & x ? 1， 当 1 & x & +∞. 2 4．设单值函数 f (u ) 满足关系式： f (lg u ) 2uf (lg u ) + u lg u = 0, u ∈ [1, 10] 且 f (0) = 0, 求 f (x) 解 由 f 2 (lg u ) 2uf (lg u ) + u 2 lg u = 0, 得 f (lg u ) = u (1 ± 1 lg u ) = 10 lg u (1 ± 1 lg u ). 故 f ( x) = 10 (1 1 x ) ， x ∈ [0, 1] . （由 f (0) = 0, 舍去 f ( x) = 10 (1 + 1 x ) .） xx 5．设 y = 1 1 x f (t x), 且当 x = 1 时， y = t 2 t + . 求 f (x) 2 2 2 1 1 2 1 解 当 x = 1 时， y = f (t 1) = t t + , 于是 f (t 1) = (t 1) 2 . 故 2 2 2 f ( x) = x 2 . 1 1 1 的奇偶性 + 6．判定函数 f ( x) = 2 3 2+ 3 1 解 由于 f ( x) = 2+ 3 xx x x1+23 x x = (2 3 ) x + (2 + 3 ) x 1 1 = f ( x) + = 2 3 2+ 3 故 f (x) 为偶函数. 7．求函数 f ( x) = sin 2 x 的周期. 2 解 设 f (x) 的周期为 T ， f ( x) = 则 π 2 ，可知函数 f ( x) 的周期是 T = π 2 1 1 cos 4 x 1 . 由于 是常数， cos 4 x 的周期为 2 2 2 . 8．证明：函数 f (x) 在区间 (a, b) 内有界的充分必要条件是 f (x) 在区间 (a, b) 内既有 上界，又有下界. 证明 “必要性” 设 f ( x) 在区间 (a, b) 内有界， 即存在 M & 0 使得对每一个 x ∈ (a, b) 皆有 f ( x) ? M ， M ? f ( x) ? M , 因此 M 和 M 分别是函数 f ( x) 在 (a, b) 内的 下界和上界. 即对每一个 x ∈ (a, b) 皆有 “充分性” f ( x) 在 (a, b) 内有上界 M 1 和 下界 m1 ， 设 f ( x) ? M 1 ， f ( x) ? m1. 令 M = max{ M 1 , m1 }则对每一个 x ∈ (a, b) 有 M ? m1 ? f ( x) ? M 1 ? M , 于是 f ( x ) ? M , 故 f ( x) 在 (a, b) 内有界. 1 + x 2 , , 9．求函数 y = f ( x) = 0 1 x 2 , 解 由于函数 当 x & 0, 当 x = 0, 当 x &0 的反函数 y =1+ x2 ( x & 0) 的 值 域 为 (1, + ∞) ， 故 它 的 反 函 数 为 y=x1 ( x & 1) ，又函数 y = 1 x 2 ( x & 0) 的值域为 (∞, 1) ，故它的反 函数为 y = x 1 ( x & 1) . 因此所求函数的反函数为 2 x 1 , y= 0 , x 1, 当 x & 1, 当 x = 0, 当 x & 1. 10．设函数 f ( x) 满足关系式 af (u ) + bf ( ) = 且 a ≠ b ，求 f (x).1u c , (u ≠ 0) 其中 a, b, c 为常数， u 解 由 1 c af (u ) + bf ( ) = ??????????（1） u u 1 （1）式中将 u 换为 得到 u 1 af ( ) + bf (u ) = cu ????????? （2） u 由(1)和(2)解出 f (u ) = c(a bu 2 ) c(a bx 2 ) , (u ≠ 0). 从而 f ( x) = 2 , ( x ≠ 0). (a 2 b 2 )u (a b 2 ) x 1 所确定的复 合函数 f [ f ( x)] 的定义域 1+ x 11．求由函数 f ( x) = 解 由 f ( x) = 1 ， ( x ≠ 1) ，有 1+ x 1 = 1 + f ( x) 1 1 ) 1+ ( 1+ x = 1+ x , 2+ x f [ f ( x)] = ( x ≠ 1, 2) 3 习 3．证明下列等式成立 （1） sh 2 x = 2shx chx ； 题 1―2 e 2 x e 2 x e x ex e x + ex =2 = 2shx chx . 2 2 2 x （2） shx + chx = e ； e x ex e x + ex 证明 shx + chx = + = ex . 2 2 x （3） chx shx = e ； e x + ex e x ex 证明 chx shx = = e x . 2 2 2 2 （4） ch x sh x = 1. ( e x + e x ) 2 (e x e x ) 2 证明 ch 2 x sh 2 x = = 1. 4 4 1 1 4．对函数 f (x) , x ∈ [l , l ] , 证明等式 f ( x) = [ f ( x) + f ( x)] + [ f ( x) f ( x)] 2 2 1 1 成立. 指出 [ f ( x) + f ( x)] 与 [ f ( x) f ( x)] 的奇偶性. 2 2 1 1 证明 [ f ( x) + f ( x)] + [ f ( x) f ( x)] 2 2 1 1 1 1 = f ( x) + f ( x) + f ( x) f ( x) = f ( x) . 2 2 2 2 证明 sh 2 x = 令 ( x) = [ f ( x) + f ( x)] ，ψ ( x) = [ f ( x) f ( x)] ，则 ( x) = { f ( x) + f [( x)]} = [ f ( x) + f ( x)] = ( x)
故 1 [ f ( x) + f ( x)] ， ( x ∈ [l , l ]) 为偶函数. 而 2 1 1 ψ ( x) = { f ( x) f [( x)]} = [ f ( x) f ( x)] 2 2 1 = [ f ( x) f ( x)] = ψ ( x) 2 1 故 [ f ( x) f ( x)] ， ( x ∈ [l , l ]) 为奇函数. 2 5．设 ( x) = x 2 ，ψ ( x) = 2 x ，求 [ψ ( x)], ψ [ ( x)], [ ( x)] 和 ψ [ψ ( x)] 2 解 [ψ ( x)] = (2 x ) 2 = 2 2 x ； ψ [ ( x)] = 2 x ； [ ( x)] = (2 2 ) 2 = x 4 ； ψ *ψ ( x)+ = 2 2 . x 4 6． 设 f ( x) =证明 1 x (a + a x ), （ a & 0 ）证明： f ( x + t ) + f ( x t ) = 2 f ( x) f (t ) . 2 1 1 2 f ( x) f (t ) = 2 (a x + a x ) (a t + a t ) 2 2 1 = (a x + t + a t x + a x t + a x t ) 2 1 1 = [ a x + t + a ( x + t ) ] + [ a x t + a ( x t ) ] 2 2 = f (x + t) + f (x t) . 7． 在半径为 R 的球内作内接圆柱体， 求此圆柱体的体积 V 与它的高 h 之间的函 数关系. h 解 设圆柱截面圆的半径为 r ，则 r = R 2 . 于是 2 V = π r 2 h = π ( R 2 h2 )h . 4 3 2 8． 有一倒圆锥体的容器， 上口半径 r = 7cm ， H = 14cm ， 高 如果以每分钟 5cm 的 速 度向此容器内注入液体，求容器内液体深度 h 与时间 t 的函数关系. 解 设在圆锥容器内液体的液面半径为 R (0 ? R ? r = 7cm) ， 液 面 的 高 为 h (0 ? h ? H = 14cm) ，则 V= π 3 R2h = π 1 R r 1 = = ，或 R = h .于是圆锥内液体的体积为： 2 h H 2 h3 (0 ? h ? 14cm) 12 在 t 分钟内，流入容器内液体的体积为 5t ，故 5t = π 12 h3 h 与 t 的函数关系为 h=3 60 π t， t ∈ [0, 686 π+. 15 5 复 习 题 1 1．填空题 （1）设函数 f (x) 的定义域为 [0, 1] ，则 f (sin x) 的定义域为 [2kπ , ( 2k + 1)π ], k∈Z . （2）设 f ( x) = 1 x ，则 f ( x ≠ 0, 1) 的表达式为 1 x, ( x ≠ 0, 1) . x 1 f ( x) x, x & 0, 1 ( x + x ) ， g ( x) = 2 则 f [ g ( x)] 2 x , x ? 0. （3）设 f ( x) = 2．选择题 （1）若 f ( x + 2 0, x & 0, = 2 . x , x ? 0. 1 1 1 ) = x 2 + 2 , 则 f ( x ) 的值为 x x x 1 1 1 2 2 2 ； （B） x 2 ； （C） x + 2 4 ； （D）x+2+4.2xxx 答 （ C ） （A） x + （2）若对任意实数 x, y 有 f ( x ) f ( y ) = x y ，且 f (0) = 0 ，则 f ( x) f ( y ) 等于 （A） x + y ； （B） xy ； （C） x y ； （D） 0 . 答 （ （3）下列函数为周期函数的是 （A） f ( x) = sin B ） x； 3 （B） f ( x) = sin x ； 2 （C） f ( x) = [ x] 3 x ； （D） f ( x) = x cos x . 答 （ C ） 3．设 f ( ) = x(1 + 1x x 2 + 1) ， ( x & 0) . 求 f (x) . 1 1 + 1+ x x 1 x 22 解 1 1 2 1 因为 f ( ) = x + 1 + = x x x 2 所以 x + 1+ x2 , f ( x) = x2 4．求函数 y = log a ( x + 解 因为 ( x & 0) . x 2 1) ， (a & 0, a ≠ 1) 的反函数. 6 a y = x + x2 1 ， a y = x + x2 1 . 所以 x= 知反函数为 a y + ay 2 a x + a x . 2 y= 5．设 y = 解 1 1 f (t x) ，且当 x = 1 时， y = t 2 t + 5 ，求 f (x) . 2x 2 1 1 f (t 1) = t 2 t + 5 . 故 2 2 当 x = 1 时， y = f (t 1) = t 2 2t + 10 = (t 1) 2 + 9 ， 知 f ( x) = x 2 + 9 . 6．若 f ( x) = a + bx ，设 f n ( x) = f { f [L f ( x)]} ，验证 f n ( x) = a
n个 bn 1 + bn x . b 1 解 用数学归纳法：当 n = 1 时， f1 ( x) = a + bx .设 n = k 时，有 f k ( x) = a bk 1 + bk x . b 1 则当 n = k + 1 时， bk 1 b k +1 1 f k +1 ( x) = f [ f k ( x)] = a + bf k ( x) = a + b a + b k x = a + b k +1 x b 1 b 1 故有 f n ( x) = a bn 1 + bn x . b 1 7 第二章 习 3．根据数列极限定义证明： （1） lim 题 2―1 3n + 5 3 = n → ∞ 2n + 2 2 因为 证明 3n + 5 3 1 1 1 = & , 所以，对 ε & 0, 取 N = ，当 n & N 时， 2n + 2 2 n + 1 n ε 恒有 3n + 5 3 & ε 成立. 由定义 2n + 2 2 n→∞ lim 3n + 5 3 = . 2n + 2 2 （2） lim 1 + (1) n =0 n →∞ n 由于 证明 1 + (1) n 2 2 0 & ，故对 ε & 0, 取 N = ，则当 n & N 时，恒有 n n ε 1 + (1) n 0 & ε 成立， 由定义 n 1 + (1) n lim = 0。 n →∞ n （3） lim 1 =0 n →∞ 2 n 1 ln 1 1 1 0 = n ， 对 ε & 0, 要 使 & ε ， 只需 n & ε ，故 n n ln 2 2 2 2 证明 由于 1 ln ε 1 0 & ε & 1 ，取 N = , 当 n & N 时，恒有 n 0 & ε 成立. 由定义 2 ln 2 1 =0 n →∞ 2 n nπ cos 2 =0 （4） lim n →∞ n lim 8 cos 证明 因为 nπ 2 0 & 1 , 所以对 ε & 0, 取 N = 1 ，则当 n & N 时 ε n n cos nπ 2 0 &ε . n 由定义cos n →∞ lim nπ 2 = 0. n n →∞ n →∞ n →∞ 4．证明：如果 lim u n = a ，则 lim u n = a ，并举例说明若 lim u n = a ，则 n→∞ lim u n = a 未必成立. 证明 由 lim u n = a ，知对 ε & 0, N & 0 ，使对一切 n & N ，恒有 u n a & ε n →∞ 又由于 举例 un a ? u n a & ε ，知 lim u n = a . n →∞ 设 u n = (1) ，有 n lim u n = 1 ， n→∞ 而 lim u n = lim ( 1) n→∞ n →∞ n 不存在. 5．设 lim x n = a ，且 a & b ，证明一定存在一个整数 N ，使当 n & N 时， x n & b 恒 成 n →∞ 立. 证明 恒有 因为 lim x n = a ，且 a & b ，所以对 n →∞ ε = a b & 0, 必 N & 0 ，当 n & N 时， x n a & a b, 即 b a & xn a . 故当 n & N 时， x n & b 恒成立. 6．设数列 证明 {xn } 有界，又 lim y n = 0 ，证明 lim x n y n = 0 . n→∞ n→∞ 由于 {x n } 有界， 必 M & 0 ， 使对一切 n ， 均有 x n & M . 又因 lim y n = 0 ， n→∞ 9 故对 ε & 0, 必 N 1 & 0 ，当 n & N 1 时，恒有 yn 0 = yn & ε M.. 于是对上述 ε & 0 ，取 N = N 1 ，当 n & N 时，恒有 xn y n 0 = xn y n & M 成立，即 n →∞ ε M =ε lim x n y n = 0 . 10 习 1． 用函数极限定义证明 （1） lim(3 x 1) = 2 x →1 题 2―2 证明 对 ε & 0, 欲使 3 x 1 2 = 3 x 1 & ε ε 3 . 于是对 ε & 0, 取 δ = ε 3 ，当 0 & x 1 & δ 时，恒有 3x 1 2 & ε . 由定义 lim(3 x 1) = 2 . x →1 （2） lim x → 2 x2 4 = 4 x+2 x2 4 (4) = x 2 + 4 = x + 2 & ε ，所以取 δ = ε ，当 x+2 证明 对 ε & 0, 由于 0 & x + 2 & δ 时，恒有 x2 4 (4) & ε 成立. x+2 由定义 x → 2 lim x2 4 = 4 x+2 （3） lim x →∞ 1 =0 x3 证明 ，只需 x 1 &对 ε & 0, 欲使 & ε N =3 1 ε. 只需 x & . 即 x & 3 即可. 取 3 εεxx, 则当 x & N 时, 恒有 1 0 & ε 成立. x3 由定义 lim x →∞ 1 = 0. x3 11 （4） lim x →1 x1x1 =2 x 1 x 1 x 1 x +1 证明 对 ε & 0, 由于 2= x +1 2 = & x 1 ，取 δ = ε ，当 0 & x 1 & δ 时，恒有 x1x1 由定义 2 & ε 成立 lim x →1 x1x1 =2 1+ x =∞. x →0 x 4．用无穷大定义证明 lim 证明 时，恒有 因为 1 1+ x 1 1 = 1+ & 所以 对 M & 0, 取 δ = ，当 0 & x 0 & δ M x x x 1+ x & M 成立. x 由无穷大定义 lim 1+ x =∞. x →0 x 8．用海涅定理证明下列极限不存在. （1） lim cos x x → +∞ 证明 （1）若取 x n = nπ + π ，当 n → ∞ 时， x n → +∞ ，而 2 π lim cos x n = lim cos(nπ + ) = 0 . n→∞ n →∞ 2 （2）若取 x n = 2nπ ，当 n → ∞ 时， x n → +∞ ，而n →∞ lim cos x n = lim cos 2nπ = 1 . n →∞ 由海涅定理知 x → +∞ lim cos x 不存在. （2） lim sin x →0 1x 12 证明 （1）若取 x n = 1 ，当 n → ∞ 时， x n → 0 ，而 nπ n →∞ lim sin 1 = lim sin nπ = 0 . x n n →∞ 1 2 nπ + （2）若取 x n = π 2 ，当 n → ∞ 时， x n → 0 ，而 lim sin n →∞ π 1 = lim sin 2nπ + = 1 . 2 x n n →∞ 由海涅定理知 lim sin x →0 1 不存在. x 13 习 3． 求下列各极限 （5） lim x →3 题 2―3 1+ x 2 x3 1+ x 2 1 1+ x 4 = . = lim x →3 x3 4 ( x 3) 1 + x + 2 解 lim x →3 ( ) （6） lim 1+ x 1 1+ x 1 = lim x →0 x →0 3 解lim 3 x →0 1+ x 1 1+ x 1 ( 1 + x 1)( 1 + x + 1)(3 (1 + x) 2 + 3 1 + x + 1) (3 1 + x 1)(3 (1 + x) 2 + 3 1 + x + 1)( 1 + x + 1) (1 + x 1)(3 (1 + x) 2 + 3 1 + x + 1) (1 + x 1)( 1 + x + 1) = lim x →0 = （7） lim x 2 x →∞ 3.2 11x+1x1 解 x 2 ( x 1 x 1) 1 1 lim x 2 = 2 . = lim x →∞ x2 1 x + 1 x 1 x →∞ 3x 2 + 2 x （8） lim x →∞ 4 x 2 2 x + 1 3x 2 + 2 x lim 2 = lim x →∞ 4 x 2 x + 1 x →∞ (2 x 3) 2 (3x + 1) 3 x →∞ (2 x + 1) 5 2 3 1 3 + 2 2 3 3 27 x x = . = 5 8 25 1 2 + x 23 3+ 4 解 2x 2 1 + x x2 = 3.4 （9） lim 解 lim (2 x 3) 2 (3 x + 1) 3 = lim x →∞ x →∞ (2 x + 1) 5 （10） lim x→2 x2 4 x2 + x 3 x2 1 14 解 lim x→2 x2 4 x2 + x 3 x2 1 = lim ( x 2)( x + 2) x 2 + x 3 + x 2 1 x→2 x2 + x 3 x2 +1 ( ) = 4( 3 + 3 ) =8 3. 4． 用变量代换求下列极限 3 （1） limx →1 x1x1 当 x → 1 时， t → 1 . 解 令 t=6 x. 3 lim x →1 x1x1 = lim t →1 2 t 2 1 t +1 = . = lim 2 3 t 1 t →1 t + t + 1 3 4 （2） lim x2x4 当 x → 16 时， t → 2 . x →16 解 令 t=4 x. 4 x →16 lim x2x4 = lim t →2 1 t2 = . 2 t 4 4 3 （3） lim x →1 x 2 23 x + 1 ( x 1) 2 当 x → 1 时， t → 1 . 解 令 t=3 x. 3 lim x →1 4 t 2 2t + 1 1 x 2 23 x + 1 = lim = . 2 t →1 9 ( x 1) 2 t3 1 ( ) （4） lim 1+ x 1 1+ x 1 当 x → 0 时， t → 1 . x →0 3解 令 t = 121 + x . 4 t3 1 3 = . lim 3 = lim 4 x →0 1 + x 1 t →1 t 1 4 5． 求极限 （1） lim x →∞ 1+ x 1 x sin x x + sin x 15 sin x x sin x x =1. 解 lim = lim x → ∞ x + sin x x →∞ sin x 1+ x 1 （2） lim x cos x →0 x 1 解 因为 cos 是有界函数，当 x → 0 时 x 为无穷小量，所以 原式 = 0 . x 1 （3） lim e x → +∞ x cos x = 0 x 解 因为 当 x → +∞ 时， e 3 为无穷小量， cos x 是有界函数，所以 原式 = 0 . n2 + n （4） lim n →∞ n+2 3 解 原式 = lim n →∞ n2 n + 3 3 n n = 0. 2 1+ n （5） lim n→∞ ( n +1 n ) = 0. 解 原式 = lim n +1 n n +1 + n n→∞ （6） lim n→∞ n sin n! n2 + 1 n sin n! = 0 . （无穷小与有界函数乘积仍为无穷小） n →∞ n + 1 2 解 原式 = lim （7） lim 1 x + n→∞ n 2a n 1 a a +x + +L+ x + n n n解 原式 = lim n →∞ 1 1 + 2 + 3 + L + (n 1) a (n 1) x + n n n (n 1) 1 a = lim (n 1) x + 2 n →∞ n n = lim a a n 1 x + = x + n →∞ 2 2 n 16 （8） lim1 n→∞ n+L11+2233nn 解 原式 = lim 1 n →∞ n 1 n + 1 1 3 2 4 = lim L n →∞ 2 2 3 3 n n 1 n +1 1 = lim = . n →∞ 2 n 2 （9） lim 1 1 1 + +L+ n→∞ 1 3 35 (2n 1)(2n + 1) 1 2 1 1 1 1 1 + +L+ 3 3 5 2n 1 2n + 1 解 原式 = lim 1 n →∞ 1 1 1 = lim 1 = . n →∞ 2 2n + 1 2 （10） lim ( x + h) n x n h →0 h x n + nx n 1 h + n(n 1) n 2 2 x h + L + hn xn 2! h 解 原式 = lim h →0 n(n 1) n 2 = lim nx n 1 + x h + L + h n 1 = nx n 1 h →0 2! 7． 已知 lim 解 因为 x2 +1 α x β = 0 ，确定 α , β . x →∞ x +1 x2 +1 α x β lim x →∞ x + 1 2 2 x + 1 α x α x β x β = lim x →∞ x +1 2 (1 α ) x (α + β ) x + (1 β ) = lim x →∞ x +1 =0 只有当分子中 x 项及 x 项系数为零时才能成立. 所以 2 17 1α=0α+β=0 解得 α = 1, β=1. 18 习 1．求下列各极限 （1） lim x →0 题 2―4 tan 2 x sin x x →0 解 原式 = lim tan 2 x 2 x =2. 2 x sin x（2） lim x →0 sin 5 x sin 2 x sin 5 x 2 x 5 5 解 原式 = lim = . x →0 5 x sin 2 x 2 2 arcsin x （3） lim x →0 x 令 y = arcsin x . 则当 x → 0 时 y → 0 . 原式 = lim 解 y = 1. y → 0 sin y sin x sin a xa xa x+a 2 sin cos 2 2 = cos a . 解 原式 = lim x →a xa tan(π x) （5） lim x → 2 x + 2 tan[π ( x + 2) 2π ] tan( x + 2)π 解 原式 = lim = lim =π . x → 2 x → 2 x+2 x+2 另一 解法 令 t = x + 2 ，则当 x → 2 时 t → 0 . tan (π (t 2) ) tan π t 原式 = lim = lim =π . t →0 t →0 t t tan x sin x （6） lim x →0 x3 x 2 sin 2 sin x 1 1 cos x 2 =1. = lim 解 原式 = lim 2 2 x →0 x →0 x cos x 2 x x x sin x （7） lim x → 0 x + sin 3 x （4） lim x→a sin x x 1 x =0. 解 原式 = lim x →0 sin 3 x x1 + x 1 x2 （8） lim x →1 sin π x 19 解 令 t = x 1, 则当 x → 1 时， t → 0 . 原式 = lim t →0 1 (t + 1) 2 t (t + 2) 2 = lim = . sin(π (t + 1)) t →0 sin π t π （9） lim 1 cos x x →0 x2 1 cos x 解 原式 = lim x →0 x (1 + cos x ) 2 x = 1.4 （10） lim x x →∞ 1 + x 1 解 原式 = lim1 + x →∞ x 2+ x （11） lim x →∞ x 3 x x =e1. 5 x 3+5 解 原式 = lim = lim1 + x →∞ x 3 x 3 x → ∞ x x35+35 = e5 . xx （12） lim1 + x →0 2 xx 2 解 原式 = lim1 + = e2 . x →0 2 1211 x （13） lim1 n→∞ n n x 解 原式 = lim1 n →∞ n 1 n(x)x =ex. （14） lim x 1 x x →1 解 原式 = lim(1 (1 x ))1 x = e . 1 1 x →1 1 （15） lim(cos 2 x) x →0 sin 2 x 20 1 解 原式 = lim(1 2 sin x) 2 x →0 n sin 2 x =e2. n+ x （16） lim n→∞ n 1 x + 1 解 原式 = lim1 + n→∞ n 1 n 1+1 ( x +1) x +1 n 1 x + 1 x +1 1 + = lim n →∞ n 1 x +1 x+11+n1 = e x +1 . 2 （17） lim(1 3 x) sin x x →0 1 2 ( 3 x ) 3 x sin x 解 原式 = lim(1 3 x ) x →0 =e6. 2．已知 lim 解 因为 x + 2a = 8 ，求 a = ? x → ∞ x 2a x 即 e 4a 4a x + 2a lim = lim1 + x →∞ x 2a x →∞ x 2a 3 = 8 ，所以 a = ln 2 . 4 x ( x 2 a )4 a 4a4a 1 + x 2a 2a = e 4a . 1 2 + e x sin x + 4． 计算 lim 4 x →0 x 1+ e x 解 因为 1 1 2 + e x sin x 2 + e x sin x + lim + = 2 1 = 1. = lim 4 4 x →0 x x →0 x 1+ e x x 1+ e 又 21 1 2 ex 1 4 + 4 e x e x sin x 2 + e x sin x + + lim = 0 + 1 =1. = lim 4 x →0 + x x x→0 + 1 1+ e x +1 4xe 所以 原式 = 1 . x 1 x t 8．设 f ( x) = lim ，其中 ( x 1)(t 1) & 0 ，试求 f (x) 的表达式. t→x t 1 解 设 y = x t , 当 t → x 时， y → 0 1 x 1 y = lim1 f ( x) = lim y →0 y →0 x 1 y x 1 1y 1y =e 1x1 ( x ≠ 1) . 22 习 4．用等价无穷小代换定理求极限 题 2―5 arcsin （1） lim x →0 x 1 x2 x x 解 原式 = lim x →0 1 x2 = 1. x ln x x →1 1 x 解 令 t = x 1 ln(1 + t ) 原式 = lim = 1 . t →0 t cos x cos 2 x （3） lim x →0 1 cos x （2） lim (1 cos x)(1 + 2 cos x) cos x + 1 2 cos 2 x 解 原式 = lim = lim = 3. x →0 x →0 1 cos x 1 cos x （4） lim e 2x 1 x → 0 ln(1 + x ) 解 原式 = lim 2x = 2. x →0 x x 2 tan x（5） lim x →0 1 x2 1 x2 x 解 原式 = lim = 0. x →0 1 2 x 2 （6） lim x →0 1 cos x (e 1) ln(1 + x) x 1 2 x 1 解 原式 = lim 2 = . x →0 x x 2 ln cos ax （7） lim x →0 ln cos bx 1 解 原式 = lim x →0 ln(1 sin 2 ax) 2 1 = lim ln(1 sin 2 bx) 2 sin 2 ax a 2 = 2 . x →0 sin 2 bx b 23 （8） lim x →0 1 + x sin x 1 ex 1 2 1 x sin x 1 2 = . 解 原式 = lim 2 x →0 2 x （9） lim n 1 cos 2 n→∞ π n 2 π 2 1 π 解 原式 = lim n = . n →∞ 2 n 2 2 （10） lim e x e sin x x → 0 x sin x e sin x (e x sin x 1) x sin x = lim = 1. x →0 x sin x x →0 x sin x 解 原式 = lim （11） lim 1 + sin x cos x x →0 1 + sin px cos px 2 sin 2 x x x + 2 sin cos 2 2 2 解 原式 = lim x →0 px px px + 2 sin 2 sin 2 cos 2 2 2 x x x sin + cos 2 sin 2 2 = 1. 2 = lim x →0 px px px p + cos sin 2 sin 2 2 2 （12） lim ( x 1) e x 1 x → +∞ 1 解原式 = lim ( x 1) x → +∞ 1 = 1. x 6．证明无穷小的等价关系具有下列性质 （1） α ~ α 证明 因为 lim α = 1 ，所以 α ~ α . α （2）若 α ~ β ，则 β ~ α β ，所以 lim 1 α β = 1 . 而 lim = lim = 1 ， 所以 β ~ α . α β α β 证明 因为 α ~ 24 （3 若 α ~ 证明 因为 β ， β ~ γ ，则 α ~ γ lim .所以 α ~ α α β α β = lim = lim lim = 1 γ β γ β γ γ. 25 习 题 2―6 1． 证明： f ( x) 在 x = x 0 处连续， f (x ) 在 x = x 0 处也一定连续. 反之若 f ( x) 在 若 则 x = x 0 处不连续，能否得出 f (x) 在 x = x 0 处一定不连续？试举例说明。 证明 由已知，有 lim f ( x ) = f ( x 0 ) ，即对 ε & 0 ， δ & 0 ，使当 x x 0 & δ 时 x → x0 恒有 f ( x ) f ( x 0 ) & ε 成立。 由于 f ( x) f ( x0 ) & f ( x) f ( x0 ) & ε 所以 lim f ( x) = f ( x0 ) ，即 f (x ) 在 x = x 0 处连续. x → x0 反之不一定成立。 例 设 f ( x) = 11 当 x & 0 当 x ? 0. 则 f ( x) 在 x = 0 处 不 连 续 ， 而 f ( x) = 1 ( x ∈ (∞,+∞)) 在 x = 0 处连续。 6．设 f ( x) = lim x 2n 1 x ，指出其间断点及其类型。 n →∞ x 2 n + 1 当 x &1 当 x =1 当 x &1 所以 x = ±1 为间断点。 x 解 由于 f ( x ) = 0 x 由于在 x = ±1 处 f ( x) 的左、 右极限存在， 所以 x = ±1 都属于第一类间断点。 7． 试 确定 a, b 的值，使得 f ( x ) = ex b 有无穷间断点 x = 0 ，有可去间断点 ( x a )( x 1)x = 1。 解 因为 lim ex b 1 b = x →0 ( x a )( x 1) a 若 x = 0 为 f ( x) 的无穷间断点，则必须 a=0 。 b ≠ 1 若 lim ex b x 存在，首先必须 lim e b = 0, 即 b = e 。 x →1 x →1 ( x a )( x 1) ( ) 其次 lim( x a ) ≠ 0, 即 a ≠ 1 。 x →1 26 这样 有 lim 补充定义 f (1) = 综上，当 ex e e = x →1 ( x a )( x 1) 1 a （ a ≠ 1） 。 e , 则 f ( x) 在 x = 1 处连续。 1 a a = 0 a ≠ 1 时， x = 0 为无穷间断点。当 时， x = 1 为可去间断点。 b ≠1 b=e 9．求下列各题的极限 （1） lim ln( x + a) ln a x →0 x 1 ln1 + x →0 x xa 1 解 原式 = lim x x 1 = lim ln1 + = . x →0 a a （2） lim x →0 1 1+ x ln x 1 x 1 1 + x 2x 解 原式 = lim ln x →0 1 x 2x 2x = lim ln1 + x →0 1 x 2x 2x = ln lim1 + x →0 1 x 1x1+21 = 1. sin x + 4 x 2 cos （3） lim x →0 1x tan x sin x 1 解 原式 = lim + 4 x cos = 1 + 0 = 1 . x →0 x x 3e x 2e x x → +∞ 2e x + 3e x e x (3e 2 x 2) 3 = . x → +∞ e x (2e 2 x + 3) 2 （4） lim 解 原式 = lim （5） lim x[ln( x + 2) 2 ln( x + 1) + ln x]x → +∞ 27 x x 1 1 解 原式 = lim ln1 + ln1 + = 1 1 = 0 . x → +∞ x +1 x （6） lim x →0 1 + tan x 1 tan x sin x sin x 1 + tan x + 1 tan x n 解 原式 = lim x →0 ( 2 tan x ) = 1. 1 1 （7） lim1 + + 2 n→∞ n n 解 原式 = lim1 + n →∞ n +1 n2 n 2 n +1 n +1 n = e. 10． f ( x) ∈ C[a, b], 且 f (a ) & a ，f (b) & b . 试证明 在 (a, b) 内至少存在一点 ξ 设 使 f (ξ ) = ξ . 证明 设 F ( x) = f ( x) x ， ( x ∈ [a, b]) . 则 F ( x) ∈ C[a, b], 且 F (a) = f (a) a & 0, F (b) = f (b) b & 0. 由连续函数根的存在定理， (a, b) 内至少存在一点 ξ ， F (ξ ) = f (ξ 在 使 即 ξ ∈ (a, b) ，使 f (ξ ) = ξ . 12．证明方程 x = a sin x + b ，其中 a & 0, b & 0 ，至少有一个正根，并且它不超过 ( a + b) . ) ξ ，=0 ，证明 设 f ( x) = x (a sin x + b) ，则 f ( x) ∈ C[0, a + b], 且有 f (0) = b & 0, f (a + b) = a + b a sin(a + b) b = a(1 sin(a + b)) (1) 若 sin( a + b) & 1 ，则 f ( a + b) & 0 ，由根 存在定理在 (0, a + b) 内至少存在一点 ξ 使 f (ξ ) = ξ a sin ξ b = 0 ，即方程 x = a sin x + b 至少有一个根不超过 a + b . （2）若 sin(a + b) = 1 ，则 f (a + b) = 0 . 即 x = a + b 是方 程 x = a sin x + b 的一个 根 14 ． 若 f (x) 在 x = 0 处 连 续 ， f (0) = 0 ， 且 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) 对 任 意 的 x, y ∈ (∞, + ∞) 都成立. 试证明 f ( x) 为 (∞, + ∞) 上的连续函数. 证明 因为 对 x 0 ∈ ( ∞, + ∞) ，令 Δ x = x x 0 lim f ( x) = lim f ( x 0 + Δ x) x → x0 Δ x → 0 28 = lim * f ( x0 ) + f (Δx)+ Δ x →0 = f ( x0 ) + lim f (Δx) Δ x →0 = f ( x0 ) 由 连 续 函 数 定 义 f (x) 在 x0 处 连 续 . 又 由 x0 点 在 ( ∞, + ∞) 的 任 意性 ， 所 以 f (x) 在 (∞, + ∞) 上连续. 29 复 习 题 2 1．填空题 （1） lim x +3 x +4 x 2x + 1 1 x 2 sin x = 0 （2） lim x →0 sinx x → +∞ x = 2.2 . x+k （3） lim = 8 , （常数 k ≠ 0 ）. 则 k = x →∞ x k 3 3 ln2 2 .12. （4）当 x → 0 时， 要使 (tan x sin x) 与 a sin x 是等价无穷小，则 a = 2． 选择题 （1） 设 0 & a & b ，则数列极限 lim a + b 等于 n n n n→∞ （A） a ； x （B） b ； （C） 1 ； （D） a + b . 答（ B ） （2）极限 lim x →0 e 1 的结果是 x （A）1； （B） 1 ； （C） 0 ； （D）不存在. 答（ D ） 2 2 （3）当 x → 0 时， (cos x cos 2 x) 是 x 的 3 （A）高阶无穷小； （C）低阶无穷小； 1x1 （B）同阶无穷小，但不是等价无穷小； （D）等价无穷小. 答（ D ） （4）极限 lim 5 x →1 是 （B） + ∞ ； （C）5； （D）不存在且不是无穷大. 答（ D ） （A） 0 ； 3．计算下列极限 （1） lim n→∞ 2 n + 3n 2 n 3n n 2 2 +1 3 = 1 . 解 原式 = lim n n→∞ 2 2 1 3 （2） lim n→∞ (n2 + 1 n 2 2n ) 30 1 2+ 2n + 1 n = lim 解 原式 = lim = 1. n → ∞ 2 2 n → ∞ 1 2 n + 1 + n 2n 1+ + 1 n n2 2 2 2 cos x （3） lim x →0 x 2 sin x 2 1 2 2 2 x 2 1 cosx 2 解 原式 = lim = lim 2 4 = 1. 4 x →0 x → 0xx ( ) () （4） lim sec x x →0 ( 2 ) 1 x2 tan 2 x 解 原式 = lim 1 + tan x 2 x →0 ( ) 1 x2 （5） lim(1 cos x ) cot x x →0 = lim (1 + tan 2 x )tan 2 x x →0 1 x2 =e. x →0 sin x 2 1 2x + x + 1 （6） lim tan sin x + x →∞ x x2 1 解 (1 cos x ) cos x = lim 2 x 原式 = lim x →0 1 2 cos x sin x = 0. 解 2x 2 + x + 1 = 2. x →∞ x2 1 3n 2 1 1 （7） lim 1 + 1 + L + n→∞ 1 3 35 (2n 1)(2n + 1) 2n 2 + 1原式 = lim 3 1 n2 解 原式 = lim 1 1 1 + 1 1 + L + 1 1 n →∞ 2 3 3 5 2n 1 2n + 1 2 + 1 n2 1 3 2 1 1 n = 3. = lim 1 n →∞ 2 2n + 1 2 + 1 4 n2 2 n +1 +1 4． 指出函数 f (x) = lim 2 n +x （ n 为正整数）的 间断点及其类型，并画出 n +1 1 n →∞ x x +x f ( x) 的图形。 1, x &1 , x x = 1 , 解 f ( x ) = 0, x =1 , 2, x &1 . 1, x = 0 为第二类间断点； x = 1 为第一类间断点； x = 1 为可去间断点. 31 a + arccos x, 5． 设 f ( x ) = b , 2 x 1 , 解 x → 1x → 1 1 & x & 1, x = 1, ∞ & x & 1. 试确定 a, b ，使 f ( x) 在 x = 1 处连 续。 因为 lim f ( x) = 0 ， lim+ f ( x) = a + π ， f (1) = b ，所以由 f ( x) 在 x = 1 处 f (1 0) = f (1 + 0) = 0 = a +π ， 得 a = π ，且 f ( 1) = b = 0 于是 a = π ， b = 0 则可 使 f ( x) 在点 x = 1 处连续. 6． 设函数 f (x) 在 [0,2a ] ， ( a & 0) 上连续，又 f (0) = f ( 2a ) ，证明：在 (0, 2a ) 内 至少存在一点 ξ ，使得 f (ξ ) = f (a + ξ ) . 证明 令 ( x) = f ( x) f ( x + a ) ，则 x ∈ [0, a ] 时 (x) 连续，且 连续，必有 (0) = f (0) f (a) ， (a) = f (a) f (2a) = [ f (0) f (a)] （1）若 f (0) = f ( a ) ，则 f ( a ) = f (0) = f ( 2a ) ，即当 x = 0 ， a 时，有 f ( x) = f ( x + a) ， 取 x =ξ = a 有 f (ξ ) = f (ξ + a ) （2）若 f (0) f ( a ) ≠ 0 ，于是 (0) ( a ) & 0 ，由零值点定理有 (ξ ) = 0 ， ξ ∈ (0, a) ，即 f (ξ ) = f (ξ + a ) ， ξ ∈ (0, a) 综合（1） （2）知 ， f (ξ ) = f (ξ + a ) ， ξ ∈ (0,2a) π π , 内至少有一个实根。 2 2 π π π π 证明 设 f ( x) = sin x + x + 1 ， x ∈ , . 由于 f (x) ∈ C , 且 2 2 2 2 π π f π = 1 + π + 1 & 0 ， f = 1 + + 1 & 0 2 2 2 2 π π 而 f π f π & 0 . 由零值点定理可知，至少存在一个 ξ ∈ , 使 2 2 2 2 π π f (ξ ) = sin ξ + ξ + 1 = 0, ξ ∈ , . 2 2 8． 证明：若函数 f (x) 在点 x0 处连续，且 f ( x0 ) ≠ 0 ，则存 在 x0 的某一邻域 N ( x0 , δ ) ，当 x ∈ N ( x0 , δ ) 时， f ( x) ≠ 0 。 A 证明 不妨设 f ( x0 ) = A & 0 ，由于 lim f ( x) = f ( x0 ) = A ，故 ε = ， δ & 0 x → x0 2 7．证明方程： sin x + x + 1 = 0 在区间 当 x ∈ N ( x0 , δ ) 时，恒有 f ( x) A & A ， 即 2 32 0& A A = A & f ( x) 2 2 故 f ( x) ≠ 0 . （对 A & 0 时，同理可证） 33 第 三 章 习 题 3-1 1. 按定义求下列函数的导数 （1） y = ax 解 3 a( x + Δ x) 3 ax 3 Δ x →0 Δ x 2 3 x Δ x + 3 x(Δ x) 2 (Δ x) 3 = a lim Δ x →0 Δ x 2 = 3ax 1 （2） y = x 1 1 解 y ' = lim x + Δ x x Δ x → 0 Δ x x x Δ x 1 = lim = 2 Δ x →0 x ( x + Δ x ) Δx x （3） y = cos x cos( x + Δ x) cos x 解 y ' = lim Δ x →0 Δ x 2 x + Δ x Δ x sin 2 sin 2 2 = lim Δ x →0 Δ x Δ x sin Δ x 2 = lim sin x + Δ x →0 2 Δ x 2 = sin x y ' = lim 2. 求下列函数的导数 2 （1） y = e 解 y' = e 2 ( )′ = 0 . 23 （2） y = x 解 x ′ 4 7 7 7 3 x = x = x 3 = x3 x 3 3 y' = x ( 23 ) ′ （3） y = x3 x ′ ′ x3 5 5 2 解 y' = x = x = 2 x x . x （4） y = log 2 1 解 y' = . x ln 2 4. 证 如果 f (x) 为偶函数，且 f ' (0) 存在，证明 f ' (0) = 0 . 因为 f ' (0) = lim f (0 + Δ x) f (0) Δ x →0 Δ x f ( Δ x) f (0) = lim Δ x →0 Δ x f (Δ x) f (0) = lim Δ x →0 Δ x = f ' (0) 所以 2 f ' (0) = 0 ， 即 f ' (0) = 0 . 2 2 7． f ( x) = ( x a ) g ( x), 其中 g (x) 在 x = a 设 处连续，求 f ' ( a ) 。 f (a + Δ x) f (a) 解 f ' ( a ) = lim Δ x → 0 Δ x (a + Δ x) 2 a 2 g (a + Δ x) 0 = lim Δ x →0 Δ x 2 2aΔ x + (Δ x) = lim g (a + Δ x) Δ x →0 Δ x = 2ag (a) 9．设函数 f (x) 在 x = x 0 可导，试求： [ ] f ( x 0 Δ x ) f ( x 0 ) Δ x → 0 Δ x f ( x 0 Δ x) f ( x0 ) f ( x0 Δ x) f ( x0 ) 解 lim = lim = f ' ( x0 ) . Δ x → 0 Δ x →0 Δ x Δ x f ( x 0 + h) f ( x 0 h) （2） lim h →0 h f ( x 0 + h) f ( x 0 ) + f ( x 0 ) f ( x 0 h) 解 原式 = lim h →0 h f ( x 0 + h) f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) = lim + lim h→0 h →0 h h = f ' ( x0 ) + f ' ( x0 ) = 2 f ' ( x0 ) . （1） lim 12．设 f ( x ) = 数 a 和 b 的值。 解 因为 x →1+ x 2 , ax + b, x ?1 x & 1, 为了使函数 f (x) 在 x = 1 连续且可导，试确定常 lim f ( x) = lim x 2 = 1 + x →1 x →1 lim f ( x) = lim (ax + b) = a + b x →1 为使函数 f (x) 在 x = 1 处连续，必须 lim f ( x) = lim f ( x) 即 + 又因为 a + b = 1LLL （1）x →1 x →1 f ( x) f (1) x2 1 lim = lim =2 x →1+ x →1+ x 1 x 1 f ( x) f (1) ax + b 1 lim = lim x →1 x →1 x 1 x1 1 由（1）得 x →1 lim 为使函数 f (x) 在 x = 1 处可导，必须满足 ax + (1 a) 1 =a x 1 a = 2 ????（2） 综上（1） （2） ， ，得 a = 2 ， b = 1 。 1 2 0& x&2 x cos , 15．设 f(x) = 讨论 f (x) 在 x = 0 及 x = 1 处的连续性和 x x , x?0 可导性。 1 故在 x = 1 处连续且可导， 其导数可由求导公式求出。 f ( x) = x 2 cos 是初等函数， x 在 x = 0 处 f (0) = 0 ，且 lim f ( x) = lim x = 0 解 x →0 x →0 x →0 lim f ( x) = lim x 2 cos + + x →0 故 f (x) 在 x = 0 处连续。 而 1 =0 x 故 f (x) 在 x = 0 处不可导。 f ( x) f (0) x0 = lim =1 x →0 x →0 x x 1 x 2 cos 0 f ( x) f (0) x lim = lim =0 + + x →0 x →0 x x lim 2 习题 3―2 1．求下列函数的导数 （1） y = x + 5a x a 6325 y ' = 6 x 5 + 10a 3 x . 7 π （2） y = 5 3 + ln 2 x x 5π 21 y' = 6 + 4 . 解 x x 1 1 （3） y = x +1x 解 ( ) 解 ′ 1 1 y' = x + 1 1 + x + 1 1 x x 1 1 1 = 1 + x + 1 2 x x 2x x 1 1 = + 1 . 2 xx ( ) ( ) ′ ( ) 或 y=解 1x x y' = 1 1 + 1 . 2 xx 2 （4） y = x ln x 解 y ' = 2 x ln x + x 2 2 1 = 2 x ln x + x . x x （5） y = (1 + x ) arctan x log 2 解 y ' = 2 x arctan x + (1 + x 2 ) mn 1 1 1 = 2 x arctan x + 1 . 2 x ln 2 x ln 2 1+ x （6） y = (1 + nx )(1 + mx ) 解 y' = nmx m 1 (1 + mx n ) + (1 + nx m )mnx n 1 = mn[ x m 1 + x n 1 + (m + n) x m + n 1 ] . （7） y = 解 ln x x 1 x ln x 1 1 ln x x . y' = = 2 x x2 3 （8） y = 解 1 + sin t 1 + cos t cos t (1 + cos t ) (1 + sin t )( sin t ) y' = (1 + cos t ) 2 = 1 + cos t + sin t (1 + cos t )2 . （9） y = 解 2 csc x 1+ x2 csc x cot x(1 + x 2 ) 2 x csc x y' = 2 (1 + x ) 22 = 2 csc cot x 4x csc x . 2 2 1 + x2 1+ x ( ) （10） y = x sin x ln x 解 y ' = sin x ln x + x cos x ln x + sin x . xa （11） y = a x 解(0 & a ≠ 1) y' = a x x a ln a + aa x x a 1 a = a x x a ln a + . x （12） y = 解 y' = sec 2 x(1 tan x ) (1 + tan x )( sec 2 x ) 1 + tan x x e 1 tan x (1 tan x ) 2 2 ex + 1 + tan x x e 1 tan x = 2 sec 2 x + 1 tan 2 x (1 tan x ) 2 ex = (1 tan x ) 3chx ln x 3 + tan 2 x ex . （13） y = 解 1 3 shx ln x chx x = 3 shx chx . y' = 2 ln x x ln 2 x ln x 2 （14） y = x shx 4 解 y ' = 2 xshx + x 2 chx . 3． 求下列复合函数的导数 （1） y = ( 2 x + 5) 解 4 y = 4(2 x + 5) 3 2 = 8(2 x + 5) 3 . 1 (3x 1) 5 4 15 5( 3x 1 ) 3 . = 10 ( 3x 1 ) ( 3 x 1 )6 （2） y = 解 y' = （3） y = 5 tan t+15 解 t t 1 y ' = 5 sec 2 + 1 = sec 2 + 1 . 5 5 5 2 （4） y = arctan( x + 1) 解 y' =2x . 1 + ( x 2 + 1) 2 1 x 1 1 . = 2 x x x2 1 （5） y = arccos 解 y' = 1 1 1 x2 （6） y = arcsin x2 2 解 x y' = 2 arcsin 2 11 x2 4 1=2 x arcsin . 2 4 x2 2 （7） y = e 解 1x2 y' = e 1x2 1 1 x2 2 ( ) 12 (2 x) = x 1 x2 e 1x2 . （8） y = e x2 cos 3x 5 解 y' = e x2 1 cos 3x + e 2 ( sin 3x ) 3 2 x 1 = e 2 (cos 3x + 6 sin 3x ) . 2 （9） y = cot 1 2 x 32 x 解 y ' = csc 231 1 2x 1 2x 2 3 2 ( ) 23 (4 x) = 4x 3 1 2x 3 ( 22 ) csc 2 3 1 2 x 2 . （10） y = ln( x + 解 a2 + x2 ) = 1 a +x 22 y' = x 1 + 2 2 2 x+ a +x a + x2 1 . （11） y = ch(shx) 解 y ' = sh( shx) chx . （12） th(ln x) 解 y' = 1 1 1 = . 2 ch (ln x) x xch (ln x) 2 4．求下列函数的导数 （1） y = x 1 x2 1 x2 x 解 x 1 x2 = 1 y' = 1x 3 2 (1 x ) 322 . （2） y = tan (1 2 x) 解 y ' = 3 tan 2 (1 2 x) sec 2 (1 2 x)(2) = 6 tan 2 (1 2 x) sec 2 (1 2 x). （3） y = arccos 1 3t 6 解 y' =1 x +1 x 1 2 1 1 + 3t 2 1 3t 3 = 2 3t (1 3t ) 3 . （4） y = arctan 解 y' = 1 x + 1 1+ x 1 x 1 ( x + 1) (x 1) 2 = 1 . x +1 2 （5） y = ln(sin 解 x 2 + 1) cos x 2 + 1 1 2 x +1 2 y= 1 sin x + 1 22 2x = x x +1 2 cot x 2 + 1 . （6） y = sin (cos 3 x) 解 y' = 2 sin(cos 3 x ) cos(cos 3x ) ( sin 3x ) 3 = 3 sin( 2 cos 3x ) sin 3 x . ln x （7） y = 3 解 y' = 3 ln x ln 3 1x 1 3 ln x ln 3 = . 2 ln x x 2 x ln x 1 （8） y = e 解 arctan y' = e arctan1x arctan 1 1 x . e 2 = 2 1 x x +1 1+ 2 x 1 1 （9） y = arcsin x 1+ x2 解 y' = 1 1 x 1+ x2 2 1+ x2 1+ x 2 xx 1+ x2 = 1 . 1+ x2 （10） y = 2 解 x ln x x y ' = 2 ln x ln 2 3 ln x 1 ln x 1 ln x = ln 2 2 . 2 (ln x) (ln x) 2 x 2 （11） y = sin 5 x cos x3 7 解 y ' = 3 sin 2 5 x cos 5 x 5 cos 2 = 15sin 5xcos5xcos 22 x x x 1 + sin 3 5 x 2 cos sin 3 3 3 3 x 1 3 2x sin 5xsin . 3 3 3 （12） y = x3 3 (1 + x 2 ) 3 3x 2 ( 1 + x 2 )3 x 3 33 1 + x 2 2x 2 x 2 . = ( 1 + x 2 )3 ( 1 + x 2 )5 2 解 1 y' = 3 （13） y = x a x + a arcsin 22 xax (a & 0) + a2 1 1 x2 a2 1 = 2 a2 x2 . a 解 （13） y ' = a2 x2 + x a2 x2 ( x 1) 3 ( x 2) （14） y = ln x3 解y' = 3( x 1) 2 ( x 2)( x 3) + ( x 1) 3 ( x 3) ( x 1) 3 ( x 2) x 3 ( x 1) 3 ( x 2) ( x 3) 2 3x 2 16 x + 19 = . ( x 1)( x 2)( x 3) （15） y = 解 cos x a cos x (a & 0) + cos x a cos x y' = 1 sin x a 2 cos x cos x ln a 1 sin x 2 cos x 1 = sinx a 2 （16） y = cos x 1 + ln a . cos x x 2 a2 x a2 ln( x + x 2 a 2 ) 2 2 1+ x 2 解 y' = 1 2 x x a2 + 2 2 x x2 a2 a x a2 = x2 a2 . 2 x + x2 a2 2 （17） y = arctan(ln x) + ln(arctan x) 8 解 y' = = 1 1 1 1 + 2 1 + ln x x arctan x 1 + x 2 1 1 + . 2 2 x 1 + ln x 1 + x arctan x ( )( ) （18） y = 解 1 + ln(tan x) 2 sin 2 x 1 cos x 1 1 . y ' = (2) 3 + sec 2 x = 3 2 sin x tan x sin x cos x 5． 设 f (x) 的导数存在，求下列函数 y 的导数 （1） y = f ( x ) 2 解 y' = f ' ( x 2 ) 2 x 22 （2） y = f (sin x) + f (cos x) 解 y ' = f ' (sin 2 x)2 sin x cos x + f ' (cos 2 x)2 cos x( sin x) = sin2 x f' ( sin 2 x) f' ( cos 2 x) .( ) （3） y = f ( e )e x f(x) 解 y ' = f ' (e x ) e x e f ( x ) + f (e x )e f ( x ) f ' ( x ) = e f ( x ) f ' (e x ) e x + f (e x ) f ' ( x ) . [ ] （4） y = f [ f ( x)] 解 y ' = f '[ f ( x)] f ' ( x). x ?1 x & 1, 1 2 ( x 1)( x + 1) , 10．设 f ( x) = 4 x 1, 解 当 x&1时 求 f ' ( x) . f ' ( x) = 当 x=1时 1 1 ( x + 1) 2 + ( x - 1) 2( x + 1) = ( x + 1)(3x 1) 4 4 1 + Δx 1 0 =1 Δx [ ] f +′ (1) = lim+ Δx → 0 9 1 (1 + Δ x 1)(1 + Δ x + 1)2 0 1 2 f ′ (1) = lim 4 = lim (2 + Δ x ) = 1 Δ x → 0 Δ x → 0 4 Δx 所以 f ' (1) = 1 . 当 x=1 时 1 (1 + Δ x 1)(1 + Δ x + 1)2 =1 f +′ (1) = lim+ 4 Δ x →0 Δ x f ′ (1) = lim Δ x →0 1 + Δx 1 0 Δx = lim Δ x →0 1 Δx 1 = 1 Δx 所以 x = 1 时，导数不存在. 当 x & 1 时， f ( x) = x 1 ， f ' ( x) = 1 当 x & 1 时， f ( x) = x 1 ， f ' ( x) = 1 综上 1 4 ( x + 1)(3x 1), 1 f ' ( x) = 1 不存在 12．求下列函数的二阶导数 （1） y = x 1 + x 解 2 x &1 x ?1 x & 1 x = 1. y' = 1 + x 2 + x x 1+ x2 = 1 + 2x 2 1+ x2x 1+ x2 . 4x 1 + x 2 1 + 2x 2 y' ' = （2） y = e 解 x2 ( ) 1+ x 2 = x 3 + 2x 2 (1 + x ) 2 ( 3 ). 2 y ' = 2 xe x . 2 y ' ' = 2e x 2 xe x (2 x) = 2(2 x 2 1)e x . 222 （3） y = ln(1 x ) 2 解 y' = 2x . 1 x2 10 y' ' = 2 1 x 2 + 2 x(2 x) ( (1 x ) ) 22 = 2 1 x2 (1 x ) ( 22 ). （4） y = 1 + x 解 ( 2 )arctan x y ' = 2 x arctan x + 1 + x 2 y ' ' = 2 arctan x + 2x . 1+ x2( ) 1 = 2 x arctan x + 1. 1+ x2 （5） y = e 解 2x sin 3x y ' = 2e 2 x sin 3x + 3e 2 x cos 3 x = e 2 x (2 sin 3x + 3 cos 3 x ). y ' ' = 2e 2 x (2 sin 3 x + 3 cos 3x ) + e 2 x (6 cos 3 x 9 sin 3x ) . （6） y = (arcsin x) 解 2 y ' = 2 arcsin x 2 1 x2 1 1 x2 1 1 x2 . x 2( 1 x 2 x arcsin x) y' ' = （7） y = 解 + 2 arcsin x (1 x ) 23 = (1 x ) 23 . 1 x +1 3 y' = (x 3x 2 3 +1 ) 2 . y' ' = 6 x x 3 + 1 + 3x 2 2 x 3 + 1 3x 2 ( ) 2 (x 3 +1 )( ) 4 = 6 x 4 6 x + 18 x 4 (x 3 +1 ) 3 = 6 x(2 x 3 1) (x 3 +1 ) 3 . （8） y = ln( x + 解 a2 + x2 ) = 1 a +x 22 y' = x 1 + 2 2 2 2 x+ a +x a +x 1 . 11 y' ' = 1 2 a + x2 2 ( ) 32 2x = x (a 2 +x 23 ) . 15．求下列函数 n 阶导数的一般表达式 （1） y = ( ax + b) 解 n y ' = n(ax + b) n 1 a . y ' ' = n(n 1)(ax + b) n 2 a 2 . 由归纳法可证明 y ( n ) = n!a n . （2） y = sin x2 解 y ' = 2 sin x cos x = sin 2 x. (n 1)π y ( n ) = 2 n 1 sin 2 x + . 2 （3） y = 1 x(1 x) 1 1 + , 故 x 1 x x n +1 解 因为 y = (n) y ( 1)n n! + = 1 1 2x (1 x )n+1 n! . （4） y = 解 因为 y = (1 2 x) 12 故 31 1 y ' = (1 2 x) 2 (2) = (1 2 x) 2 = (1 2 x) 1 (1 2 x) 2 . 2 51 3 3 y ' ' = (1 2 x) 2 (2) = 3(1 2 x) 2 (1 2 x) 2 . 2 有归纳法可得 12 y (n) = 1 3 5L (2n 1) (1 2 x) 1 n+ 2 = (2n 1)!! (1 2 x) n+ 12 . 17．试从 dx 1 = 导出 dy y ' （2） （1） d 2x y' ' ； = 2 dy ( y ')3 d 3 x 3( y ' ') y ' y ' ' . = dy 3 ( y ')5 2 1 d y ' dx y ' ' 1 d x y' ' = = . 解 （1） = 2 2 dx dy ( y ' ) y ' dy ( y' ) 32 y' ' d ( y ' ) 3 dx y ′′′y ′ 3 + y ′′3 y ′ 2 y ′′ 1 3( y ′′)2 y ' y ′′′ d 3x （2） 3 = . = = dx dy y' ( y' ) 6 dy ( y ')5 13 习 题 3―3 1．求下列方程所确定的隐函数 y 的导数 （1） x + 2 xy y = 2 x 22 dy dx 解 2 x + 2 y + 2 xy '2 yy ' = 2 ， x+ y y' = 1xy.xy （2） xy = e 解 y + xy ' = e x + y (1 + y ' ) ， ( x e x + y ) y ' = e x + y y ， x =0 y y' = e x+ y y . ( x e x+ y ) （3） ln y + 解 y 1 yxy ' = 0 ， ( y x) y '+ y = 0 ， y ' = . y '+ 2 x y y y （4） arctan( x + y ) = x 解 1 + y' = 1 ， 1 + y' = 1 + ( x + y) 2 ， y' = ( x + y) 2 . 2 1 + ( x + y) y （5） y = 1 xe 解 ey y ' = e xe y ' ， y ' = . 1 + xe y yy （6） arctan y = ln x 2 + y 2 x y' = x+ y . x y 解 1 y ' x y 1 2 x + 2 yy ' xy ' y x + yy ' = 2 ， 2 = 2 , 2 2 2 2 2 x +y x x +y x + y2 y 1+ 2 x x 2．用求对数求导法求下列函数的导数. （1） y = x 解 cos 2 x ln y = cos ln x 2 14 1 x 1 x 1 y ' = sin ln x + cos y 2 2 2 x y' = x cos x2 x 1 x 1 cos sin ln x . 2 2 2 x cos x （2） y = sin x 解ln y = cos x ln sin x 1 cos x y ' = sin x ln sin x + cos x y sin x y ' = sin x cos x (cos x cot x sin x ln sin x) . 1 （3） y = 1 + x 解 x 1 ln y = x ln1 + x 1 x 1 1 y ' = ln1 + + x y x x +1 x2 1 y' = 1 + x x 1 1 ln1 + x x + 1 . （4） y = x 解 3 x2 x2 +1 1 ln y = ln x + [2 ln x ln( x 2 + 1)] 3 1 1 1 2 2x y' = + 2 y x 3 x x + 1 5 2x y ' = y 3x 3 x 2 + 1 ( ) 3x 2 + 5 x2 3 =x 2 . x + 1 3x x 2 + 1 ( ) （5） y = 解 ) 1 ln y = ln (1 + x ) ln (x + 2 1+ x x + 1+ x2 22 ( 1 1+ x2 ) 15 1 1 2x 1 y' = 2 y 2 1+ x x + 1+ x2 x + 1+ x2 y' = y = 2 1+ x （6） y = 解 x 1 + 1+ x2 3 ( 1+ x ) 2 1 . x p (1 x) q 1+ x ln y = p ln x + q ln(1 x) ln(1 + x) 1 1 p q y' = y x 1 x 1+ x y' = x p (1 x) q p q 1 . 1+ x x 1 x 1+ x 4． 求隐函数的二阶导数 （1） y + 2 ln y = x 24 解2 yy '+2 1 y ' = 4 x 3 ?????（1） y y' = 2x3 y . 1+ y2 y ′ 2 y ′′ + = 6x 2 2 y y （1）式两边分别对 x 求导数 y ′ 2 + yy ′′ y 2 y ′ 2 + y 3 y ′′ y ′ 2 + yy ′′ = 6 x 2 y 2 y ′′ = 6 x 2 y 2 ( y 2 1) y ′ 2 y (1 + y 2 ) 222 2x3 y 6 x y + (1 y ) 1+ y2 = 2 y (1 + y ) = 2 6 x 2 y (1 + y 2 ) 2 + 4 x 6 y (1 y 2 ) . (1 + y 2 ) 3 （2） y = sin( x + y ) 16 解 y ' = cos( x + y )(1 + y ' ) ??????（1） y' = cos( x + y ) 1 cos( x + y ) （1）式两边再对 x 求导数 y ' ' = sin( x + y )(1 + y ' ) 2 + cos( x + y ) y ' ' y' ' = （3） xy = e 解 sin( x + y )(1 + y ' ) 2 sin( x + y ) . = 1 cos( x + y ) [1 cos( x + y)]3 x+ y y + xy ' = e x + y (1 + y ' ) ??????（1） e x + y y y ( x 1) y' = = x e x + y x(1 y ) （1）式再对 x 求导数 y '+ y '+ xy ' ' = e x + y (1 + y ' ) 2 + e x + y y ' ' y' ' = y' ' = e x + y (1 + y ' ) 2 2 y ' . x e x+ y e x + y ( x e x + y + e x + y y ) 2 2(e x + y y )( x e x + y ) (x e ) x+ y 3 = xy ( x y ) 2 2 xy ( x 1)(1 y ) x 3 (1 y ) 3 ( x 1) 2 + ( y 1) 2 x 2 (1 y ) 3 2 = （4） x + y 2 =e arctan yx 解 12 1 x2 + y2(2 x + 2 yy' ) = e arctan yx 1 xy ' y 2 2 y x 1+ 2 x x + yy ' = xy ' y y' = x+ y x y y' ' = (1 + y ' )( x y ) ( x + y )(1 y ' ) 2( x 2 y 2 ) . = ( x y) 2 ( x y) 3 17 5．求下列参量函数的导数 1 x= t +1 （1） 2 y = t t +1 解 t (t + 1) t dy 2 dy 2t t + 1 (t + 1)2 = = dt = . dx 1 dx t +1 dt (t + 1)2 2at x = 1 + t 2 （2） 2 y = a (1 t ) 1+ t2 a[2t (1 + t 2 ) (1 t 2 ) 2t ] 解 dy = dx (1 + t ) 22 2a(1 + t 2 ) 2at 2t = (1 + t ) 2t 4at . = 2 2 2a (1 t ) t 1 22 t x = e cos t （3） y = e t sin t 解 dy e t cos t + e t sin t cos t + sin t = = . dx e t cos t e t sin t cos t sin t （4） x = θ (1 sin θ ) y = θ cosθ 解 cosθ + θ ( sin θ ) cosθ θ sin θ dy = = . dx 1 sin θ + θ ( cosθ ) 1 sin θ θ cosθ 6． 写出下列曲线在所给参数值相应的点的切线方程和法线方程. （1） x = sin t y = cos 2t , dy dx π 4 在t= π 4 处 解 切线方程： = t= sin 2t 2 = 2 2 cos t t =π4 2 ， 即 2 2x + y 2 = 0 . y 0 = 2 2 x 2 18 法线方程： y0 = 12x ， 即 222 2x 4 y 1 = 0 . 3at x = 1 + t 2 （2） 2 y = 3at 1+ t2 在t=2 处 6at (1 + t ) 3at 2t 22 解 dy dx = t =2 (1 + t ) 22 3a(1 + t ) 3at 2t 2 = t =2 (1 + t ) 2t 2 1 t = t =2 43 22 切线方程： y 法线方程： 12a 4 6a = x ， 即 4 x + 3 y 12a = 0. 5 3 5 y 12a 3 6a = x ， 即 3x 4 y + 6a = 0. 5 4 5 7． 求下列参量函数的二阶导数 x = 1 + t 2 （1） t 1 y = 1+ t 2 t 2 + 1 (t 1) 解 t t2 +1 t t +1 2 dy = dx t2 +1 = t +1 t (t 2 + 1) t t 2 + 1 (t + 1)[ t 2 + 1 + t 2t ] d y = dx 22 ( ) t t +1 22 ( ( ) ) 2 t t2 +1 = 2t 3 3t 2 1 t 3 (t 2 + 1) 32 . （2） x = ln(1 + t 2 ) y = t arctan t 19 解 1 dy 1 1 + t 2 = dx 2t 1+ t2 t= ， 2 d2y = dx 2 12 2t 1+ t2 = 1+ t2 . 4t （3） x = a(cos t + t sin t ) y = a (sin t t cos t ) d2y sec 2 t sec 3 t = = . at dx 2 at cos t 解 dy a (cos t cos t + t sin t ) = = tan t ， dx a( sin t + sin t + t cos t ) x = f ' (t ) y = tf ' (t ) f (t ), （4） f ' ' (t ) ≠ 0 d2y 1 = . 2 f ' ' (t ) dx 解 dy f ' (t ) + tf ' ' (t ) f ' (t ) = =t， dx f ' ' (t ) 20 习 题 3―4 1．求函数 y = 5 x + x 解 2 当 x = 2 ， Δ x = 0.001 时的 Δ y 和 dy 2 Δy = 5( x + Δx) + ( x + Δx) 2 (5 x + x 2 ) = 5Δx + (Δx ) + 2 xΔx 当 x = 2 ， Δ x = 0.001 时Δ y = 5 × 0.001 + (0.001) 2 + 2 × 2 × 0.001 = 0.009001 dy = y ' dx = (5 + 2 x)dx ， dy x =2 Δx = 0.001 = (5 + 4) × 0.001 = 0.009 . 3． 已知曲线 y = f (x) 在 x = 1 处的切线方程为 2 x y + 1 = 0 ， x = 1 的微分 dy . 解 求 由题设和导数的几何意义可知 y ' x =1 = k = 2 所以 dy x =1 = y ' x =1 dx = 2dx . 4． 求下列函数的微分 （1） y = ( x + 2 x)( x 4) 2 解 dy = [(2 x + 2)( x 4) + ( x 2 + 2 x)]dx = (3x 2 4 x 8)dx. x 1 x2 （2） y = 解 y' = 1x2x(2x) (1 x ) 22 = (1 x ) 1+ x2 22 ， dy = (1 x ) 1+ x2 22 dx . （3） y = x sin x 2 解 dy = (2 x sin x + x 2 cos x)dx . （4） y = ln(1 x ) 解 [ 22 ] y ' = 2 ln (1 x ) 2 (1 x ) 2 2 (1 x)(1) = 4 2 ln (1 x ) 1 x dy =（5） y = 4 2 ln (1 x ) dx. 1 x 1 (tan x + 1) 2 21 解 y ' = 2(tan x + 1) 3 sec 2 x dy = 2 sec 2 x dx . (tan x + 1) 3 2 （6） y = arcsin 1 x 解 dy = 1 1 (1 x ) 2 d1x= 2 1x x1x 2 dx = xx1x 2 dx = ± 11x 2 dx （7） y = ln(sec x + tan x) 解 1 d (sec x + tan x) sec x + tan x 1 = (sec x tan x + sec 2 x)dx sec x + tan x = sec xdx . 1 x （8） y = arctan 1+ x 1 1 x d 解 dy = 2 1 x 1+ x 1+ 1+ x dy = = (1 + x) 2 (1 + x) (1 x) dx 2 2 (1 + x) + (1 x) (1 + x) 2 1 dx . = 1+ x2 （9） y = ch(shx) 解 dy = sh( shx)dshx = sh( shx)chxdx . 1 1 1 1 dx . dthx = dx = 2 2 2 2 1 + th x 1 + th x ch x ch x + sh 2 x 0 （10） y = arctan(thx) 解 dy = 6． 计算下列各题的近似值 （1） cos 29 解 设 f ( x) = cos x ， f ' ( x) = sin x 由 f ( x) ≈ f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )( x x0 ) 令 x0 = 30 = 0 π 6 ，则 x x0 = π 180 cos 29 0 = cos π6 sin π 3 1 π π × + × ≈ 0.8748 . = 6 180 2 2 180 22 （2） arctan 1.05 解 （3） 解 1 2 1+ x 令 x0 = 1 ，则 Δ x = 1.05 1 = 0.05 故 π 1 1 arctan 1.05 ≈ arctan 1 + × 0.05 = + × 0.05 ≈ 0.8104 . 2 4 2 1+1 1 设 f ( x) = arctan x ， f ' ( x) = 99.5 x 2x x 取 x0 = 100 ，则 Δ x = 99.5 100 = 0.5 故 1 99.5 （4） ln 0.9 解 设 f ( x) = ln x ， f ' ( x) = 设 f ( x) = 1 ， f ' ( x) = 1 ≈ 1 1 1 + = 0.10025. + × (0.5) = 10
× 100 × 10 1 1 x 取 x0 = 1 ，则 Δ x = 0.1 故 1 ln 0.9 ≈ ln 1 + × (0.1) = 0.1 . 1 23 复习题 3 3．求下列函数的导数 （1） y = arctan 1+ x 1 x 1 1 x +1+ x 2 解： y ′ = = 2 2 1+ x 2 (1 x) (1 x) + (1 + x) 2 1+ ( ) 1 x 1 = 1+ x2 x （2） y = ln tan cos x ln tan x 2 1 1 1 x sec 2 + sin x ln tan x cos x sec 2 x 解： y ′ = x 2 2 tan x tan 2 1 1 = + sin x ln tan x sin x sin x = sin x ln tan x （3） y = x x ( x & 0) 解： 取对数： 1 ln x x 方程两边分别对 x 求导数： 1 y ′ = 1 ln x + 1 1 y x x x2 ln y = y′ = xx x 2 x (1 ln x) 2x （4） y = ln(e + 1 + e 解： y ′ = ) (e + x 1 e x + 1 + e2x ex 1 + e2x sin 2 1 x sin 2 1 x e2x 1 + e2x ) = （5） y = e 解： 2 sin 1 cos 1 ( 12 ) x x x 2 sin 1 sin 2 = 2x e x x 4．求下列 f (x) 的 f ′ (0) 及 f +′ (0) ，又 f ′(0) 是否存在： x&0 sin x , f (x ) = （1） x?0 ln (1 + x ), y′ = e 24 解： f ' (0 ) = lim x →0 f +′ (0) = lim + 故 f ′(0) = 1 . x →0 f ( x) f (0) sin x ln(1 + 0) = lim = 1， x →0 x0 x f ( x ) f (0) ln (1 + x ) ln (1 + 0) = lim =1. + x →0 x0 x （2） , x?0 x f (x ) = 2 1, x&0 x sin x x0 解： f ′ (0 ) = lim = 1, x →0 x 1 x 2 sin 0 x =0. f +′ (0 ) = lim x →0 + x 故 f ′(0 ) 不存在. 2 ln 1 + x 2 , x ≠ 0 0 , x=0 5． 设函数 f ( x ) = x （1） 求 f ′(0 ) ( ) 2 ln (1 + x 2 ) 0 f (x ) f (0 ) 解： f ′(0 ) = lim = lim x = 2. x →0 x →0 x x0 （2） 求 f ′( x ) ′ 2 2 解： x ≠ 0 时 f ′( x ) = ln (1 + x ) x 2 2 2x = 2 ln 1 + x 2 + x 1+ x2 x 2 4 = 2 ln 1 + 当 x 2 + . x 1+ x2 x = 0 时， f ′(0 ) = 2 . ( )) ( （3） 证明 f ′( x ) 连续 证明： x ≠ 0 时，因为 f ′( x ) 为初等函数故连续，而 4 2 lim f ′( x ) = lim 2 ln 1 + x 2 + x →0 x →0 1+ x2 x = 2 + 4 = 2 = f ′(0 ) 故 x = 0 时， f ′( x ) 也连续，所以 f ′( x ) 在 ( ∞,+∞ ) 上都连续. 6．求下列函数的指定阶导数 （1） y = cos x ln x ，求 y ′′ 2 ( ) 解： y ′ = 2 cos x( sin x )ln x + 1 cos 2 x x 25 1 cos 2 x x 1 cos 2 x 1 ′′ = 2 cos 2 x ln x sin 2 x y + 2 cos x( sin x ) x x x2 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x ln x 2 cos 2 x x x y = f sin x 2 具有二阶导数，求 y ′′ . （2） 2 2 解： y ′ = f ′(sin x )cos x 2 x = 2 x cos x 2 f ′ sin x 2 = sin 2 x ln x + ( ) ( ) y ′′ = [2 cos x 2 + 2 x sin x 2 2 x] f ′ sin x 2 + 2 x cos x 2 f ′′ sin x 2 cos x 2 2 x = 2(cos x 2 x21222 (( ) sin x ) f ′(sin x ) + 4 x (cos x ) f ′′(sin x ) 2222 ) ( ) (3) y = m 1 + x ，求 y (n ) . 解： y = (1 + x ) m 1 1 1 y ′ = (1 + x ) m ， m 1 11 2 y ′′ = 1(1 + x ) m ， mm 1 11 1 ( n 1) ( n 1) = 1 L (n 1) + 1(1 + x ) m 设 y mm m 1 11 1 n +1 = 1 L n + 2 (1 + x ) m mm m 1 11 1 1 n (n ) 所 以 y = 1 L n + 2 n + 1(1 + x ) m mm m m 1 x ，求 y (n ) . （4） y = 1+ x ′ 2 ( 1) 2 解： y′ = 1 = (1 + x )2 1+ x y ′′ = 2 ( 1)( 2) = 2( 1)2 2! ， (1 + x )3 (1 + x )3 n1 设 y (n 1) = y (n ) = （5） y = x 2 1 e x ，求 y (24 ) . 2 x 解： 设 u = e ， v = x 1 ( (n 1)!( n ) (1 + x )n+1 n 2( 1) n ! = (1 + x )n+1 n1 2( 1) 2( 1) (n 1)! ，则 (1 + x )n ) ( ) 26 u (k ) = e x ， (k = 1,2, L 24 ) v ′ = 2 x ， v ′′ = 2 ， v (k ) = 0, (k = 3, L 24) 利用莱布尼兹公式，得 y (24 ) = e x ( )( ) (x 24 ) ( ) (x ″ + 24 × 23 (e ) (x 1) 2! 2 1 + 24 e x x ( 22 ) 2 ( 23) 2 1 )′ = e x x 2 1 + 24e x 2 x += e x 2 + 48 x + 551 y 7 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 + xe 所确定， y ′′(0 ) . y 解： 求 将方程 y = 1 + xe 两边分别对 x 求导数， y ′ = e y + xe y y ′ ， ey . 1 xe y 当 x = 0 时 得 y = 1. e y ′ x =0 = = e， 1 0 ′ e y e y y ′(1 xe y ) e y ( e y xe y y ′) . y ′′ = 1 xe y = (1 xe y )2 e e(1 0) + e(e + 0 ) = 2e 2 . y ′′ x =0 = 2 (1 0) x = 2e t 8 求曲线 在 t = 0 相应的点处的 切线方程和法线方程. t y = e y′ = 解： ( (x ) ) 24 × 23 x e 2 2! dy dx 当 t = 0 时，对应点为 (2,1) . 切线方程: 法线方程: t =0 e t = 2e t = t =0 12 y1= 1 (x 2) ， 即 x + 2 y 4 = 0 2 y 1 = 2( x 2 ) ， 即 2 x y 3 = 0 d 2 y dy + e2x y = 0 dx 2 dx 9 作变量代换 x = ln t ,简化方程: 解: 设 于是 x = ln t y = y ( x(t )) dy dy dt dy 1 dy ， = = =t dx dt dx dt dx dt dt 27 ′ dy dy d2y t +t 2 2 d 2 y dt dt = t dy + t 2 d y . = = dt 1 dt dx 2 dt 2 (ln t )′ t 2 d y dy + e2x y = 0 代入方程 2 dx dx 2 d y t 2 2 + e 2 ln t y = 0 得 dt 2 d y +y=0 即 dt 2 10 利用函数的微分 代替函数的增量求 3 1.02 的近似值. 解: 设函数 f ( x ) = x , 13 取 x0 = 1, Δ x = 0.02, 230 由 1 1 x = 3 3 f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )Δ x , 可求得 1 3 1.02 ≈ 1 + × 0.02 ≈ 1.007 . 3 f ′(1) = 28 第 四 章 习 题 4―1 1．设函数 f ( x) = ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ，证明：方程 f ' ( x) = 0 在 x ∈ [1, 4] 上必 有三 个实根。 证明： 由于 f ( x) ∈ C[1, 4] ， f ( x) ∈ D(1, 4) .且 f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0 ， 由 罗尔定理知在 [1, 2] 上 ξ 1 ∈ (1, 2) ，有 f ' (ξ 1 ) = 0 . 同理 在 [2, 3] 上 ξ 2 ∈ (2, 3) ，有 f ' (ξ 2 ) = 0 ， 在 [3, 4] 上 ξ 3 ∈ (3, 4) ，有 f ' (ξ 3 ) = 0 . 而函数 f ' ( x) = 0 为三次方程， 它至多有三个实数根， ξ 1 , 而 故 f ' ( x) = 0 在 x ∈ [1, 4] 上必有三个 实根。 2． 验证： 函数 f ( x) = e x ξ 2 , ξ 3 三个实根恰好在 [1, 4] 中.sin x 在 x ∈ [0, π ] 上满足罗尔定理， 并求出满足 f ' ( x) = 0 的 ξ 值。 解：因为 f ( x) = e x sin x 满足 f ( x) ∈ C[0, π ] ， f ( x) ∈ D(0, π ) 且 f (0) = f (π ) = 0 . 所以在 [0, π ] 上 f (x) 满足罗尔定理的条件. ξ 而 f ' (ξ ) = e sin ξ + e ξ cos ξ 2 π 4 . 2 = 0 ，知 ξ =3． f ( x) ∈ D [1, 2] ， f (1) = f (2) = 0 ， F ( x) = ( x 1) f ( x) 时， 设 且 当 证明： 必有 在 ξ ∈ (1, 2) ，使 F ′′(ξ ) = 0 。 证明： F ( x) = ( x 1) f ( x) 在 [1, 2] 上满足罗尔定理的条 件，而 2 F ' ( x) = 2( x 1) f ( x) + ( x 1) 2 f ( x) ， 有 F ' (ξ 1 ) = 2(ξ 1 1) f (ξ 1 ) + (ξ - 1) f (ξ 1 ) = 0, (1 & ξ 1 & 2) . 而 F ' ( x) 在 x ∈ [1, ξ 1 ] 上仍然满足罗尔定理的条件 F ' ( x) ∈ C[1, ξ 1 ] ， F ' ( x) ∈ D(1, ξ 1 ) ， F ' (1) = F ' (ξ 1 ) = 0 ， ξ ∈ (1, 且 故 1 ) ，有 F ′′(ξ ) = 0 . 4． 验证函数 f ( x) = ar}