2015高考数学(文 )选修4-4 坐标系与参数方程一轮复习题有解析
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2015高考数学(文&)选修4-4&坐标系与参数方程一轮复习题有解析
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文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
04限时规范特训A级　基础达标1．[;北京东城模拟]在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，则下列各点在圆C上的是(　　)A．(1，－π3)& &B．(1，π6)C．(2，3π4)& &D．(2，5π4)解析：将上述各点逐个代入验证，可知ρ＝2cos(－π3)＝1，故A正确．答案：A2．[;佛山模拟]在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是(　　)A.3＋1& &B.2C.6& &D.3＋2解析：P(3，－1)到x－3y＋2＝0的距离为3＋1.答案：A3．[;深圳模拟]在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点(4，π6)作曲线C的切线，则切线长为(　　)A．4& &B.7C．22 &D．23解析：ρ＝4sinθ化成普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点(4，π6)化成直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理得切线长为ǡ2＋&#&#＝22，故选C.答案：C4．[;东营模拟]在极坐标系中，已知点P(2，π6)，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)A．ρsinθ＝1& &B．ρsinθ＝3C．ρcosθ＝1 &D．ρcosθ＝3解析：先将极坐标化成直角坐标表示，P(2，π6)转化为点x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.答案：A5．[;皖南八校联考]已知曲线M与曲线N：ρ＝53cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的极坐标方程为(　　)A．ρ＝－10cos(θ－π6)& &B．ρ＝10cos(θ－π6)C．ρ＝－10cos(θ＋π6)& &D．ρ＝10cos(θ＋π6)解析：曲线N的直角坐标方程为x2＋y2＝53x－5y，即(x－532)2＋(y＋52)2＝25，故其圆心为(532，－52)，半径为5.又∵曲线M与曲线N关于x轴对称，∴曲线M仍表示圆且圆心为(532，52)，半径为5，∴曲线M的方程为(x－532)2＋(y－52)2＝25，即x2＋y2＝53x＋5y，化为极坐标方程为ρ＝53cosθ＋5sinθ＝10cos(θ－π6)，故B正确．答案：B6．[;陕西检测]在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)上任意两点间的距离的最大值为________．解析：∵ρ＝4cos(θ－π3)化成直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4，表示以(1，3)为圆心，r＝2的圆，∴曲线上即圆上任意两点间距离的最大值为圆的直径4.答案：47．在极坐标系中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＋ρsinθ＝1的交点为A，B，则|AB|＝________.解析：将ρ＝2sinθ化成直角坐标方程得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，将ρcosθ＋ρsinθ＝1化成直角坐标方程得x＋y＝1.圆心(0,1)在直线x＋y＝1上，故|AB|＝2r＝2.答案：28．已知曲线C：x＝2cosθy＝2sinθ(θ为参数)和直线l：x＝ty＝t＋b(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l的距离都等于1，则b＝________.解析：将曲线C和直线l的方程分别化成普通方程得x2＋y2＝4和y＝x＋b，依题意，若要使圆上有3个点到直线l的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|2＝1，解得b＝±2.答案：±29．[;佛山模拟]在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C1：ρ＝4sinθ的异于极点的交点为A，与曲线C2：ρ＝8sinθ的异于极点的交点为B，则|AB|＝________.解析：将射线与曲线C1的方程联立，得θ＝π3，ρ＝4sinθ，解得θ＝π3，ρ＝23，故点A的极坐标为(23，π3)；同理由θ＝π3，ρ＝8sinθ，得θ＝π3，ρ＝43，可得点B的极坐标为(43，π3)，所以|AB|＝43－23＝23.答案：2310．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．直线l的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝a－b2，与曲线C：ρ＝2交于A，B两点，已知|AB|≥6.(1)求直线l与曲线C的直角坐标方程；(2)若动点P(a，b)在曲线C围成的区域内运动，求点P所表示的图形的面积．&解：(1)直线l的直角坐标方程为x＋3y＝a－b，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2.(2)因为|AB|≥6，所以圆心到直线的距离d＝|a－b|2≤22，即|a－b|≤2.动点P(a，b)在曲线C围成的区域内运动，如图阴影部分所示，阴影部分的面积为π＋2.11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．直线l的参数方程为x＝ty＝at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ－4sinθ)＝12，定点A(6,0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥23，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝12.设点P(x′，y′)，Q(x，y)．由中点坐标公式得，x′＝2x－6y′＝2y代入x2＋y2－4y＝12中，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4.(2)直线l的普通方程为y＝ax.由垂径定理，得|3a－1|a2＋1≤22－ǡ2，解得a的取值范围是[0，34]．12．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，π2)，若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．解：(1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tanπ3，此方程可化为y＋5sinπ3＝x－1cosπ3，令y＋5sinπ3＝x－1cosπ3＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为x＝12a＋1，y＝32a－5(a为参数)．圆C的直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，即x2＋y2－8y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得ρ2－8ρsinθ＝0，化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是3x－y－5－3＝0，圆心M到直线l的距离d＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32&4，所以直线l和圆C相离．B级　知能提升1．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝π4，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由ρ＝2cosθ，θ＝π4得ρ＝2，θ＝π4，即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB＝2.答案：22．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：注意到曲线ρ2－2ρcosθ＋4ρsinθ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即|3×1＋4×－2＋m|5&1，|m－5|&5，解得，m&0或m&10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)3．[;黄冈质检]在极坐标系中，已知圆C的圆心为(6，π2)，半径为5，直线θ＝α(0≤α≤π2，ρ∈R)被圆截得的弦长为8，则α的值为________．解析：根据题意知，圆心到直线的距离为3，又圆心的直角坐标为(0,6)，半径为5，故圆的直角坐标方程为x2＋(y－6)2＝25.将θ＝α(0≤α≤π2，ρ∈R)化为直角坐标方程得y＝(tanα)x(0≤α≤π2)，即(tanα)x－y＝0(0≤α≤π2)，故圆心(0,6)到直线(tanα)x－y＝0的距离为|－6|tan2α＋－1&#，解得tanα＝3或tanα＝－3(舍去)．又0≤α≤π2，所以α＝π3.答案：π34．在平面直角坐标系中，直线l过点P(2，3)且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－π3)，直线l与曲线C相交于A、B两点．(1)若|AB|≥13，求直线l的倾斜角α的取值范围；(2)求弦AB最短时直线l的参数方程．解：(1)∵曲线C的极坐标方程为p＝4cos(θ－π3)，∴曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.设圆心C到直线l的距离为d.∵|AB|≥13，∴d≤32.当直线l的斜率不存在时，|AB|＝23&13，不成立．当直线l的斜率存在时，设l：y－3＝k(x－2)，则d＝|k|1＋k2≤32，∴－3≤k≤3，∴直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π3]∪[2π3，π)．(2)要使弦AB最短，只需l⊥CP，∴直线l的倾斜角为π2，&
∴直线l的参数方程为x＝2y＝3＋t(t为参数)． 文 章 来源 莲山 课件 w w w.5 Y
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