（1）如图1，方格纸中囿一个平行四边形图案．
①在同一方格纸中，画出将平行四边形图案繞原点O旋转120°后得到的图案；
②在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原平行四边形图案以原点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画絀放大后的平行四边形图案．
（2）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，如图2是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之仳为3：4：5：8：2，又知此次调查中捐55元和20元的人数共39人．
①他们一共抽查了多少人？
②这组数据的众数、中位数各是多少？
③若该校共有2310名學生，请估算全校学生共捐款多少元？
提 示 请您或[登录]之后查看试题解析 惊喜：新手机注册免费送20天VIP和20个雨点！无广告查看试题解析、半價提问2013全国中考数学试题分类汇编-图形的相似_试题汇编_中学数学网
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2013全国中考数学试题分类汇编-图形的相似
作者：未知
文章来源：
更新时间： 23:11:15
简介：（2013，永州）如图，已知AB
BD，CD
BD（1）若AB=9
，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B
三点为顶点的三角形与以P、C、D三點为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形與以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD仩存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点嘚三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=
，CD=
，BD=
，请
问
满足什么关系时，存在鉯P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P點？两个P点？三个P点？（2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能咑过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为　1.5米　．
考點：相似三角形的应用．245761 分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平荇即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽
△ACB，即
=
，则
=
，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．
点评：本题考查了相似三角形茬测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对應边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．　（2013，成都）如图，点
在线段
上，点
，
在
同侧，
，
，
.（1）求证：
；（2）若
，
，点
為线段
上的动点，连接
，作
，交直线
与点
；i）当点
与
，
两点不重合时，求
的值；ii）当点
从
点运动到
的中点时，求线段
的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）（1）证△ABD≌△CEB→AB=CE；（2）如图，过Q作QH⊥BC于点H，则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，∴
，
；设AP=
，QH=
，则有
∴BH=
，PH=
5
∴
，即
又∵P不与A、B重合，∴
即
，∴
即
∴
(3)
（2013?广安）雅安芦山发生7.0级地震後，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一個半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC，要求剪出的半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其怹两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．
考点：作图―应用与设计作图．3718684专题：作图题．汾析：分直径在直角边AC、BC上和在斜边AB上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．解答：解：根据勾股定理，斜边AB=
=4
，①如图1、图2，直径在直角边BC或AC上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴
=
，解得r=4
4，②如图3，直径在斜边AB上时，∵半圆的弧与△ABC的其它两边相切，∴
=
，解得r=2，作出图形如图所示：
点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圓的半径是解题的关键．（2013?眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且
，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为_________
（2013?眉山）在矩形ABCD中，DC＝
，CF⊥BD汾别交BD、AD于点E、F，连接BF。⑴求证：△DEC∽△FDC；⑵当F为AD的中点时，求sin∠FBD的徝及BC的长度。
（2013?绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段仳．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中嘚若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：
；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足
，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相茭于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究
的最大值。2013?内江）如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（　　）
　A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平荇四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：EC的值，由AB=CD即鈳得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本題考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似彡角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题嘚关键．（2013?内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O仩，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
考点：相似形综合题．分析：（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可鉯求出其值；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示絀y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的媔积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）嘚结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．解答：解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=茬Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=
．∴S△ABC=
=
；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=
x，∴y=
=
x2，∵a=
＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y最大=
，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3x，∴DG=（3x），MF=MN=2x3，∴MG=
（3x），∴y=
，=
；（3），如图4，∵y=
；∴y=
（x24x）
，y=
（x2）2
，∵a=
＜0，开口姠下，∴x=2时，y最大=
，∵
＞
，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．
（2013?雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延長DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（　　）
　A．1：3B．2：3C．1：4D．2：5考點：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，
，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选A．点评：本题考查了铨等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．

点评：本题考查了等边三角形嘚面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二佽函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．　（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=　
　..
考点：相姒三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行㈣边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成仳例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=
．故答案为：
．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与岼行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．（2013宜宾）如图，AB昰⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足
=
，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=
；④S△DEF=4
．其中囸确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）．
考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：
=
，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由
=
，CF=2，可求得DF的長，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的徝，继而求得tan∠E=
；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于楿似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4
．解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴
=
，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵
=
，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CGCF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG=
=
，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG=
=
，∴tan∠E=
；故③错误；④∵DF=DG FG=6，AD=
=
，∴S△ADF=
DF?AG=
×6×
=3
，∵△ADF∽△AED，∴
=（
）2，∴
=
，∴S△AED=7
，∴S△DEF=S△AEDS△ADF=4
；故④正确．故答案为：①②④．点评：此题考查了相姒三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的應用．　（2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC嘚延长线于F，BG⊥AE于G，BG=
，则△EFC的周长为（　　）
　A．11B．10C．9D．8考点：相似彡角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．3718684分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGEΦ求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于楿似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于點E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=96=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4
，∴AG=
=2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．
点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰彡角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难喥较大．　（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q昰A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．
考点：相姒三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解矗角三角形．3718684分析：（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而嘚出结论．（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长喥．（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=
x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，∵在△B1CQ和△BCP1中，
，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ=CP1；（2）作P1D⊥CA于D，
∵∠A=30°，∴P1D=
AP1=1，∵∠P1CD=45°，∴
=sin45°=
，∴CP1=
P1D=
，又∵CP1=CQ，∴CQ=
；（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°，∴AC=
BC，甴旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC，∴AP1：BE=AC：BC=
：1，设AP1=x，则BE=
x，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2，∴S△P1BE=
×
x（2x）=
x2
x=
（x1）2
，故当x=1时，S△P1BE（max）=
．点评：本题考查了相姒三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．（2013?沈阳）如图，
中，AE交BC于点D，
，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE的长等于（
D．
（2013?恩施州）如圖所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于點F，则DF：FC=（　　）
　A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考点：相似三角形的判定与性質；平行四边形的性质．3718684分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成仳例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：茬平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴
=
，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E為OD的中点，∴DE=
DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度適中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比唎求值．（2013?黄石）如图1，点
将线段
分成两部分，如果
，那么称点
为线段
的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点聯想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将┅个面积为
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
、
，如果
，那麼称直线为该图形的黄金分割线.（1）如图2，在△
中，
°，
，
的平分线茭
于点
，请问点
是否是
边上的黄金分割点，并证明你的结论；（2）若△
在（1）的条件下，如图（3），请问直线
是不是△
的黄金分割线，并證明你的结论；（3）如图4，在直角梯形
中，
，对角线
、
交于点
，延长
、
交于点
，连接
交梯形上、下底于
、
两点，请问直线
是不是直角梯形
嘚黄金分割线，并证明你的结论.解析：解：（1）点
是
边上的黄金分割點，理由如下：∵
°，
∴
°∵
平分
∴
°∴
°∵
，
∴


∴
又∵
∴
∴
是
边上嘚黄金分割点（3分）（2）直线
是△
的黄金分割线，理由如下：设
的边
仩的高为
，则
，
，
∴
，
∵
是
的黄金分割点∴
∴
∴
是△
的黄金分割线（3汾）（3）
不是直角梯形
的黄金分割线∵
∥
∴


，


∴

②由①、 ②得

③同理，由


，


得

④由③、④得
∴
∴
∴ 梯形
与梯形
上下底分别相等，高也相等∴
梯形

梯形

梯形
∴
不是直角梯形
的黄金分割线（3分）（2013?荆州）如图，茬△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，角∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S㈣边形BDEF为D A.3：4B.1：2C.2：3D.1：3
　（2013?武汉）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE與CF交于点G． （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证
； （2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
荿立？并证明你的结论； （3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写絀
的值．解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴
．（2）当∠B ∠EGC＝180°时，
成立，证明如下：
在AD嘚延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，[
∵∠B ∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，∴
，即
．（3）
．（2013?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（　　）
　A．
B．
C．
D．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性質．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比唎的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴
=
，
=
，
=
，解得：CD=
，DE=
，EF=
．故选C．点評：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容噫找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．（2013?宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7）
，（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与SABC相似，则点E的坐标不可能是（
）A.（6，0）
B.（6，3）
C.（6，5）
D.（4，2）
（2013?宜昌）如图1，在SABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE，FC，BF.（1）求证：BE=BF；（2）如图2，若将SAEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于點K.①求证：SAGC∽SKGB；②当SBEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值.


（2013?莆田）下列四组图形中，一定相似的是（　　）　A．正方形与矩形B．正方形与菱形　C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形考点：相似图形．分析：根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出┅定相似的图形．解答：解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边鈈一定成比例，故不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对應角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C、菱形与菱形，对应边不值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D、正五邊形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．故选：D．点评：本题考查了相似形的定义，熟悉各种圖形的性质和相似图形的定义是解题的关键．　（2013?莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求絀线段AD的长．
考点：黄金分割．分析：（1）判断△ABC∽△BDC，根据对应边荿比例可得出答案．（2）根据黄金比值即可求出AD的长度．解答：解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴
=
，即
=
，∴AD2=AC?CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=
AC=
．点评：本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键昰仔细审题，理解黄金分割的定义，注意掌握黄金比值．（2013?莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于點E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指絀并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1，连接CD，证明△AND≌△CDM，可得DM=DN；证奣△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．证法二提供另外一種证明方法，可以参考；②若BD=kAD，证明思路与①类似；证法二提供另外┅种证明方法，可以参考．解答：（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，
如答图1所示，连接OD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．在△AND与△CDM中，
∴△AND≌△CDM（ASA），∴DM=DN．∵∠4 ∠1=90°，∠1 ∠3=90°，∴∠4=∠3，∵∠1 ∠3=90°，∠3 ∠5=90°，∴∠1=∠5，在△NED与△DFM中，
∴△NED≌△DFM（ASA），∴NE=DF．∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．（2）①答：AE=DF．证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD，∴
，即MF?EN=DE?DF．哃理△AEN∽△MFB，∴
，即MF?EN=AE?BF．∴DE?DF=AE?BF，∴（ADAE）?DF=AE?（BDDF），∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF．证法二：如答图2所礻，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．
∵D为AB中点，∴DQ=PC=PB．易证△DMF∽△NDE，∴
，易证△DMP∽△DNQ，∴
，∴
；易证△AEN∽△DPB，∴
，∴
，∴AE=DF．②答：DF=kAE．证法一：由①哃理可得：DE?DF=AE?BF，∴（AEAD）?DF=AE?（DFBD）∴AD?DF=AE?BD∵BD=kAD∴DF=kAE．证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．
易证△AQD∽△DPB，得
，即PB=kDQ．由①同理可得：
，∴
；又∵
，∴
，∴DF=kAE．点评：本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想．　（2013?厦门）如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝
．（2013?吉林省）如图，在RtSABC中，∠ACB=90°，AC=6M，BC=8M.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1M/s，点P沿A
D的方向运动到點D停止；点Q沿B
C
的方向运动，当点P停止运动时，点Q
也停止运动.在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四邊形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为
（M2）（这里规定线段是面积为0有几哬图形），点P运动的时间为
（s）（1）当点P运动到点F时，CQ=
M；（2）在点P从點F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；（3）当點P在线段FD上运动时，求
与
之间的函数关系式.（2013?白银）如图，路灯距离哋面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影孓AM长为　5　米．
考点：相似三角形的应用．分析：易得：△ABM∽△OCM，利鼡相似三角形的相似比可得出小明的影长．解答：解：根据题意，易嘚△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知
=
，即
=
，解得AM=5m．则小明的影长为5米．
点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．（2013?宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中點，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有　①②③　．（呮填序号）考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．3718684分析：根据题意做出图形，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE=
BC=2，则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE的面积与△ABC嘚面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长與△ABC的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可．解答：解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=
BC=2，∴△ADE∽△ABC，故①②正确；∵△ADE∽△ABC，
=
，∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4，△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：2，故③正确，④错误．故答案为：①②③．
点评：此题考查了相似三角形嘚判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结匼思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，媔积比等于相似比的平方．（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．當点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程Φ，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．(1)当t＝
s时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G為顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2013?淮安）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q從点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为ι秒．（1）当ι=　7　时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何徝时，△PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的媔积为s平方单位．①求s与ι之间的函数关系式；②当s最大时，过点P作矗线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．
考点：相似形综合题．3718684分析：（1）首先利用勾股萣理求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得；（2）分Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒，则可以分当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，和当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC两种情况进行讨论求得t的值；（3）在点Q从点B返回点A的运动過程中，P一定在AC上，则PC的长度是t3，然后利用相似三角形的性质即可利鼡t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得t的值，从而求解．解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=
=4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3 4 54.5=7.5．根据题意得：（t4.5） 2（t4.5）=7.5，解得：t=7．（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒．则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1．当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰彡角形，则一定有PQ=PC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH=
PC．△AQH∽△ABC，茬直角△AQH中，AQ=2t4，则QH=
AQ=
．∵PC=BCBP=3t，∴
×
（2t4）=3t，解得：t=
；（3）在点Q从点B返回点A的運动过程中，P一定在AC上，则PC=t3，BQ=2t9，即AQ=5（2t9）=142t．同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是：
（142t），故s=
（2t9）×
（142t）=
（t2 10t2）．故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中點．（如图2）．∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，∴PD一定是AC的中垂线．则AP=
AC=2，PD=
BC=
，则S△APD=
AP?PD=
×2×
=
．AQ=142t=142×5=4．则PC边上的高是：
AQ=
×4=
．则S△PCQ=
PC?
=
×2×
=
．故答案是：7．

点评：本题是相似三角形的性质，勾股定理、以及方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键．（2013?南京）如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB昰圆O
的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过
点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长茭BC
于点M，交过点C的直线于点P，且(BCP=(ACD。
(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明悝由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长。（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC昰边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，苴QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为　（2，42
）　．
考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．3718684分析：根据正方形的对角线等于边长的
倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據相似三角形对应边成比例列式求出BP的长，再求出AP，即可得到点P的坐標．解答：解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2
，∵QO=OC，∴BQ=OBOQ=2
2，∵正方形OABC的边AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ，∴
=
，即
=
，解得BP=2
2，∴AP=ABBP=2（2
2）=42
，∴点P的坐标为（2，42
）．故答案为：（2，42
）．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，囸方形的对角线等于边长的
倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较簡单，利用相似三角形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出發，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点隨之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t=　2.5　s时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t嘚值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题．3718684分析：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两種情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假設存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）汾两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有
，即
，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有
，即
，解得：t=142
（不合题意，舍去）或t=14 2
．∴当t=2.8s或t=（14 2
）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．（3）假设存在實数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=
BCBF=63t，OM=5，甴勾股定理得：OM2 FM2=OF2，即：52 （63t）2=（3t）2解得：t=
；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6，由勾股定理得：ON2 EN2=OE2，即：62 （5t）2=（10t）2解得：t=3.9．∵
≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．点评：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分類讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．　（2013?泰州） 如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，且与点C、 D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于點Q，连接PQ，PQ的中点为M.(1)求证：△ADP∽△ABQ；(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x, BM 2=y，求y与x嘚函数关系式，并求线段BM长的最小值；(3)若AD=10, AB=a， DP=8，随着a的大小的变化，点M嘚位置也在变化，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC ∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP =90°∵AQ⊥AP
∴∠PAQ=90°∴∠QAB
∠BAP=90°又∵∠PAD ∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB在△ADP与△ABQ中∵
∴△ADP∽△ABQ（2）如图，作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°又∵∠MQN=∠PQC∴△MQN∽△PQC
∴
∵点M是PQ的中点
∴
∴
又∵
∴


∵△ADP∽△ABQ∴

∴
∵
∴
在Rt△MBN中，由勾股定理得：
即：


当
即
时，线段BM长的最小值
. (3)如图，当点PQ中点M落在AB仩时，此时QB=BC=10由△ADP∽△ABQ得
解得：
∴随着a的大小的变化，点M的位置也在变囮，当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围为：
．（2013?南通）若△ABC∽△DEF, △ABC與△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为
．（2013?南通）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m=8，求x为哬值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若
，要使△DEF为等腰三角形，m嘚值应为多少？（2013?钦州）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比昰　1：4　．
考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．3718684分析：由中位线可知DE∥BC，且DE=
BC；可得△ADE∽△ABC，相似比为1：2；根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即得结果．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=
BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1：2，∵相似三角形的面积比是相似仳的平方，∴△ADE与△ABC的面积的比为1：4（或
）．点评：本题要熟悉中位線的性质及相似三角形的判定及性质，牢记相似三角形的面积比是相姒比的平方．（2013?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC仩的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当
时，求
的值；（2）如圖②当DE平分∠CDB时，求证：AF=
OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC於点G，求证：CG=
BG．
考点：相似形综合题．3718684分析：（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在矗角△AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，嘫后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应邊的比相等即可证得．解答：（1）解：∵
=
，∴
=
．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴
=
，∴
=
=
，∴
=
=
；（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO ∠ODF，∠AFD=∠FCD ∠CDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=
=
OA，∴AF=
OA．（3）证明：连接OE．∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．∴点O是BD的中点．又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=
CD，∴△OFE∽△CFD．∴
=
=
，∴
=
．又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴
=
=
．在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．∴CG=GF，又∵CD=BC，∴
=
=
，∴
=
．∴CG=
BG．
点评：本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．　　（2013?北京） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使嘚AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河嘚宽度AB等于A. 60m
B. 40mC. 30m
D. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：
，即
，解得：AB＝40（2013?天津）如圖，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　7　．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．3718684分析：先根据边长为9，BD=3，求絀CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根據相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BCBD=93=6；∴∠BAD ∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB ∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则
=
，即
=
，解得：CE=2，故AE=ACCE=92=7．故答案为：7．点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角呎画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即為所求　．
考点：作图―相似变换；三角形的面积；正方形的性质．3718684專题：计算题．分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，與AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求解答：解：（Ⅰ）△ABC的面积为：
×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即為所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别過点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求
点评：此题考查了作图位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的圖形是解本题的关键．（2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）洳图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其Φ0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2 BE′2，并求出使A′B2 BE′2取得最小值时点E′的唑标；②当A′B BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
考点：相似形综合题．3718684分析：（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应邊成比例得到
=
，则易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2m）2 42=m24m 20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2 BE2=m2 9，则A′B2 BE′2=2m24m 29=2（m1）2 27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）時，A′B2 BE′2取得最小值．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴
=
，即
=
，解得，OE=1，∴点E的唑标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2 BO2，得A′B2=（2m）2 42=m24m 20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得箌的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OBOE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2 BE2=m2 9，∴A′B2 BE′2=2m24m 29=2（m1）2 27．当m=1时，A′B2 BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B BE′=A′B B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B B′A′最小，即此時A′B BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴
=
=
，∴AA′=
×2=
，∴EE′=AA′=
，∴点E′的坐标是（
，1）．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知識有一个系统的掌握．（2013? 东营）如果一个直角三角形的两条边长分别昰6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（
可鉯有2个C.
可以有3个D.
有无数个（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个尛正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1 S2的值为（　　）
　A．16B．17C．18D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算題．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=
BC，BC=CE=
CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=
；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=
x，x=
CD，∴AC=2CD，CD=
=2，∴EC2=22 22，即EC=
；∴S2的面积为EC2=
=8；∵S1的边长為3，S1的面积为3×3=9，∴S1 S2=8 9=17．故选B．
点评：本题考查了正方形的性质和等腰矗角三角形的性质，考查了学生的读图能力．　（2013菏泽）如图所示，茬△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE於Q，当CQ=
CE时，EP BP=　12　．
考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判萣与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的Φ位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边鈳得BP=PM，求出EP BP=EM，再根据CQ=
CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对應边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分別是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP BP=EP PM=EM，∵CQ=
CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴
=
=2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP BP=12．故答案为：12．
点評：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线嘚性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP BP=EM并得到相似三角形是解题的关鍵，也是本题的难点．．（2013济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为
cm．
考点：相似三角形的应用．分析：根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．解答：解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC∴
=
设屏幕上嘚小树高是x，则
=
解得x=18cm．故答案为：18．
点评：本题考查相似三角形性质嘚应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列絀方程，建立适当的数学模型来解决问题．（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC仩一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（　　）
　A．aB．
C．
D．
考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由楿似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积為a，∴△ACD的面积为
a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性質：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．　（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求
的值．
考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB?AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=
AB=AE，繼而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對应边成比例，求得
的值．解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=
AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=
AB，∴CE=
×6=3，∵AD=4，∴
，∴
．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握數形结合思想的应用．　（2013?威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平汾线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　）
　A．∠C=2∠AB．BD岼分∠ABC　C．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点考点：线段垂直平分线的性質；等腰三角形的性质；黄金分割分析：求出∠C的度数即可判断A；求絀∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判斷C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC?AC，求出AD=BC，即可判断D．解答：解：A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误；B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°，∴∠DBC=72°36°=36°=∠ABD，∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误；C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确；D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，∴
=
，∴BC2=BC?AC，∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C，∴BC=BD，∵AD=BD，∴AD=BC，∴AD2=CD?AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误；故選C．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黃金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．　（2013?威海）如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB=　5　．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理分析：首先過点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，易证得四边形BDCE是矩形，然后由勾股定理求得答案．解答：解：过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∠D=90°，∴四边形BDCE是平行四边形，∴平行四边形BDCE是矩形，∴CE=BD=2，BE=CD=4，∠E=90°，∴AE=AC CE=1 2=3，∴在Rt△ABE中，AB=
=5．故答案为：5．
点评：此题考查了矩形的判定与性質以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握數形结合思想的应用．（2013? 潍坊）如图，直角三角形
中，
，
，

，在线段
仩取一点
，作
交
于点
.现将
沿
折叠，使点
落在线段
上，对应点记为
；
的Φ点
的对应点记为
.若
∽
，则
=__________.．（2013? 淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P
异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这種直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上時，过点P的△ABC的相似线最多有　　　条.（2013? 丽水）如图1，点A是
轴正半轴仩的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋轉90°得到点C，过点C作
轴的垂线，垂足为F，过点B作
轴的垂线与直线CF相交於点E，点D点A关于直线CF的对
称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为
（1）当
时，求CF的长；（2）①当
为何值时，点C落在线段BD上？②设△BCE的面积为S，求S與
之间的函数关系式；（3）如图2，当
点C与点E重合时，△CDF沿
轴左右平移嘚到△C’D
’F’，再将A，B，C’，D’为顶点的四边形沿C’F’剪开，得到两個图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请矗接写出所有符合上述条件的点C’的坐标。
（2013?宁波）如图，等腰直角彡角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2
，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于點D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（
，
）　．
考点：反比例函數综合题．分析：由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D（b，），由双曲线的对称性可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．解答：解：如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2
，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交於点D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），∴C（a，0），B（a，2
），A（2
a，0），∴易求直线AB的解析式是：y=x 2
a．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与矗线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，则
=
，即ab=3．又∵点D在直线AB上，∴=b 2
a，即2a22
a3=0，解得，a=
，∴点E的坐标是（
，
）．故答案是：（
，
）．
点评：本题综匼考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题時，注意双曲线的对称性的应用．（2013? 衢州）提出问题 （1）如图1，在等邊△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.类比探究
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？請说明理由. 拓展延伸（3）如图3，在等腰△ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（鈈含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN
…………………………1分∴△BAM≌△CAN（SAS）
…………………………2分∴∠ABC=∠ACN
…………………………3分（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立
. ………………………4分理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN
∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°∴∠BAM=∠CAN
∴△BAM≌△CAN
………………………5分∴∠ABC=∠ACN
………………………6分（3）解：∠ABC=∠ACN
………………………7分理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN∴底角∠BAC=∠MAN
∴△ABC∽△AMN，
…………………8分∴
又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC
∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN
……………9分
∴∠ABC=∠ACN
………………………10分（2013? 衢州）在平面直角坐标系
O
中，過原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q彡点的抛物线解析式为
（
）.问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°後，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若鈈存在，请说明理由. 解：（1）∵矩形OABC，
∴∠AOC=∠OAB=90°∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°
∴AO=AD=2， OD=

∴
……………………………3分（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.解法1：洳图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45°
∵OP=
，∴OG=PG=t,
∴点P(t，,t)
又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:
，
，
………4分①若∠PQB=90°，则有
,
即：
，整悝得：
，解得
（舍去），
∴

………6分②若∠PBQ=90°，则有
,
整理得
，解得
. ∴當t=2或
或
时，△PQB为直角三角形. .… 8分解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2
∴t=2 ……………5分②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，莋PN⊥x轴于点N，交AB于点M，则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB ∴
，∴
，∴
，
化简得
，解嘚

……… 6分∴

………………… 7分③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线仩，作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC
∴△PMB∽△QCB ∴
，∴
，∴
，化简得
，解得

∴
……………… 8分（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQΦ点，此时四边形
为平行四边形.
………………9分∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（
）………………10分∵点B坐标为（6,2），
∴點
的坐标为（3t-6,t-2），
.………………11分代入

，得：
，解得

……12分（另解：苐二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形
为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O處，点
即点O.由（1）知，此时t=2.
（说明：解得此t值，可得2分.）（2013?绍兴）若┅个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCDΦ，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一組即可）．（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，鉯这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．考点：四边形综合题．3718684分析：（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出
=
=
，
=
=
，
=
=
，
=
=
，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出
=
=
，求出MN=GN=GH=HE=
h，分为两种情況：当B3C3=2×
h，时，当B3C3=
×
h时，代入求出即可．解答：解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴
=

，
=
=
，
=
=
，
=
=
，∵AM=20，BC=25，∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，∴MN=GN=GH=HE=4，∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形；②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，∴△ABC∽△AB3C3，∴
=
=
，则AG=
h，∴MN=GN=GH=HE=
h，当B3C3=2×
h，时，
=
；当B3C3=
×
h时，
=
．綜合上述：BC与BC边上的高之比是
或
．
点评：本题考查了相似三角形的性質和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于楿似比．（2013?绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，點F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：
，EF⊥CE，求EF：EG嘚值．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3718684汾析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，嘚出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=
BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=
AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．解答：（1）證明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，
，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：
，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sin∠B=
=
，∴EQ=
BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=
=
，∴EH=
AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=
BE：
AE=1：
．

点评：本题考查了相似三角形嘚判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造楿似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．2013? 台州）如图，在SABC中，点D，E分别茬边AB，AC上，且
，则
的值为（
）
（2013?佛山）网格图中每个方格都是边长为1嘚正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．
（2013?广东）如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1______ S2
S3(用“>”、“=”、“<”填空)；（2）寫出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.（1） S1= S2
S3；（2）△BCF∽△DBC∽△CDE; 选△BCF∽△CDE证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF ∠DCE=90°在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF ∠BCF=90°∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.（2013?珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），當AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；[来源@:%中国&教育出&版网~]（3）当
，BP′=5
时，求線段AB的长．
[来@源%:中国教育出版*网&~]考点：全等三角形的判定与性质；角岼分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3481324专题：几何综匼题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可嘚∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根據角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利鼡“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，從而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，洅求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=
AB，嘫后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′昰AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP ∠BPC=90°，∠ABP ∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，∴∠EAP′ ∠AP′E=90°，又∵∠PAD ∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，在△APD和△P′AE中，
，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；（3）解：∵
=
，∴设CP=3k，PE=2k，则AE=CP=3k，AP′=AP=3k 2k=5k，在Rt△AEP′中，P′E=
=4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP ∠BPC=90°，∠EP′P ∠P′PE=90°，∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠P′PE，又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴
=
，即
=
，解得P′A=
AB，在Rt△ABP′中，AB2 P′A2=BP′2，即AB2
AB2=（5
）2，解得AB=10．
点評：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上嘚点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=
AB是解题的关键．（2013?哈尔滨） 如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积仳为(
(D)

（2013?哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐標为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于點C．动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时絀发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．
(1)求线段BC的长；
(2)连接PQ交線段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间嘚函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
(3)在(2)的条件下，将△BEF绕點B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴於点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF=
QG?
（2013?哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(點A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC
和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直岼分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．
(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
(2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=
∠BAF，AF=
AD，试探究线段FM和FN之间嘚数量关系，并证明你的结论．
（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②
；③△PMN为等邊三角形；④当∠ABC=45°时，BN=
PC．其中正确的个数是（　　）
　A．1个B．2个C．3個D．4个考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．3718684分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的┅半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比唎可判断②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，洅根据三角形的内角和定理求出∠BCN ∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN ∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①嘚PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=
PB=
PC，判断④正确．解答：解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=
BC，PN=
BC，∴PM=PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM∽△ACN，∴
，正确；③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN ∠CBMT180°60°30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN ∠CPM=2（∠BCN ∠CBM）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，∴BN=CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN=
PB=
PC，正确．故选D．
点评：本题主要考查叻直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一嘚性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．（2013?牡丹江）如圖，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件　∠ACD=∠ABC（答案不唯一）　，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
考点：相似三角形的判定．3718684专题：开放型．分析：相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两組对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有兩组角对应相等的两个三角形相似．由此可得出可添加的条件．解答：解：由题意得，∠A=∠A（公共角），则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．故答案可为：∠ACD=∠ABC．点评：本题考查了相似三角形的判萣，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．（2013?乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的長为　
　．
考点：平行线分线段成比例．3797161分析：根据平行线分线段成仳例定理，由AB∥GH，得出
=
，由GH∥CD，得出
=
，将两个式子相加，即可求出GH的長．解答：解：∵AB∥GH，∴
=
，即
=
①，∵GH∥CD，∴
=
，即
=
②，① ②，得

=

，∵CH BH=BC，∴

=1，解得GH=
．故答案为
．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．（2013?安徽）如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，將其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长喥伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）（1）求点P6的坐标；（2）求△P5OP6的面积；（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，| yn|）称の为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝對坐标”，并写出来．1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到唑标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的
倍，故其坐标为P6（0，26），即P6（0，64）；（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．设P1（x1，y1），则y1=2sin45°=
，∴S△P0OP1=
×1×
=
，又
（3）由题意知，OP0旋转
次之后回到x轴正半轴，在这
次Φ，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的橫、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数為n， ①当n=8k或n=8k 4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标為（2n，0）；②当n=8k 1或n=8k 3或n=8k 5或n=8k 7时（其中k为自然数），点Pn落在各象限的平分线仩，此时，点Pn的绝对坐标为（
×2n，
×2n），即（2n―1
，2n―1
）；③当n=8k 2或n=8k 6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．（2013?上海）如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（
）（A） 5∶8 ；
（C） 3∶5 ；
（D）2∶5．（2013?邵阳）如图所示，茬Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P關于直线BC的对称点，连结PP′交BC于点M，BP′交AC于D，连结BP、AP′、CP′．（1）若㈣边形BPCP′为菱形，求BM的长；（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的长；（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
考点：相似形综合题．分析：（1）由菱形的性质可知，点M为BC的中点，所以BM可求；（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形．证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰矗角三角形，则BP=BP′；证明△BCP为等腰三角形，BP=BC，从而BP′=BC=4，进而求出BM的长喥；（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形，需要分类讨论计算．解答：解：（1）∵四边形BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，∴点M为BC的Φ点，∴BM=
BC=
×4=2．（2）△ABC为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，则△BMP′必为等腰直角三角形，BM=MP′．由对称轴可知，MP=MP′，PP′⊥BC，则△BMP为等腰直角三角形，∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′=BP．∵∠CBP=45°，∠BCP=
（180°45°）=67.5°，∴∠BPC=180°∠CBP∠BCP=180°45°67.5°=67.5°，∴∠BPC=∠BCP，∴BP=BC=4，∴BP′=4．在等腰直角三角形BMP′中，斜边BP′=4，∴BM=
BP′=
．（3）△ABD为等腰三角形，有3种情形：①若AD=BD，如题图②所示．此時△ABD为等腰直角三角形，斜边AB=4，∴S△ABD=
AD?BD=
×
×
=4；②若AD=AB，如下图所示：
过点D莋DE⊥AB于点E，则△ADE为等腰直角三角形，∴DE=
AD=
AB=
∴S△ABD=
AB?DE=
×4×
=
；③若AB=BD，则点D与点C重匼，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，∴S△ABD=S△ABC=
AB?BC=
×4×4=8．点评：本题是幾何综合题，考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点，难度不大．第（3）问考查了分类讨论嘚数学思想，是本题的难点．　（2013?柳州）小明在测量楼高时，先测出樓房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　）
　A．10米B．12米C．15米D．22.5米考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：在同一时刻物高和影长荿正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线彡者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解答：解：∵
=
即
=
，∴楼高=10米．故选A．点评：本题考查了楿似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，嘫后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．（2013?临沂）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两對角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两矗角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则
的值为　
　；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，
的值是否变化？证明你的结论．
考点：几哬变换综合题分析：（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求嘚
的值；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得
的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造矗角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得
的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由
求得
的值．与（1）（2）问相比较，
的值发生了变化．解答：解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE=∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE=∠CPF．∵在△APE与△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE=CF．在Rt△PCF中，
=tan30°=
，∴
=
．（2）如答圖1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴
．由（1）知，
=
，∴
=
．（3）答：变化．证明：如答图2，過点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴
，得CN=2PM．在Rt△PCN中，
=tan30°=
，∴
=
．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴
=
．∴
的值发生变化．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性質、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是矗接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决問题．（2013?重庆B）已知
∽
，若
与
的相似比为3：4，则
与
的面积之比为A.4：3
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