已知二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y=ax2+bx+c解析式；（2）将y=ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y=mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先根据非负数的性质求出a=1，b=-2，再由二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点，得出一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则判别式△=0，从而求出c的值；（2）先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出y=mx2+nx+k，再分情况讨论△ADP是直角三角形时，可能点P为直角顶点，也可能点A为直角顶点，①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，将y=0代入抛物线的解析式，可求出点P的坐标；②当点A为直角顶点时，根据等腰三角形的性质得出P2、D2关于x轴对称，再由P2在抛物线上，D2在直线AC上可求出点P的坐标；（3）由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，由于A、P、E三点都在抛物线上，所以不能构成平行四边形；当点P的坐标为抛物线的顶点Q时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可知对角线AE的中点与PF的中点重合，由P（2，-1）可设F（x，1），再根据点F在抛物线上列出关于x的方程，解方程即可．解答：解：（1）∵，∴a-1=0，b+2=0，∴a=1，b=-2．∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点，∴b2-4ac=0，即（-2）2-4×1×c=0，解得c=1，故所求抛物线的解析式为y=x2-2x+1；（2）∵y=x2-2x+1=（x-1）2，∴将y=（x-1）2向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y=（x-1-1）2-1，即y=x2-4x+3．当△ADP是直角三角形时，分两种情况：①如果点P1为直角顶点时，点P1与点B重合，如图，令y=0，得x2-4x+3=0，解之得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴B（1，0），A（3，0），∴P1（1，0）；②如果点A为直角顶点时，∠D2AP2=90°，如图，∵OA=OC=3，∠AOC=90°，PD∥y轴，∴∠AD2P2=∠ACO=45°，∠AP2D2=45°，∴P2、D2关于x轴对称．设直线AC的函数关系式为y=kx+b，将A（3，0），C（0，3）代入上式，得，解得，∴y=-x+3，∵D2在y=-x+3上，P2在y=x2-4x+3上，∴设D2&（x，-x+3），P2&（x，x2-4x+3），∴（-x+3）+（x2-4x+3）=0，整理，得x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3（，不合题意，舍去），∴当x=2时，x2-4x+3=4-8+3=-1，∴P2的坐标为P2&（2，-1）（即为抛物线顶点），∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，-1）；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形，此时点F的坐标为F1（2-，1），F2（2+，1），理由如下：由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，-1）时，平移直线AP&（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F，当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形，∴AE与PF互相平分，对角线AE的中点与PF的中点重合，∵P（2，-1），∴可设F（x，1），∴x2-4x+3=1，解得x1=2-，x2=2+，∴点F存在且坐标为F1（2-，1），F2（2+，1）．点评：本题考查了二次函数的相关知识，是二次函数综合题，涉及到运用待定系数法求函数的解析式，解析式的平移规律，直角三角形、等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及存在性问题的基本思路，综合性较强，有一定难度．
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科目：初中数学
21、已知二次函数y=a（x+1）2+c的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象只可能是（　　）A、B、C、D、
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科目：初中数学
如图,已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点A．B,与y轴交于点 C．
(1)写出A． B．C三点的坐标;(2)求出二次函数的解析式.
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科目：初中数学
来源：学年广东省广州市海珠区九年级上学期期末数学试卷（解析版）
题型：选择题
已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中正确的是（&& ）
A.a＞0&&&&&&&&&&&&
B.3是方程ax²+bx+c=0的一个根
C.a+b+c=0&&&&&&&&&
D.当x＜1时，y随x的增大而减小
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科目：初中数学
题型：填空题
已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值________（精确到0.1）．x-0.1-0.2-0.3-0.4y=ax2+bx+c-0.58-0.120.380.92
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科目：初中数学
已知二次函数y=ax²+bx+c（c≠0）的图像如图4所示，下列说法错误的是：
（A）图像关于直线x=1对称
（B）函数y=ax²+bx+c（c ≠0）的最小值是 -4
（C）-1和3是方程ax²+bx+c=0（c ≠0）的两个根
（D）当x＜1时，y随x的增大而增大
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＞＞＞已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且..
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且满足a2+（y1+y2）a+y1y2=0．（1）证明y1=-a或y2=-a；（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解关于x的不等式cx2-bx+a＞0．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）证明：∵a2+（y1+y2）a+y1y2=0，∴（a+y1）（a+y2）=0，得y1=-a或y2=-a．（2）证明：当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零，∴图象与x轴有两个交点．当a＜0时，二次函数f（x）的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零，∴图象与x轴有两个交点．故二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点．（3）∵ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定a＞0，并且可得ax2+bx+c=0的两根为m，n，∴m+n=-bamon=ca＞0，∴a＞0∴m+nmon=-baac=-bc．而cx2-bx+a＞0x2-bcx+ac＞0x2+（m+nmn）x+1mn＞0（x+1m）（x+1n）＞0，又∵n＜m＜0，∴-1n＜-1m，∴x＞-1m或x＜-1n．故不等式cx2-bx+a＞0的解集为{x|x＞-1m或x＜-1n}．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且..”主要考查你对&&一元二次不等式及其解法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式．
一元二次不等式的解集：
使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集。
同解不等式：
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式，如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形。&二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：&
解不等式的过程：
解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程．变形时要注意条件的限制，比如：分母是否有意义，定义域是否有限制等．
解一元二次不等式的一般步骤为：
(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．
解含有参数的一元二次不等式：
(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两根的大小还不能确定，此时再以两根的大小作为分类标准进行分类讨论。
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