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已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。 (1)求函数f(x)的表达式； (2)求函数g(x)的单调区间； (3)研究函数g(x)在区间（0，1）上的零点个数。
题型：解答题难度：偏难来源：广东省模拟题
解：（1）∵f(0)=0，∴c=0，∵对于任意x∈R都有， ∴函数f(x)的对称轴为，即，得a=b，又f(x)≥x，即对于任意x∈R都成立， ∴a＞0，且，　　　　∵， ∴b=1，a=1，　　　　∴。 （2），①当时，函数的对称轴为，若，即0＜λ≤2，函数g(x)在上单调递增；若，即λ＞2，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；②当时，函数的对称轴为，　则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当0＜λ≤2时，函数g(x)单调递增区间为，单调递减区间为；&当时，函数g(x)单调递增区间为和，单调递减区间为和． （3）①当0＜λ≤2时，由(2)知函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，　　　　　又，　　　　　故函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；②当λ＞2时，则，而，　　　　， （ⅰ）若2＜λ≤3，由于，且， 此时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，此时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点；综上所述，当0＜λ≤3时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；当λ＞3时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，二次函数的性质及应用，函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值二次函数的性质及应用函数零点的判定定理
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
发现相似题
与“已知函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，..”考查相似的试题有：
438571873777404997269933814250393735考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）（i）由函数为奇函数求得b，再由当x=1时f（x）有极小值为-4列式求出a，c的值；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，由此得到y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程结合f′（-1）=0，f（-1）=4，可知y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）．再设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），求出直线l1和l2的方程，令y=4求得m=2(x12-x1+1)3(x1-1)且m=2(x22-x2+1)3(x2-1)，可知x1，x2是方程m=2(x2-x+1)3(x-1)的两解，然后构造辅助函数，再利用导数求出m的取值范围；（2）令xB=x1，xC=x2，由直线l1∥l2得到两点横坐标的关系，再通过求解方程组求得点D和点A的坐标，得到（xA-xB），（xB-xC），（xC-xD），则答案可求．
解：（1）（i）∵x∈R，f（x）为奇函数，∴f（0）=d=0，f（-x）=-f（x），即-ax3+bx2-cx=-ax3-bx2-cx，∴b=0，∴f（x）=ax3+cx，则f′（x）=3ax2+c，又当x=1时f（x）有极小值为-4，∴f′(1)=0f(1)=-4，即3a+c=0a+c=-4，解得：a=2c=-6，即f（x）=2x3-6x，经检验f（x）=2x3-6x满足题意．∴a=2，c=-6，b=d=0；（ii）设（x0，y0）为曲线y=f（x）上一点，由（i）得f′(x0)=6x02-6，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y=(6x02-6)(x-x0)+y0，即y=(6x02-6)x-4x03，显然过某一点的切线最多有三条；又f′（-1）=0，f（-1）=4，∴y=4是曲线y=f（x）的一条切线，且过（m，4）；设另两条切线切点分别为（x1，y1），（x2，y2），其中x1≠1，x2≠1且x1≠x2，∴不妨设直线l1的方程为y=(6x12-6)x-4x13，直线l2的方程为y=(6x22-6)x-4x23，令y=4并化简得3m(x12-1)=2(x13+1)，3m(x22-1)=2(x22+1)，则m=2(x12-x1+1)3(x1-1)且m=2(x22-x2+1)3(x2-1)，∴x1，x2是方程m=2(x2-x+1)3(x-1)的两解，令g(x)=2(x2-x+1)3(x-1)=23(x-1+1x-1+1)，则g′(x)=23(1-1(x-1)2)，令g′（x）=0得x=2或0，∴当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0；当0＜x＜1或1＜x＜2时，g′（x）＜0；又g(0)=-23，g（2）=2，故当x＜0时，g（x）的值域为（-∞，-23），当0≤x＜1时，g（x）的值域为（-∞，-23]，当1＜x＜2时，g（x）的值域为（2，+∞），当x＞2时，g（x）的值域为[2，+∞），又当x=-1时，g（-1）=-1，因此m∈(-∞，-1)∪(-1，-23)∪(2，+∞)；（2）令xB=x1，xC=x2，由f′（x）=3ax2+2bx+c及l1∥l2得：3ax12+2bx1+c=3ax22+2bx2+c，∴3a（x1+x2）（x1-x2）=2b（x2-x1），由x1≠x2，得x1+x2=-2b3a，即x2=-x1-2b3a；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&将y=(3ax12+2bx1+c)(x-x1)+y1与y=f（x）联立化简得ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+2ax13+bx12=0，∴a(x-x1)2(x+2x1+ba)=0，∴xD=-2x1-ba，同理xA=-2x2-ba=2x1+b3a，∴xA-xB=x1+b3a，xB-xC=2x1+2b3a，xC-xD=x1+b3a，∴（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，解答该题要求学生具有较强的运算能力，是难度较大的题目．
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科目：高中数学
已知数列{an}{bn}的每一项都是正数，a1=4，b1=8且an，bn，an+1成等差数列，an，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*）（Ⅰ）求a2，b2；（Ⅱ）求数列{an}{bn}的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，都有1a1-1+1a2-1+…+1an-1＜23．
科目：高中数学
求证：对于任意的正整数n，（2+3）n必可表示成s+s-1的形式，其中s∈N*．
科目：高中数学
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
科目：高中数学
圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
科目：高中数学
已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
科目：高中数学
已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ+μ=．
科目：高中数学
已知函数f（x）=log2（3-x），若在[-2，3）上随机取一个实数x0，则使f（x0）≤1成立的概率为．
科目：高中数学
若变量x，y满足约束条件x+2y≤80≤x≤40≤y≤3，则目标函数z=2x+3y的最大值为．当前位置：
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已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜52（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即ax2+1bx+c=-ax2+1-bx+c=>bx+c=bx-c，∴c=0．∵a＞0，b＞0，∴当x＞0时，有f（x）=ax2+1bx=abx+1bx≥2ab2，当且仅当x=1a时等号成立，于是2ab2=2，∴a=b2，由f（1）＜52得a+1b＜52即b2+1b＜52，∴2b2-5b+2＜0，解得12＜b＜2，又b∈N，∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+1x．（2）假设存在一点（x0，y0）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x0，-y0）也在y=f（x）图象上，则x02+1x0=y0(2-x0)2+12-x0=-y0，所以消去y0得x02-2x0-1=0，解得x0=1±2．∴y=f（x）图象上存在两点（1+2，22），（1-2，-22）关于（1，0）对称．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
发现相似题
与“已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0..”考查相似的试题有：
831817485205517356465136794965560202已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 且f(0)=1,f(1)=0（1）若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围（2）当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由
已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x 且f(0)=1,f(1)=0（1）若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围（2）当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xe^x≥mx+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由（1）解析：∵函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x且f(0)=1,f(1)=0∴f(0)=c=1,f(1)=(a+b+1)e=0==>a+b=-1∵f(x)在区间[0,1]上单调递减f(x)=(ax^2-(a+1)x+1)e^x==>f’(x)=(ax^2+(a-1)x-a)e^x∴f’(0)=-aa>=0f’(1)=(a-1)eax=0此时,h’(0)=g’(0)=4令m=4,满足题意不等式2f(x)+4xe^x≥4x+1≥-x^2+4x+1对任意x∈R恒成立
第一问是“单调”递减哦 ，你只求两个端点的导数值是不可以的吧 ?
f(x)在区间[0,1]上单调递减是已知条件，求二个端点的导数值当然可以
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