等边三角形ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=1/3BC,CE=1/3CA,AD,BE相交于点P,求证AP垂直于CP.请写下过程与结果..谢谢!.注意那些线段都有绝对值标示..._百度作业帮
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连结DE 则三角形EDC为直角三角形 且在等边△ABC中，AB=8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF∥BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长．【考点】；；；．【专题】几何综合题．【分析】（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=60°，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ABC=60°，进而确定出同旁内角互补，得到CE与FB平行，再由EF与BC平行，即可得到四边形BCEF为平行四边形；（2）由三角形ABD与三角形ACE全等，得到BD=CE，再由四边形BCEF为平行四边形得到BF=CE，等量代换得到BF=BD=x，由FG与BC平行，由平行得比例，即可列出y关于x的函数解析式，求出x的范围得到定义域；（3）过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，在直角三角形ABM中，利用勾股定理求出AM的长，而MD=4-x，在直角三角形ADM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，代入（2）的解析式中求出y的值，即为FG的长．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠ABC=60°，又∵∠ACB=60°，∴∠ABC+∠ACB+∠ACE=180°，即∠ABC+∠BCE=180°，∴AB∥CE，又∵EF∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴EC=BD，∵四边形BCEF是平行四边形，∴BF=EC，∴BF=BD=x，又∵AB=8，∴AF=8-x，∵FG∥BC，∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，∴△AFG∽△ABC，∴=，即=，∴y=8-x（0＜x＜8）；（3）解：过A作AM⊥BC交BC于M，可得M为BC的中点，即BM=CM=4，在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=2-BM2=4，MD=4-x，由题意得AD2=AM2+MD2，即48+（4-x）2=49，解得：x1=3，x2=5，当x=3时，y=8-3=5；当x=5时，y=8-5=3，则FG=3或5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：sks老师　难度：0.45真题：1组卷：10
解析质量好中差在等边三角形ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,且有BD=CE=1/2CD,连结BE,AD交于点P求证：CP垂直于AD_百度作业帮
在等边三角形ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,且有BD=CE=1/2CD,连结BE,AD交于点P求证：CP垂直于AD
在等边三角形ABC中,D,E分别是边BC,AC上的点,且有BD=CE=1/2CD,连结BE,AD交于点P求证：CP垂直于AD
证明：连接DE∵等边三角形ABC∴AB＝BC,∠ABC＝∠ACB＝60∵BD＝CE∴△ABD≌△CBE∴∠BAD＝∠CAE∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60∴∠BPD＝∠ACB∴C、D、P、E四点共圆又∵CE＝CD/2,∠ACB＝60∴∠CED＝90∴∠CPD＝∠CED＝90∴CP⊥AD数学辅导团解答了你的提问,【答案】分析：（1）连接DE，DF，EF．根据三角形的中位线定理得到等边三角形DEF，再根据ASA证明△DMF≌△DNE，从而得到结论；（2）类似（1）中的证明思路，显然结论仍然成立；（3）连接DF，NF，EF．根据SAS证明△DBM≌△DFN，从而得到∠DFN=∠DBM=120&，再根据平角定义即可证明．解答：（1）证明：连接DE，DF，EF．（1分）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60&．又∠MDF+∠FDN=60&，∠NDE+∠FDN=60&，∴∠MDF=∠NDE．（3分）又∵DM=DN，∴△DMF≌△DNE．（4分）∴MF=NE．（5分）（2）画出图形（如答图）．（7分）MF与NE相等的结论仍然成立．（8分）（3）点F在直线NE上．（9分）连接DF，NF，EF．由（1），知DF=AC=AB=DB．又∠BDM+∠BDN=60&，∠NDF+∠BDN=60&，∴∠BDM=∠NDF，又∵DM=DN，∴△DBM≌△DFN．（10分）∴∠DFN=∠DBM=120&．又∵∠DFE=60&．∴∠NFE=∠DFN+∠DFE=180&．（11分）可得点F在NE上．（12分）点评：此题综合运用了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质．全等是证明线段相等的常用方法，证明三点共线的方法是利用平角定义．
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科目：初中数学
如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
科目：初中数学
23、如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
科目：初中数学
如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．
科目：初中数学
如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．请猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．
科目：初中数学
如图，已知等边三角形ABC的边长为10，点P、Q分别为边AB、AC上的一个动点，点P从点B出发以1cm/s的速度向点A运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度向点A运动，连接PQ，以Q为旋转中心，将线段PQ按逆时针方向旋转60°得线段QD，若点P、Q同时出发，则当运动s时，点D恰好落在BC边上．如图：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截_百度知道
提问者采纳
（1）如图①，△DMN是等边三角形．（2）如图②，当M在线段BF上（与点B、F重合）时，△DMN仍是等边三角形．证明：连接DF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF是等边三角形的中位线．∴DF=
BC．∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，∴∠ABC=∠DFE，∵FM=EN，
∴BM=NF，∴△BDM≌△FDN，∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，△DMN是等边三角形；（3）如图③或图④，当点M在射线FC上（与点F不重合）时，（1）中的结论不成立，即△DMN不是等边三角形．
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