学年度第一学期期末考试考试说明●●●●科目：高一数学版本：北师大版学林·中小学试题研究室Ⅰ. 考试性质和目的高一（上）数学期末考试是根据教育部制定的《数学课程标准（实验稿）》内容要求的考试．考试主要考查考生对数学知识、数学方法和数学技能的掌握程度，又兼顾考查学生的数学创新能力．考试的结果是确定学生是否达到这一学期数学科目所要求的标准主要依据，也是高中阶段学校教师以后教学的重要依据之一。Ⅱ. 考查要求学年度第一学期高一期末考试考查的范围是必修1(45%)和必修2(55%)的所有内容．具体要求如下：必修1（一）集合1、集合的含义与表示(1)了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。2、集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义。3、集合的基本运算
(1)理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集、并集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。（二）函数1、函数(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法等)表示函数．(3)了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法；了解函数的奇偶性的含义．(5)会对二次函数配方，并讨论其图像的开口方向、大小，顶点，对称轴等性质．(6)了解幂函数的概念．(7)能用函数解决简单的实际问题．(三)指数函数和对数函数(1)了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，的指数函数的图像．(4)体会指数函数是一类重要的函数模型．(5)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(6)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的对数函数的图像．(7)体会对数函数是一类重要的函数模型．(8)了解指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(9)了解幂函数的概念．(10)结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=X(1/2)，y= 1/x的图像，了解它们的变化情况（四）函数应用(1)结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(2)了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(3)了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．必修2（五）立体几何初步1、空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．(3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．2、点、直线、平面之间的位置关系(1)了解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内．◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行．◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．（六）解析几何初步1、直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(2)了解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离．2、圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两圆的方程判断圆与圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一下简单的问题．(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．3、空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．(2)会简单应用空间两点间的距离公式．题型示例命题老师 张苗编辑 杨亚利学林中小学试题研究室(xuelin_edu)　
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他们不经意邂逅了高考作文六一儿童节到了，作为世界上唯一专属孩子的节日，家长们是不是忙着准备礼物和惊喜呢，送一本适合孩子看的书吧，童书里的世界，有奇妙的幻想王国，有多彩的大千世界，更有友情和成长……回望2015年，你还记得哪些影视剧?是惊艳四方的《武媚娘传奇》，话题不断的《芈月传》，还是虐恋神剧《花千骨》小升初语文备战之小升初作文题目大全：小升初语文中的小升初作文是小升初同学的心病，对小升初作文头疼的同学请看小孩子就应该在快乐中成长，可是当孩子上小学后，往往就会背负越来越多的压力，当孩子一时遭遇学习困难时，父母应该怎早就知道北美学校用 Phonics 方法教英语，也对此法有所了解，但是真正理解还是女儿在加拿大上小学以后。尤1归纳法用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来点击标题下「蓝色微信名」可快速关注31.内能和温度有关，机械能和物体机械运动情况有关，它们是两种不同形式的能点击标题下「蓝色微信名」可快速关注初中化学知识点多，且容易记混，很多同学反应，记一些化学反应现象非常痛苦，怎点击标题下「蓝色微信名」可快速关注单词是英语学习的基础，今天小编根据单词的类别，整理了1600个小升初必学单点击标题下「蓝色微信名」可快速关注四年级开始就进入小学数学拓展高年级学习阶段了。大家会发现，题目的难度会上升点击标题下「蓝色微信名」可快速关注王旭明，北京人，毕业于北京师范学院(今首都师范大学)中文系，曾任教育部办公点击上方“学林中小学试题研究室”关注我们特别提示：中考会战的号声已经响起，为了帮助大家更好的备战中考，近期作文历来是高考语文的“重头戏”，既是对考生十多年语文学习能力、水平的一次最重要检阅，也是每年特别吸引社会各界“这几年写了那么多文章，好几部著作，你给我们介绍一下经验吧！”经常有同事或博友这样问我。我的回答很简单，就是点击标题下「蓝色微信名」可快速关注杨过是金庸笔下的人物，由一个顽童成长为一代大侠，回顾他的成长历程，杨过有很小伙伴们，昨天小编为你整理的西工大附中2016年中考模拟英语试题（一），你们有没有好好看呢？那今天我就要为“全民奥数”很适合形容当下的情况，不否认，奥数有开拓孩子思维，完善孩子逻辑想象的好处。但是需要每个孩子都去学化学计算中的几种常见数学思想1差量法(1)差量法的应用原理差量法是指根据化学反应前后物质的量发生的变化，找出导语“这个世界会好吗？”梁漱溟曾深情地说：“我相信世界是一天一天往好里去的。我们每个人内心都有两面，乐观的一孙悟空曾经描述如意金箍棒道： 鸿蒙初判陶镕铁，大禹神人亲所设。湖海江河浅共深，曾将此棒知之切。 开山治水太平
天下武功“唯坚不摧，唯快不破”，武学中追求“坚”与”快“。
工作中“时间就是金钱” ，凸显时间的中考化学中，常常会考一些关于“不一定”这样的题目，好多同学往往都会在这些题目中卡住，小编在这里就整理了在中考综合题分析方法和技巧（1）细审“题干”。抓住“关键词”和“修饰词”、“限定词”（2）列出“模板”。（见下面的诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁教授9月16日在北京“外交学院论坛”上指出，中国传统的灌输式教育并非一无是华东师大七年级数学期末考试说明一、命题依据华东七年级数学期末考试试题以《义务教育数学课程标准》为依据，并参考大爱无言，真爱无怨。老师的默默奉献使我们汗颜；老师的毫无怨言，使我们敬佩；老师的尽职尽责，使我们崇考试的性质九年级数学期末教学检测是根据教育部制定的《课程标准（2011年版）》内容要求的一次总结性测试，考生物biology八年级上册重点知识梳理1.
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关于高一数理问题.高手来.
首先是数学~解释“集合”的概念、分类、性质、表示方法、符号、运算方式、公式。在设计到运算方式及换算的思维上加以用例子证明~注意~一定要有例子~每一种集合，比如交集、并集、补集等。今天才学了会~难倒不难~知识公式、字母太繁琐了~~很绞...望高手能再帮我讲清楚点~~~然后是物理~先解释牛顿第二定律~这个很重要~~~我想在老师讲之前预习哈~~~尽量搞清楚这个东西~~~但没想过到底能搞明白多少，毕竟这个是高中核心内容~其次是解释牛顿第一定律~（注意：都一定要有例子~尽量形象化.）绝对高分~如果能让我弄明白~~~
提问者:caldron1486
集合论是当代数学的基础．学习集合，不仅应从本质上去理解与集合有关的各个概念、性质和运算法则，更重要的是在解题的过程中自觉地应用集合的语言和方法去表示各种数量关系，解决各种数学问题． 映射刻划的是两个集合之间元素的特殊对应关系，是我们进一步学习函数的基础，同时也是一个重要的数学方法．数学竞赛中的许多题目都与映射有关，恰当地使用映射法解题，可以使问题化繁为简、化难为易，有时还可以出奇制胜. 1．集合 （1）集合的概念．元素与集合、集合与集合的关系． （2）集合的运算法则． （3）集合的划分． 如果非空集合A1、A2、…、An都是集合A的子集，并且满足A1∪A2∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝Φ（1≤i＜j≤n），那 么（A1，A2，…，An）叫做集合A的一个划分． 2．映射 理解映射f：A→B的关键是抓住集合A中元素在集合B中的象的存在性和惟一性．根据映射中象与原象的不同状态，有下面几种很有用的特殊映射． （1）单射．对于映射f：A→B，如果A中不同的元素在B中有不同的象，那么称映射 f：A→B为集合A到集合B的单射． 对于单射f：A→B，有｜A｜≤｜B｜．这里｜M｜表示集合M中的元素的个数，下同． （2）满射．对于映射f：A→B，如果B中的每一个元素在A中都有原象，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的满射． 对于满射f：A→B，有｜A｜≥｜B｜． （3）双射．如果f：A→B同时是A到B上的单射和满射，那么称映射f：A→B为集合A到集合B的双射．双射也叫做一一映射． 对于双射f：A→B，有｜A｜＝｜B｜．（配对原理） 例1 设集合A＝（－3，－2），已知x，y∈N，且x^3＋19y＝y^3＋19x，试判断a＝log（1/2）（x＋y）与A的关系． 导析：关键是确定a＝log（1/2）（x＋y）的取值范围．这是学生力所能及的，可鼓励学生积极参与． ∵ x^3－y^3＝19（x－y），且x，y∈N，x＞y， ∴ x^2＋x＋1≤x^2＋xy＋y^2＝19＜3x2． 由此及x∈N，得x＝3，从而y＝2． ∴ －3＜a＝log（1/2）5＜－2，即a∈A． 例2 某次乒乓球比赛，采用单淘汰制，从105名参赛选手中决出冠军，需进行多少场比赛? 导析：如果先算出第一轮的场数，第二轮的场数……然后相加，是比较麻烦的．可引导学生从结果出发考虑，因为冠军只有1 个，所以共需淘汰104名选手．而每场比赛恰好淘汰1名选手，故比赛的场数应为104． 集合问题的表述简单，所涉及的知识较少，而解决起来往往要求有较高的探索能力和创造能力．常见的集合竞赛题有两类：集合划分问题和特殊子集的计算和论证问题．巧妙的构造，恰当的划分、反设、局部调整等，是解决这两类问题的有效途径． 映射是特殊的对应，研究对应规律，寻求对应的特征，是解决计数、图论、组合数学的重要手段． 例3 能否给出集合｛1，2，3，…，2001｝的一个划分（A1，A2，A3，A4），使得A1，A2，A3，A4中的各数之和 组成一个等差数列? 导析：这是一个探索性问题，可从假设存在入手展开讨论． 若存在一个划分（A1，A2，A3，A4）满足要求，则A1，A2，A3，A4中各数之和可分别表示为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，其中a，d∈N．于是，有 a＋（a＋d）＋（a＋2d）＋（a＋3d）＝1＋2＋3＋…＋2001，即 2（2a＋3d）＝． 上式显然不能成立，故这样的划分不存在． 本题虽然解完了，但思维不能就此中断，可引导学生进一步探索上述划分的存在性．不难发现：如果集合中连续自然数的个数是4k（k∈N），那么这样的划分是存在的． 不妨设A＝｛1，2，3，…，4k｝，（A1，A2，A3，A4）是集合A的一个划分，若取A1＝｛1，2，…，k｝，A2＝｛k＋1，k＋2，…，2k｝，A3＝｛2k＋1，2k＋2，…，3k｝，A4＝｛3k＋1，3k＋2，…，4k｝，则A1，A2，A3，A4中各数之和便组成了以k（k＋1）/2为首项，k^2为公差的等差数列． 例4 设n∈N，n≥15，A、B都是｛1，2，…，n｝的真子集，且A∩B＝Φ，A∪B＝｛1，2，…，n｝．证明A或B中必有两个不同数的和为完全平方数． 导析：根据题目的特点，从反面考虑较为合适．假设存在满足题设的集合A和B，不论是A还是B中任意两个数的和都不是完全平方数．不妨设1∈A，那么3！∈A（否则1＋3＝2^2，与假设矛盾），于是3∈B．同样，6！∈B，应有6∈A．这样，10！∈A，应有10∈B．由于n≥15，所以15∈A或15∈B．若15∈A，则1＋15＝4^2；若15∈B，则10＋15＝5^2．均与假设矛盾，问题得证． 例5 从8×8的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”型，问共有多少种不同的取法． 导析：一个由四个小方格组成的“田”字形中可以取出4个“L”形，因此我们只需考察棋盘上可以取出多少个“田”字形．由于每个“田”字形的中心是棋盘内横线与纵线的一个交点（不包括边界点）；反过来，每个位于棋盘内部的交点，它四周的小方格恰好形成一个“田”字形图案，因此，映射f：“田”字形→“田”字形中心，它是棋盘上所有可取出的小方格组成的“田”形集合到棋盘内每个横线与纵线的交点集的双射（一一映射）．易知，棋盘内的交点数共有（9－2）×（9－2）＝49（个），所以棋盘上可取出49个“田”字形．而一个“田”字形对应着4个“L”形，故棋盘上共可取出49×4＝196个“L”形．
回答者:佩珂
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特色及评论
中国数学解题学首倡者罗增儒教授作序推荐，2000成员群《中国数学解题研究会》智慧结晶。名师妙解，心对心打造解题宝典；启思导学巧练，手把手造就解题高手。内容上(1)以精典题为引线，将高中数学的主要解题方法、技巧和重要知识点予以充分呈现；(2)通过一题多解，发散思维，多角度思考，以及灵活多样的演绎，让学生不但轻松学会基本解题方法，而且还要学会一些技巧性的解题方法；(3)重思路来源，重方法引导，重回顾总结，不是为解题而解题，而是要教会学生解题。
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本书选题突出好题和新题，作者来源于全国各地，采用征题的形式，优中选优。计划以类似杂志的形式，每年两本(1月,7月出版)，不断充实新思想、新题型、新解法，努力走到全国中学解题图书*前列。 本书适合各种层次学生阅读，它既是学困生进入数学解题大门的钥匙，也是高材生突破极限的宝典，更是中等学生大幅度提高成绩的秘籍。本书部分题目配有视频讲解，二维码扫入，借助互联网优势，让学生犹如走进了自己掌握的高效名师课堂。
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函数与导数名师高手解题高手第二部分
三角函数与平面向量名师高手解题高手
立体几何名师高手解题高手第四部分
数列与不等式名师高手解题高手第五部分
解析几何名师高手解题高手第六部分
其他名师高手解题高手
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谈数学解题的书已经够多的了，本书区别于其他书的地方就在于有新颖的写作设计和鲜明的解题见解。有人说“解题不能教会，只能学会”，本书不是通过“说”去“教人解题”，而是通过“做”去教人“学会”解题，当中释放的解题认识与我的解题理论多有交集，作为序言，我首先要说说这本书的写作特色，同时也想探讨探讨这些特色背后的数学解题新概念。
一、写作特色
1.精强的创作团队
(1)本书作者是一批思维活跃的解题高手，他们来自十余个省市，而又汇聚在“中国数学解题研究会”的网络平台之下。在这个藏龙卧虎的qq群里，集中了2000名志同道合的解题爱好者。群内积淀了2007年以来质优量丰的解题新成果，作为这些成果的“再筛选成果”，本书内容通过群内征稿竞争的方式优中选优。可以说，这是精强解题团队不事张扬的报到，是集体解题智慧不无潇洒的亮相。
(2)这个群策群力的解题研究群体，人人有良好的解题胃口，处处有浓厚的学术氛围，其主体是一线高中数学教师，另有部分大学教师、研究生、大学生和解题爱好者，骨干是才华横溢的中青年，当中不乏“金牌作者”、“网络明星”、“可畏”后生。他们熟悉高中数学内容，精通高中解题技术，摸透高中学生心理，由他们给高中生讲解题，具有“读懂学生”的“内行”优势，具有“通达课堂”的“实用理”强势。
2.精明的内容结构
(1)本书“不求面面俱到，只求精典有效”，即不求全面覆盖，只讲学生*需要的，选题精典，解法多样，讲解精彩，以实用为宗旨，以提高解题能力为目标。内容大致分为六大模块，每个模块由“名师指路”和“解题高手”两大版块构成。其中名师指路板块有“思维导引”、“要点提醒”、“解后反思”、“手把手”等栏目。这既抓住了中学数学的主体，又抓住了数学高考的重点、热点和关键。
(2)“名师指路”和“解题高手”的结构，改变了解题写作的老套路：“题目→分析→解证→点评→变式→练习”，是用一种新的模式来学习解题，学会思考：“手把手”以面对面辅导学生的形式随时按需插入，与学生合作交流，并引导学生进入解题的新境界，然后在“解题高手”中进行巩固和升华。
(3)书中选题体现一个“精”字，精选了高考题、模拟题、改编题，特别提倡原创题，难度以中档综合题为主。中档题说得清楚、听得明白，尤其分析到位，使不同层次的学生都会有丰厚的收获。
(4)内容讲解讲究“原创”，新编题自不待言，那些优秀的经典题由作者以娓娓道来的笔触重新组织，解题方法思路灵活，视角独特，一题多解，是众多作者多年积累和智慧的结晶，并用贴近学生的语言换位讲述。
3.精彩的思路点拨
(1)本书的思路点拨重点体现在“手把手”上，而“手把手”又突出一个“导”字，其
效果是让学生感觉到是自己在做题，身边坐着一位名师，与他进行面对面的合作交流。在学生感觉有困难时，随时插入“手把手”栏目――犹如身边的名师有针对性地给出思路提示、方法引导、技巧点拨，然后学生再解一解，又有困难时，再“手把手”交流一番，学生再自己解一解，直到完成。这是本书“手把手”教学生解题的一个新创意。
(2)本书的思路点拨还体现在“思维导引”和“要点提醒”上，“思维导引”重在整体分析题目的条件、结论、难点和思路；而“要点提醒”则引导学生把握解法要点，并及时指出学生容易误解的题意内容、容易忽略的知识细节或容易出错的逻辑漏洞等。
(3)本书的“解题高手”部分由若干练习组成，精选了相关内容或相关方法的足量练习，服务于“思路点拨”的巩固与提高；题目追求新颖，难度以中档题为主，让学生面临新情景，不加努力做不了，经过努力又可以完成。
(4)本书中内容和方法的典型性、形式和结构的新颖性，不仅适合学生学习，而且也有助于老师开拓眼界，提高解题教学的能力。
4.精要的回顾反思
回顾反思是解题的一个必要步骤(在我看来还是学会解题的一条捷径)，鉴于写作的主题，本书把“思路探求”作为重点，而把“解后反思”安排为“备选栏目”，主要用来精要指出“规律挖掘、题根探源”等需要反思的东西。至于解题反思“思什么、怎么思”还有很大的展开空间。
二、数学解题新概念
谅读者已经看到，在上述写作特色的背后本书有解题思想作指导，并以厚实的解题实践演绎了数学解题新概念。就是说，本书没有停留在“这样解题”的资料层面上，既谈“怎样解题”又谈“怎样学会解题”。我不希望看到，读者读完解题书之后连“什么叫题、什么叫解题”都不甚了了，更别说感悟到解题思想了。因此，我愿在读者正式展开全书的实质内容之前，借序言的空间说说什么叫数学题、什么叫数学解题，以及怎样解数学题等。读者可以按部就班地先阅读这一部分(先务虚后务实)，也可以阅读正文后再回来体味这一部分(先务实后务虚)。
给数学题作出严格界定是一件困难的事情，我就把数学上回答起来有困难、需要解决的事情作为数学题的宽松界定。
(1)数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾。
(2)对数学家而言，仅当命题的真假未被证实时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了。这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”，我们称为研究型的数学题。
在数学教学中，则把结论已知的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上。内容包括(而非全部)一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等。呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进行的探究性、研究性课题等。这是一类教学型的数学题。
(3)特别提示。有人认为，上课的前半部分是讲概念、定理，后半部分做的才是题。其实，如何构建概念、怎样发现和论证定理也是题！比如，在“二分法”的教学中，常常见到教师创设商品“猜价格”游戏，每次猜后老师都会给出“多了”还是“少了”的提示，说高了的往低猜，说低了的往高猜，不断调整，逐步接近真正价格，由此引入“二分法”。然后，以求一个具体方程(如 )的近似解为例，经历求近似解的过程，总结出“二分法”的一般程序。但是，学生学完这节课之后，感到“猜价格”与“二分法”，即现实情景与数学内容是两张皮，除了“一半、一半又一半”的操作方法类似之外，学生见不到“连续函数”，见不到“区间端点的函数值异号”，见不到“函数零点”，见不到“方程”，见不到“方程的解”等等。如何由“猜价格游戏”(生活化情景)提炼出连续函数和它的应用――二分法？就是一道题。
设商品的价格为 元，它在 元与 元之间，人猜的价格为 元，得连续函数 (函数并不唯一)，定义域为 ，并且 。“人猜对”时对应着方程 的根……，就是解了一道数学题。学生在这个数学活动中，学到了二分法，看到了连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想”、“近似逼近的数学思想”、“数形结合的数学思想”、“特殊与一般的数学思想”、“程序化地处理问题的算法思想”等，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学去学会思维。
鉴于写作的主题，本书选用的基本上都是结构良好的封闭题，并且是已经“形式化、符号化”的居多。
(4)数学题的标准形式包括两个*基本的要素：条件与结论。条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍。问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾。本书写作的着力点就放在这个实质上。
2.数学解题
(1)解题就是求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动。
(2)常规的数学题包括两个要素：条件与结论。解题就是沟通条件与结论之间的联系，又包括解和解题依据，因此解题一共有4个要素：条件，结论，解(沟通条件与结论的联系)，解题依据。
(3)解题就是将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程。同样，高考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高校招生考试的新试题。
(4)波利亚说：掌握数学就是意味着善于解题。他的《怎样解题表》一书把解题分解为4个步骤：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾。(解题化归论)
(5)弗里德曼认为：解数学题，这就是要找到一种一般数学原理的序列 ，把这些原理用于习题的条件 或者条件的推论
，得到习题所要的东西 ，即习题的答案： 。(解题推理论)
本书的范例讲解对解题化归论、解题推理论有许多精彩的演绎，至于“解题差异论” “解题信息论”和“解题的心理机制”等还有很大的展开空间。
3.数学解题的基本过程
解题过程不仅仅是“书写表达”，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通过回顾自己的实际操作(看题、想题、答题、回题)可以看到，解题通常有四个基本的阶段：理解题意、思路探求、书写表达、回顾反思。大家对这个感性的过程并不陌生，问题在于能不能上升到理性的高度。比如：大家都知道解题的首要前提是审题，但审题“审什么、怎么审”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的思维核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的*终呈现是书写，但书写“写什么、怎么写”能够说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但反思“思什么、怎么思”能够说清楚、讲明白、做到位吗？
应该说，本书对这四个阶段都作出了示范，而重点是突出“思路探求”、突出“探什么、怎么探”。
(1)理解题意。
①理解题意也叫做审题，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息。审题要特别抓好 “审什么的三个要点、怎么审的四个步骤”。
②“审题审什么”的三个要点是：
要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何；
要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何；
要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构。
③“审题怎么审”的四个步骤是：
步骤1：读题――读懂字面含义；
步骤2：理解――弄清数学含义；
步骤3：表征――识别题目类型；
步骤4：深化――接近深层结构。
这些要点、步骤，叙述时是分解动作，真正解题时是连续进行、一气呵成的。本书的“思维导引”留有审题的位置，而“要点提醒”和“名师指路”里渗透有审题的第4步(深化)。
经验表明，解题找不到思路、思路中途受阻以及解答错误等都可以从审题“未审清”或“审不清”中找到原因。
(2)思路探求
①思路探求就是寻找题目条件与题目结论之间的数学联系，它表现为沟通条件与结论的一系列演算或推理。寻找解题思路是探索解题结论的发现过程(探索！发现！)。
②思路探求中有三个出现频率很高的词：解题思路、解题方法、解题技巧。解题思路是指解题思维活动的线路或框架，它指明了问题解决的方向，具有战略性的价值，体现为策略思想的应用；解题方法是指解题所采用的手段、步骤等方式的总和，它是实现问题解决的道路或程序，具有通理通法的普遍意义；解题技巧是指解决特殊问题的专用计策或招术，具有机巧灵活的战术性特征。成功解题需要解题思路、解题方法、解题技巧三者的密切配合与逐层推进。
③中学教学的基本想法是，把待解决或未解决的问题，化归为一类已经解决或者比较容易解决的问题。这在求解高考题中的具体化是：化归为课堂上已经解决的问题、化归为往年的高考题或其变形。
④可以把思路探求“探什么、怎么探”设计为一个操作流程图。
(3)书写表达。
①书写表达就是把打通了的解题思路(即自己看清楚、想明白的事情)，用文字具体表达出来，说服自己、说服别人(包括同意或不同意自己看法的人)。应该看到，“怎样表达”是一个需要系统指导和严格训练的问题。书写表达要特别抓好“写什么的15字口诀和怎么写的24字要领”。
②“写什么”的“15字口诀”是：定方法、找起点、分层次、选定理、用文字。
③“怎么写”的“24字要领”是：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范。
(4)回顾反思。
①反思就是从自身的认识活动中“脱身”出来，作为一个“旁观者”来看待自己刚才做了些什么事情，使自己的活动成为思考的对象。数学解题有两个层面的回顾反思，一个是解题层面的回顾反思，另一个学会解题层面的回顾反思。
②解题层面的回顾反思：主要是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的。有的检验是解题的必要步骤，检验之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住*后一关。
③学会解题层面的回顾反思：表现为解题后对数学题目本身及解题方法的重新认识。
学会解题层面的回顾反思“思什么”：主要想解题中用到了哪些知识？用到了哪些方法？这些知识和方法是怎样联系起来的？自己是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？还有别的解决方法吗（更一般的方法、更特殊的方法、沟通其他学科的方法、更简单的方法等）？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件可以减弱吗？结论还能加强吗？这些知识和方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？洞察问题的深层结构了吗？题目有无科学性问题？解题有无逻辑性漏洞？……如此等等的思考不仅能改进和完善当前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息，它的长期积累会升华为数学才华。
学会解题层面的回顾反思“怎么思”：通常要经历“整体分解”与“信息交合”两个步骤。即先把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用到了哪些知识、哪些方法，它们是怎样组合在一起的，从中概括出知识基础、逻辑结构、信息流程、心理过程等。然后，抓住整体分解中提炼出来的新认识或本质步骤，将信息单元转换或重组成新的信息块，使认识更接近问题的深层结构。于是，一个新的解法就诞生了，所储存的数学知识之间的非人为的、实质性的联系就加强了，怎样学会解题的体验就生成了。
4.解题观念
事实表明，学生解了大量的题但还“不开窍”的一个基本原因是：这些学生没有分析过所解的题，也没有分析过典型的习题，解题常常只是为了得个答案。因此
(1)我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看作是精密研究的对象，而把解答问题看作是设计和发明的目标。
(2)我们应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程。(而不仅仅是学习结果的巩固)
(3)谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。
(4)解题实践表明：分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。因而，解题学习要经历：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析几个阶段。
手把手教你解高中数学题-冲关985大学
许永忠，中学高级教师，新课标教材修订组主要成员，从教30多年，以“用*少的时间，取得*好的成绩”为宗旨(即以提高数学学习效率和学生考试成绩为目标)，并把这一宗旨贯穿到教学和图书的创作中，先后出版了多本畅销书，在当当网、卓越网等大型网站多年排在同类图书榜榜首，被读者评为五星级图书，且名列前茅，读者推荐率达到98%以上。
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