【图文】高中数学函数的基本性质_百度文库
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高中数学函数的基本性质
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　　一次函数
　　一、定义与定义式：
　　自变量x和因变量y有如下关系：
　　y=kx+b
　　则此时称y是x的一次函数。
　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
　　即：y=kx （k为常数，k≠0）
　　二、一次函数的性质：
　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
　　三、一次函数的图像及性质：
　　1．作法与图形：通过如下3个步骤
　　（1）列表；
　　（2）描点；
　　（3）连线，可以作出一次函数的图像――一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
　　3．k，b与函数图像所在象限：
　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；
　　当b=0时，直线通过原点
　　当b＜0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
　　四、确定一次函数的表达式：
　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最后得到一次函数的表达式。
　　五、一次函数在生活中的应用：
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
　　六、常用公式：（不全，希望有人补充）
　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
　　二次函数
　　I.定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax^2+bx+c
　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
　　则称y为x的二次函数。
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　II.二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
　　顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
　　交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b&√b^2-4ac)/2a
　　III.二次函数的图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
　　IV.抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
　　x= -b/2a。
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为
　　P( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b&√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
　　V.二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
　　即ax^2+bx+c=0
　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
　　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
　　解析式 顶点坐标对 称 轴
　　y=ax^2(0，0) x=0
　　y=a(x-h)^2(h，0) x=h
　　y=a(x-h)^2+k(h，k) x=h
　　y=ax^2+bx+c(-b/2a，[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
　　当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
　　当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
　　(2)当△=b^2-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；
　　当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0．
　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
　　6．用待定系数法求二次函数的解析式
　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
　　y=ax^2+bx+c(a≠0)．
　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
　　反比例函数
　　形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
　　反比例函数图像性质：
　　反比例函数的图像为双曲线。
　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为OkO。
　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
　　当K＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
　　当K＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
　　知识点：
　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
　　2.对于双曲线y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x&m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
　　对数函数
　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
　　（2）对数函数的值域为全部实数集合。
　　（3）函数总是通过（1，0）这点。
　　（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
　　（5）显然对数函数无界。
　　指数函数
　　指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
　　可以看到：
　　（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
　　（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
　　（3） 函数图形都是下凹的。
　　（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
　　（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
　　（7） 函数总是通过（0，1）这点。
　　（8） 显然指数函数无界。
　　奇偶性
　　注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
　　1．定义
　　一般地，对于函数f(x)
　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
　　2．奇偶函数图像的特征：
　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
　　f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
　　点（x,y）→（-x,-y）
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
　　3.奇偶函数运算
　　(1). 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
　　(2). 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
　　(3). 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
　　(4). 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
　　(5). 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
　　(6). 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
　　定义域
　　（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
　　名称定义
　　函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
　　常用的求值域的方法
　　（1）化归法；（2）图象法（数形结合），
　　（3）函数单调性法，
　　（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等
　　关于函数值域误区
　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
　　“范围”与“值域”相同吗？
　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
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　　1．3函数的基本性质-----奇偶性（一）教学目标　　1．知识与技能：
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性.　　2．过程与方法：
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.　　3．情感、态度与价值观：　通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.（二）教学重点与难点　　重点：函数的奇偶性的概念；
难点：函数奇偶性的判断.（三）教学方法　　应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固.（四）教学过程一．复习与回顾　　1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么？
2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.
3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，x =±，... 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性：f (-x) = - f (x)，g (-x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.二．新课讲授1、奇函数、偶函数的定义：
奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有f (-x) = - f (x)，
则这个函数叫奇函数.　　偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有g (- x) =
g (x)，　　　　　　则这个函数叫做偶函数. 问题1：奇函数、偶函数的定义中有"任意"二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中"任意"二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 .问题2：-x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题：　　（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？
点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论.　　（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？2、奇函数与偶函数图象的对称性：　　如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.　　如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 3、举例分析例1 判断下列函数的奇偶性；　　（1）f (x) = x + x3 +x5；
（2）f (x) = x2 +1；
（偶）　　（3）f (x) = x + 1；
（非奇非偶）
（4）f (x) = x2，x∈[-1，3]；
（非奇非偶）　　（5）f (x) = 0. （既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称）. 归纳：（1）根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：　　第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (-x) = f (x)还是判断f (-x) = - f (x).　　（2）对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：　　　　是奇函数但不是偶函数；　　　　是偶函数但不是奇函数；　　　　既是奇函数又是偶函数；　　　　既不是奇函数也不是偶函数. 学生练习：　　1、判断下列函数的是否具有奇偶性：　　(1) f (x) = x + x3； （奇）
(2) f (x) = - x2；（偶）
(3) h (x) = x3 +1；
（非奇非偶）　　(4) k (x) =，x[-1，2]；
（非奇非偶）
(5) f (x) = (x + 1) (x - 1)；（偶）
　　 (6) g (x) = x (x + 1)； （非奇非偶）
(7) h (x) = x +； （奇 ） (8) k (x) =.（偶）　　2、判断下列论断是否正确： 　　（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；（错）　　（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称，（对）　　（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（错）　　（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数. （对）　　3、如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（不能为奇函数但可以是偶函数）4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？
（偶函数）　　5、如图，给出了奇函数y = f (x)的局部图象，求f (- 4).
　　6、如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.例2
（1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =，求函数f (x)，g (x)的解析式；（2）设函数f (x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数F (x) =在(-∞，0)上的单调性，并给出证明.解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
∴f (-x) = f (x)，g (- x) = -g (x)，　　　　　由f (x) + g (x) =
用-x代换x得f (-x) + g (- x) =，
∴f (x) -g (x) =，
②　　　　(① + ②)÷2 = 得f (x) =；
(① - ②)÷2 = 得g (x) =.　　（2）F (x)在（-∞，0）是中增函数，以下进行证明：　　设x1，x2?(-∞，0)，且x1＜x2.　　则△x = x2 - x1＞0且-x1，-x2?(0，+∞)，
且-x1＞- x2，　　则△(-x) = (-x2) - (-x1) = x1-x2 = -△x＜0，　　∵f (x)在（0，+∞）上是减函数，∴f (-x2) - f (-x1)＞0
①　　又∵f (x)在 (-∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (-x1) = - f (x1)，f (-x2) = - f (x2)，　　由①式得 - f (x2) + f (x1) ＞0，即f (x1) - f (x2)＞0.　　 当x1＜x2＜0时，F (x2) - F (x1) =，　　又∵f (x) 在(0，+∞)上总小于0，　　∴f (x1) = - f (-x1)＞0，f (x2) = - f (-x2)＞0，f (x1)·f (x2)＞0，　　又f (x1) - f (x2)＞0，∴F (x2) - F (x1)＞0且△x = x2 - x1＞0，　　故F (x) =在(-∞，0)上是增函数.三．归纳总结：从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.四．布置作业： 习案：作业11???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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